100% tevredenheidsgarantie Direct beschikbaar na je betaling Lees online óf als PDF Geen vaste maandelijkse kosten
logo-home
Eerder door jou gezocht
Eerder door jou gezocht
logo
  2.  
  3. Vrije Universiteit Brussel (VUB)
  4.  
  5. Computerwetenschappen
  6.  
  7. Discrete Wiskunde

Samenvatting

Samenvatting Hoofdstuk 1: Inleidende Begrippen

1 beoordeling
 25 keer verkocht

Dit is de samenvatting van het eerste hoofdstuk van het vak Discrete Wiskunde. In deze samenvatting werd zowel alle informatie uit de slides als bijkomende informatie uit eigen notities en de cursustekst opgenomen.

Voorbeeld 2 van de 8  pagina's

Document informatie

  • 27 juli 2022
  • 8
  • 2020/2021
  • Samenvatting

Onderwerpen

Geschreven voor

Alle documenten voor dit vak (7)

1  beoordeling

review-writer-avatar

Door: jorbenvdvinne • 2 weken geleden

Verkoper

avatar-seller
lennyS

Ontvangen beoordelingen

Voorbeeld van de inhoud

Hoofdstuk 1: Inleidende begrippen
Logica
Wiskunde is opgebouwd uit logische redeneringen. Wij gebruiken de taal en notatie van de
predicatenlogica om redeneringen neer te schrijven.
• Propositie: een bewering p die ofwel waar, ofwel onwaar is.
• Conjunctie: p ∧ q (”p en q”) en Disjunctie: p ∨ q (”p of q”)
• Implicatie: p ⇒ q (“Als p dan q”)
o Voorbeeld. “x is deelbaar door 10 ⇒ x is even”
• Equivalentie: p ⇔ q (“p is equivalent met q”) betekent (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)
o Voorbeeld. “n2 even ⇔ n even”
• Negatie: ¬p
o Voorbeeld. “Het regent niet.”
Opmerking:
De negatie van de implicatie is niet hetzelfde als contrapositie!

• Negatie van de implicatie: ¬(p ⇒ q) is equivalent met p ∧ ¬q
• Contrapositie van de implicatie: p ⇒ q is equivalent met ¬q ⇒ ¬p
• Voorbeeld. Om te bewijzen dat “n 2 even ⇒ n even” is het gemakkelijker te bewijzen
dat “n oneven ⇒ n 2 oneven”.

Verzamelingen
Verzamelingen laten toe alle (wiskundige) objecten met dezelfde kenmerken te groeperen of
te verzamelen. Een object uit een gegeven verzameling heet een element.
Voorbeelden

• De verzameling priemgetallen groepeert alle positieve gehele getallen die juist twee
verschillende delers bezitten.
• N = {0, 1, 2, . . .}: de natuurlijke getallen
• Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, . . .}: de gehele getallen
• Q = { a/b | a, b ∈ Z ∧ b 6= 0}: de rationale getallen
• R = de reële getallen
• C = {a + bi | a, b ∈ R}: de complexe getallen
N, Z, Q = discrete verzamelingen
R, C = continue verzamelingen

Kwantoren
Sommige uitspraken of eigenschappen zijn geldig voor alle objecten in een gegeven
verzameling. Om dit te noteren gebruiken we de kwantor “voor alle”: ∀.
Voorbeeld. ∀ x ∈ R : x 2 ≥ 0

Het dubbelpunt “:” betekent in een logische uitspraak “geldt”.


1

, Er is ook een kwantor “er bestaat” indien men wil zeggen dat een eigenschap geldt voor
minstens een element in een gegeven verzameling.
Voorbeeld. ∃ x ∈ R : x 2 = x.
Soms wil men benadrukken dat er slechts een element bestaat met de gegeven eigenschap.

Voorbeeld. ∃! 𝑥 ∈ ℝ+ 2
0 ∶ 𝑥 =𝑥

De volgorde van kwantoren heeft belang! Bijvoorbeeld

∀ 𝑥 ∈ ℝ ∶ ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ : 𝑥 2 = 𝑦
is waar, terwijl

∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ∶ ∀ 𝑥 ∈ ℝ ∶ 𝑥 2 = 𝑦
onwaar is.
Negaties van uitspraken zijn zeer belangrijk. Denk bijvoorbeeld aan het bewijs door
contrapositie.

De negatie van ∀ x ∈ X : p(x) is ∃ x ∈ X : ¬p(x) en de negatie van ∃ x ∈ X : p(x) is ∀ x ∈ X :
¬p(x).

Deelverzamelingen
Indien elk element van een verzameling A ook behoort tot een verzameling B, zeggen we dat
A een deelverzameling is van B of dat B de verzameling A omvat.
Symbolisch:
𝐴⊂𝐵⇔∀𝑎∈𝐴∶𝑎∈𝐵

Ook steeds

• 𝐵⊂𝐵
• 𝜙⊂𝐵
Alle andere deelverzamelingen van B noemen we echte deelverzamelingen van B.
Twee verzamelingen A en B zijn gelijk indien ze dezelfde elementen hebben.
Symbolisch:
(𝐴 ⊂ 𝐵) ∧ (𝐵 ⊂ 𝐴)

Gevolg:
𝐴 ≠ 𝐵 ⇔ (𝐴 ⊄ 𝐵) ∨ (𝐵 ⊄ 𝐴)
De verzameling van alle deelverzamelingen van een gegeven verzameling X noteren we
𝒫(𝑋).

Bewerkingen met verzamelingen
A ∩ B = {x ∈ A | x ∈ B} : Doorsnede
A ∪ B = {x | (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)} : Unie
A \ B = {x | (x ∈ A) ∧ (x ∉ B)} : Verschil

2

Dit zijn jouw voordelen als je samenvattingen koopt bij Stuvia:

Bewezen kwaliteit door reviews

Bewezen kwaliteit door reviews

Studenten hebben al meer dan 850.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet jij zeker dat je de beste keuze maakt!

In een paar klikken geregeld

In een paar klikken geregeld

Geen gedoe — betaal gewoon eenmalig met iDeal, Bancontact of creditcard en je bent klaar. Geen abonnement nodig.

Focus op de essentie

Focus op de essentie

Studenten maken samenvattingen voor studenten. Dat betekent: actuele inhoud waar jij écht wat aan hebt. Geen overbodige details!

Veelgestelde vragen

Wat krijg ik als ik dit document koop?

Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.

Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?

Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.

Van wie koop ik deze samenvatting?

Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper lennyS. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.

Zit ik meteen vast aan een abonnement?

Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €0,00. Je zit daarna nergens aan vast.

Is Stuvia te vertrouwen?

4,6 sterren op Google & Trustpilot (+1000 reviews)

Afgelopen 30 dagen zijn er 68175 samenvattingen verkocht

Opgericht in 2010, al 15 jaar dé plek om samenvattingen te kopen

Start met verkopen
Gratis  25x  verkocht
  • (1)
Downloaden