Samenvatting
Summary Mathematics 2
Summary of Mathematics 2 for BA2 Business Economics at the VUB.
[Meer zien]Voorbeeld 4 van de 92 pagina's
Voorbeeld 4 van de 92 pagina's
In winkelwagen3 beoordelingen
Door: melanietbo26 • 6 maanden geleden
Door: maxihaiz • 2 jaar geleden
Door: mateitavi • 2 jaar geleden
Voorbeeld van de inhoud
VECTORS IN SPACE,Chapter 2: Vectors
KEY TERMS:
Magnitude: The length of a vector and is denoted as ‖a‖ .
Direction: General line that is moving or pointing in.
1.1. Vectors
Vector: An object consisting of a magnitude and a direction. It can model a displacement.
Example:
2 (or more) vectors with the same magnitude and direction are equal.
example:
The model above model a displacement of one over and two up.
Denoting the vector that extends from ("! , "" ) &' ((! , (" ) by
"! − $!
! %
"" − $"
The “1 over, 2 up” could be written as !!""
Vector : #⃗ = '### ( as starting from the origin (0,0). From there *⃗ extends to (*! , *" ) and we
$
"
May refer to it as “the point *⃗” so that we call each of these ℝ .
{(+! , +" ⎹ +! , +" ∈ ℝ } {#!!! $ ⎹ +1 , +2 ∈ ℝ}
"
These definitions extend to higher dimensions. The vector starts at ($1, "2 , … , $& ) and ends at
("1 , "2 , … , "& ) is represented by this column:
(! − "!
- . 0
.
(% − "%
And 2 vectors are equal if they have the same representation.
⎧ 1& ⎫
ℝ' = . . 0 ⎹ 1& , … , 1' ∈ ℝ
⎨ . ⎬
⎩ 1' ⎭
1.2 Vector operations
Scalar multiplication:
Makes a vector longer or shorter, including possibly flipping it around.
,Addition:
Where *⃗ and 4
55⃗ represent displacement, the vector *⃗ + 4
55⃗ represents those displacements
combined. è the parallelogram rule for vector addition.
Subtraction:
*⃗ − 4
55⃗ = *⃗ + (−1)4
55⃗
8
99⃗ ;⃗
;⃗ − 8
99⃗
−8
99⃗
1.3 Lines
The line in ℝ" through (1,2) and (3,1) is comprised of the vectors in this set. (That is, it is
comprised of the endpoints of those vectors)
"
The vector associated with parameter t !&!" is the direction vector for the line. (Lines in
higher dimensions work the same way)
1.4 Plane in ℝ(
Need 1 base vector and 2 direction vectors.
If 2 vectors are the, they represent a line – They are colinear.
1.5 n-dimensional space
Can construct objects with k-dimensions
⎛ ".! ⎞ ⎛ (.! ⎞ ⎛ @.! ⎞ ⎛ B.! ⎞
⎜ + ?! ⎜ . ⎟ + ?" ⎜ . ⎟ + ⋯ + ?% ⎜ . ⎟
⎜ . ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
. . . .
⎝$& ⎠ ⎝ "& ⎠ ⎝6& ⎠ ⎝7& ⎠
Base vector
Line
Plane
k-dimension hyperplane
, 2. Length and angle measures
2.1. Lengths
Definition: The length of a vector *⃗ ∈ ℝ% is the square root of the sum of the square of its
components.
5⃗| = D(1)& + ⋯ + 1)' )
|1
&!
Example: length of 1&"2 is √1 + 4 + 9 = √14
&'
#(⃗
For a nonzero vector *⃗, the length of one vector with the same direction is .
|#(⃗|
5⃗ to unit length.
We say that this normalizes 1
2.2. Dot product
Definition: The dot product (or inner product or scalar product) of two n-components real
vectors is the linear combination of their components.
5H⃗ ∘ 51⃗ = H& 1& + H) 1) + ⋯ + H' 1'
Example: the dot product of two vectors, is a scalar, not a vector.
1 3
1
J K −3N = 3 − 3 − 4 = −4
∘ L
−1 4
9⃗ ∘ 9=⃗ = =)( + ⋯ + =)' is the square of the vector’s
The dot product of a vector with itself =
length.
Length of a vector in 2-dimensions -> Pythagoras
Length of a vector in 3-dimensions -> |1 5⃗)& + 51⃗)) + 51⃗)*
5⃗| = D1
(⃗
#
Normalizing vector:
|#
(⃗|
2.3 Triangle inequality
5⃗, *⃗ ∈ ℝ" ,
2.5 Theorem: for any O
|H
5⃗ + 51⃗| ≤ |H
5⃗| + |1
5⃗|
With equality if and only if one of the vectors is a nonnegative scalar multiple of the other one.
This is the source of the familiar saying, “The shortest distance between 2 points is in a
straight line.”
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
√ Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, Bancontact of creditcard voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper Madikan. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €9,99. Je zit daarna nergens aan vast.
Is Stuvia te vertrouwen?
4,6 sterren op Google & Trustpilot (+1000 reviews)
Afgelopen 30 dagen zijn er 67096 samenvattingen verkocht
Opgericht in 2010, al 14 jaar dé plek om samenvattingen te kopen