100% tevredenheidsgarantie Direct beschikbaar na je betaling Lees online óf als PDF Geen vaste maandelijkse kosten
logo-home
Eerder door jou gezocht
Eerder door jou gezocht
logo
Samenvatting Hoofdstuk 5: Genererende Functies €3,48
In winkelwagen
Snel navigeren naar
Voorbeeld
  2.  
  3. Vrije Universiteit Brussel (VUB)
  4.  
  5. Computerwetenschappen
  6.  
  7. Discrete Wiskunde

Samenvatting

Samenvatting Hoofdstuk 5: Genererende Functies
 0 keer verkocht

Dit is de samenvatting van het vijfde hoofdstuk van het vak Discrete Wiskunde. In deze samenvatting werd zowel alle informatie uit de slides als bijkomende informatie uit eigen notities en de cursustekst opgenomen.

Voorbeeld 2 van de 7  pagina's

Document informatie

  • 27 juli 2022
  • 7
  • 2020/2021
  • Samenvatting

Onderwerpen

  • genererende functies
  • veralgemeende binomiaalcoëfficiënten
  • partities van natuurlijke getallen
  • beroemde genererende functies

Geschreven voor

Alle documenten voor dit vak (7)

Verkoper

avatar-seller
lennyS

Ontvangen beoordelingen

Voorbeeld van de inhoud

Hoofdstuk 5: Genererende functies
1 Voorbeelden en definitie
Voorbeeld:
Een moeder koopt 12 snoepjes en wil die verdelen onder haar drie kinderen: Piet, Andres en Jan. Wel
zo dat Piet er minstens 4 krijgt, Andres en Jan minstens 2 en Jan hoogstens 5.

Noteren we cP , cA en cJ voor het aantal snoepjes dat Piet, Andres en Jan respectievelijk krijgen,
hebben we cP + cA + cJ = 12 en cP >= 4, cA >= 2 en 5 >= cJ >= 2.

We kunnen alle oplossingen opschrijven:




We hebben dus 12 op alle mogelijke manieren geschreven als som van drie natuurlijke getallen die
voldoen aan de voorwaarden. Dit doen we eigenlijk ook als we de distributiviteit toepassen bij het
uitwerken van volgend product van veeltermen:



De eerste factor komt overeen met het feit dat de toegelaten waarden voor cP enkel 4, 5, 6, 7 en 8
zijn. De tweede factor ontstaat uit de opmerking dat een oplossing steeds een cA zal hebben in {2, 3,
4, 5, 6}. In het product komt de coëfficiënt van x12 overeen met alle mogelijke manieren om x12 te
bekomen door een term te nemen in elk van de drie factoren. Dus is de oplossing van het vraagstuk
ook de coëfficiënt van x12 in het product van veeltermen.

Tweede voorbeeld:
We hebben grote hoeveelheden knikkers van vier kleuren : rood, groen, wit en zwart. Op hoeveel
manieren kan je 24 knikkers kiezen zo dat er een even aantal witte is en minstens 6 zwarte.

We maken een veelterm die een factor heeft voor elke kleur. Op de rode of groene knikkers is er
geen beperking : er kunnen geen, 1, 2, . . . , 17 of 18 (niet meer want minstens 6 knikkers zijn zwart)
knikkers zijn van die kleur. Dit geeft voor beide kleuren een factor (1+x+x2+· · ·+x18). De factor van de
witte knikkers bevat enkel even machten : (1+x2+x4+· · ·+x18). Aangezien er minstens 6 zwarte
knikkers zijn, krijgen we een factor (x6+x7+· · ·+x24).

Het antwoord op de vraag is dus gelijk aan de coëfficiënt van x24 in het product:




Definitie:
Zij a0, a1, a2, . . . een rij van reële getallen. De genererende functie voor die rij is per definitie
∞

𝑓(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 + ⋯ = ∑ 𝑎𝑖 𝑥 𝑖
2

𝑖=0




1

, Voorbeeld:
𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛
De genererende functie van de rij ( ) , ( ) , ( ) , … , ( ) , 0,0, … is ∑𝑛𝑖=0( )𝑥 𝑖 = (1 + 𝑥)𝑛 .
0 1 2 𝑛 𝑖
Voorbeeld:
We weten zeer goed dat (1 − x)(1 + x + x2 + · · · + xn) = 1 − xn+1 , waaruit volgt

1 − 𝑥 𝑛+1
= 1 + 𝑥 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛
1−𝑥
Bijgevolg is bovenstaande breuk een een genererende functie voor de rij 1,1,1,…,1,0,0… (n+1 enen).

Voorbeeld:




2 Veralgemeende binomiaalcoëfficiënten
Wat is het volgende getal in de rij 0, 2, 6, 12, 20, 30, 42 …?

Merk op dat →




2

Dit zijn jouw voordelen als je samenvattingen koopt bij Stuvia:

Bewezen kwaliteit door reviews

Bewezen kwaliteit door reviews

Studenten hebben al meer dan 850.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet jij zeker dat je de beste keuze maakt!

In een paar klikken geregeld

In een paar klikken geregeld

Geen gedoe — betaal gewoon eenmalig met iDeal, Bancontact of creditcard en je bent klaar. Geen abonnement nodig.

Focus op de essentie

Focus op de essentie

Studenten maken samenvattingen voor studenten. Dat betekent: actuele inhoud waar jij écht wat aan hebt. Geen overbodige details!

Veelgestelde vragen

Wat krijg ik als ik dit document koop?

Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.

Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?

Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.

Van wie koop ik deze samenvatting?

Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper lennyS. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.

Zit ik meteen vast aan een abonnement?

Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €3,48. Je zit daarna nergens aan vast.

Is Stuvia te vertrouwen?

4,6 sterren op Google & Trustpilot (+1000 reviews)

Afgelopen 30 dagen zijn er 66184 samenvattingen verkocht

Opgericht in 2010, al 15 jaar dé plek om samenvattingen te kopen

Start met verkopen
€3,48
  • (0)
In winkelwagen
Toegevoegd