Samenvatting van Kwantitatieve Onderzoeksmethoden. Notities van de cursus, slides en hoorcolleges overzichtelijk en volledig in 1 samenvatting. Beginnend vanaf H4, de hoofdstukken hiervoor zijn namelijk eerder basiskennis.
Hoofdstuk 4: Kansrekenen
1 Wat is een kans
= uitspraak over (on)waarschijnlijkheid van gebeurtenis.
= getal dat iedere waarde kan aannemen tussen 0 en 1.
Kans op gebeurtenis G = P(G) met 0 ≤ P(G) ≤ A
P(G) = 0 => G is onmogelijk, G gebeurt niet
P(G) = 1 => G is mogelijk, G gebeurt zeker
1.1 Hoe kans uitrekenen?
• Kansdefinitie van Laplace:
vb. P(6 ogen gooien) =
• Frequentiedefinitie: (als objectieve kansberekening niet kan)
! Let op voor subjectieve kansen ≠ kansberekening.
2 Rekenregels voor kansen
2.1 Een voorbeeld
Een klein consultingbureau heeft de voorbije jaren 10 projecten uitgevoerd:
• 5 projecten werden uitgevoerd door persoon A (gebeurtenis A)
• 4 projecten waren tijdig klaar (gebeurtenis T)
• 2 projecten werden uitgevoerd door persoon A én waren tijdig klaar
Bijhorende kansen wanener we een willekeurig project uitkiezen:
P(A) = = 0,5
P(T) = = 0,4
P(A en T) = = 0,2
1
,2
,2.2 Complementregel
Stel Gc = G’ = gebeurtenis G doet zich niet voor:
P(G) + P(G’) = 1 of P(Gc) = P(G’) = 1 – P(G)
Voorbeeld: Wat is de kans dat een willekeurig project niet werd uitgevoerd door persoon A?
P(A’) = 1 – P(A) = 1 – 0,5 = 0,5 = 50%
2.3 Somregel
Voorbeed: Wat is de kans dat een willekeurig project door persoon A werd uitgevoerd óf tijdig werd
uitgevoerd?
P (A Ս T) = P(A) + P(T) – P(A Ո T)
= 0,5 + 0,4 – 0,2 = 0,7
7 van de 10 projecten werden door persoon A uitgevoerd of tijdig uitgevoerd.
Ո = “en” = je wilt dat ze allebei gebeuren
Ս = “of”
3
,2.4 Voorwaardelijke kans
= je weet dat een gebeurtenis heeft plaatsgevonden, wat is dan de kans dat een andere gebeurtenis
zich dan voordoet.
Voorbeeld: Wat is de kans dat een willekeurig project dat door persoon A werd uitgevoerd op tijd
klaar was?
• Hoeveel projecten waren tijdig klaar en werden door persoon A uitgevoerd? → 2
• Als je weet dat project uitgevoerd werd door persoon A, hoeveel mogelijke projecten? → 5
𝑎𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑔𝑜𝑒𝑑𝑒 𝑢𝑖𝑡𝑘𝑜𝑚𝑠𝑡𝑒𝑛 2 𝑃 (𝑇 Ո 𝐴)
P( T | A) = = =
𝑡𝑜𝑡𝑎𝑎𝑙 𝑎𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑚𝑜𝑔𝑒𝑙𝑖𝑗𝑘𝑒 𝑢𝑖𝑡𝑘𝑜𝑚𝑠𝑡𝑒𝑛 5 𝑃(𝐴)
| = de kans dat gebeurtenis T zich voordoen wanneer gebeurtenis A zich al heeft voorgedaan.
2.5 Productregel
= de kans dat 2 gebeurtenissen zich allebei voordoen.
P (G1 Ո G2) = P (G1 | G2) ∙ P (G2) = P (G2| G1) ∙ P (G1) (algemene productregel)
De kans dat gebeurtenissen G1 en G2 zich voordoen is:
P (G1 Ո G2) = P (G1 | G2) ∙ P (G2) = P (G2 Ո G1) = P (G2 | G1) ∙ P(G1)
Onafhankelijkheid = of gebeurtenis G1 zich nu al heeft voorgedaan of niet, dat heeft geen invloed op
G2. G1 is onafhankelijk van G2 als P(G1 | G1) = P(G1 )
→ Dan mag je de vereenvoudigde productregel gebruiken
P (G1 Ո G2) = P (G1) ∙ P(G1) (onafhankelijke productregel)
2.6 Elkaar uitsluitende G’s
Elkaar uitsluitende gebeurtenissen
• Gebeurtenissen komen niet samen voor
• Gebeurtenissen hebben niets met elkaar gemeenschappelijk
• Disjuncte gebeurtenissen (lege Ո)
Voorbeeld consultingbureau:
Stel persoon B krijgt nooit tijdig een project af (P(B Ո T) = 0)
𝑃 (𝑇 Ո 𝐵)
→ P (T | B) = 𝑃(𝐵)
= 0 ≠ P(T) want P(T) = 0,4
→ B en T zijn niet onafhankelijk
→ Let dus op! Elkaar uitsluitende G’s ≠ onafhankelijke G’s
4
,3 Kansverdelingen
3.1 Toevallige resultaten of niet?
• Doel: op basis van steekproef uitspraken doen over populatie
• Toevallige omstandigheden (toevalsfactoren) kunnen steekproef beïnvloeden (bv.
respondent is afwezig, geluidsoverlast, …)
• Zijn resultaten dan nog wel generaliseerbaar naar populatie?
→ resultaat is puur toevallig ! geen uitspraak over populatie
→ resultaat is niet toevallig ! uitspraak over populatie
• Beslissing over toeval of niet gebeurt o.b.v. verdeling van kansen (kansverdelingen)
3.2 Enkele begrippen
• Kansvariabele X = beschrijft alle mogelijke uitkomsten x van een experiment
Merk op: grote letter voor variabele, kleine letter voor uitkomst
• Elke uitkomst komt voor met een zekere kans: P(X = x)
• Kansverdeling = beschrijft voor elke uitkomst van een experiment de bijhorende kans
→ lijst met uitkomsten en bijhorende kansen of via formule
• Eindig (telbaar) aantal mogelijke uitkomsten → discrete kansverdeling
• Oneindig veel mogelijke uitkomsten → continue kansverdeling
Grafische voorstelling:
Discrete kansverdeling Continue kansverdeling
(aantal lege stoelen in vliegtuig) (dagtemperatuur)
• Aflezen welke waarden waarschijnlijker zijn dan andere
• Alle mogelijke uitkomsten, dus som alle staafjes (discreet) of oppverlakte onder grafiek
(continue) = 1 = 100%
3.3 Permutaties en combinaties
= is de volgorde van uitkomsten van belang bij het uitvoeren van een kansexperiment?
Voorbeeld: loopwedstrijd
Na de voorrondes gaan de 8 beste tijden door
→ volgorde niet van belang
Na de finale worden de medailles uitgereikt
→ volgorde wel van belang
We gebruiken combinaties (geen volgorde) en permutaties (wel volgorde) om het aantal mogelijke
uitkomsten te bepalen.
5
, 3.3.1 Combinaties
= aantal mogelijkheden om een groepje van x waarnemingen uit een totaal van n waarnemingen te
trekken.
Formule:
𝑛!
Aantal combinaties van x uit n = (𝑛𝑥) = 𝑥!( 𝑛−𝑥)!
Met n! = n ∙ (n – 1) ∙ (n – 2) ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 (n faculteit) dus enkel natuurlijke getallen
Voorwaarde: 0! = 1
Voorbeeld:
Je ruimt je kleerkast op en gooit 2 van de 6 T-shirts weg. Hoeveel mogelijkheden zijn er?
Aantal combinaties van 2 uit 6:
6! 6∙5∙4∙3∙2∙1 65
(62) = 2!4! = 2 ∙ 1 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 2
= 15
3.3.2 Permutaties
= aantal mogelijke verschillende volgordes van n waarnemingen = n!
Voorbeeld:
Op hoeveel manieren kan je 8 atleten in een loopwedstrijd rangschikken?
• 8 keuzes voor de eerste plaats
• 7 keuzes voor de tweede plaats
• 1 keuze voor de laatste plaats
• In totaal 8 ∙ 7 ∙ ... 2 ∙ 1 = 8! = 40320 mogelijke volgordes
Hoeveel mogelijke top 3’s zijn er?
• 8 keuzes voor de eerste plaats
• 7 keuzes voor de tweede plaats
• 6 keuzes voor de derde plaats
• 8 ∙ 7 ∙ 6 = 336 mogelijke medaille uitreikingen
6
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
√ Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, Bancontact of creditcard voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper nyahardenoy1. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €5,49. Je zit daarna nergens aan vast.
