Samenvatting
WISKUNDE ALL-IN SAMENVATTING 3E GRAAD
Samenvatting van alle leerstof gezien in de 3e graad.
[Meer zien]Voorbeeld 2 van de 8 pagina's
Voorbeeld 2 van de 8 pagina's
In winkelwagenVerkoper
Volgen
Voorbeeld van de inhoud
WiskundeMerkwaardige producten
(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)(𝑎𝑎 − 𝑏𝑏) = 𝑎𝑎2 − 𝑏𝑏 2 (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)(𝑎𝑎2 − 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 2 ) = 𝑎𝑎3 + 𝑏𝑏 3
(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)2 = 𝑎𝑎2 + 2𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 2 (𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)(𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 2 ) = 𝑎𝑎3 − 𝑏𝑏 3
(𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)2 = 𝑎𝑎2 − 2𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 2 𝑛𝑛(𝑛𝑛+1)
= 1 + 2 + ⋯ + 𝑛𝑛
(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)3 = 𝑎𝑎3 + 3𝑎𝑎2 𝑏𝑏 + 3𝑎𝑎𝑏𝑏 2 + 𝑏𝑏 3 2
𝑛𝑛(𝑛𝑛+1)(2𝑛𝑛+1)
(𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)3 = 𝑎𝑎3 − 3𝑎𝑎2 𝑏𝑏 + 3𝑎𝑎𝑏𝑏 2 − 𝑏𝑏 3 = 1 + 22 + ⋯ + 𝑛𝑛2
6
(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐)2 = 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏 2 + 𝑐𝑐 2 + 2𝑎𝑎𝑎𝑎 + 2𝑎𝑎𝑎𝑎 + 2𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑛𝑛(𝑛𝑛+1) 2
� � = 13 + 23 + ⋯ + 𝑛𝑛3
2
Rijen
RR MR
EXPLICIET 𝑡𝑡𝑛𝑛 = 𝑡𝑡𝑎𝑎 + (𝑛𝑛 − 𝑎𝑎)𝑣𝑣 𝑡𝑡𝑛𝑛 = 𝑡𝑡𝑎𝑎 ∗ 𝑞𝑞 𝑛𝑛−𝑎𝑎
met term a gegeven met term a gegeven
RECURSIEF 𝑡𝑡𝑛𝑛 = 𝑡𝑡𝑛𝑛−1 + 𝑣𝑣 𝑡𝑡𝑛𝑛 = 𝑡𝑡𝑛𝑛−1 ∗ 𝑞𝑞
SN 𝑡𝑡1 + 𝑡𝑡𝑛𝑛 𝑞𝑞 ≠ 1: 1−𝑞𝑞 𝑛𝑛
𝑆𝑆𝑛𝑛 = 𝑛𝑛 𝑆𝑆𝑛𝑛 = 𝑡𝑡1
1−𝑞𝑞
2 𝑞𝑞 = 1: 𝑆𝑆𝑛𝑛 = 𝑡𝑡1 𝑛𝑛
𝑡𝑡
−1 < 𝑞𝑞 < 1: 𝑆𝑆 = 1
1−𝑞𝑞
Matrices
rekenregels • determinanten: begrippen
• ℝm x n, + is een commutatieve groep • minor (v. amn): det. (m’e rij en n’e kolom weglaten)
𝑂𝑂 ∈ ℝ𝑚𝑚 𝑥𝑥 𝑛𝑛 , ∀𝐴𝐴, 𝐵𝐵, 𝐶𝐶 ∈ ℝ𝑚𝑚 𝑥𝑥 𝑛𝑛 : • cofactor Aij: (-1)i+j* minor aij
• 𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 ∈ ℝ𝑚𝑚 𝑥𝑥 𝑛𝑛 • determinanten: eigenschappen
• (𝐴𝐴 + 𝐵𝐵) + 𝐶𝐶 = 𝐴𝐴 + (𝐵𝐵 + 𝐶𝐶) ∀𝐴𝐴, 𝐵𝐵 ∈ ℝ𝑛𝑛 𝑥𝑥 𝑛𝑛 :
• 𝐴𝐴 + 𝑂𝑂 = 𝐴𝐴 = 𝑂𝑂 + 𝐴𝐴 • det 𝐴𝐴 = det 𝐴𝐴𝑇𝑇
• ∃! − 𝐴𝐴 ∈ ℝ𝑚𝑚 𝑥𝑥 𝑛𝑛 : 𝐴𝐴 + (−𝐴𝐴) = 𝑂𝑂 = (−𝐴𝐴) + 𝐴𝐴 𝑅𝑅
𝐾𝐾12
• 𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 = 𝐵𝐵 + 𝐴𝐴 • 𝐴𝐴 �� 𝐵𝐵: det 𝐵𝐵 = − det 𝐴𝐴
• ℝ, ℝm x n, + is een reële vectorruimte • 2 gelijke/evenredige R/K of nulrij ⇒ det 𝐴𝐴 = 0
𝑅𝑅
𝑂𝑂 ∈ ℝ𝑚𝑚 𝑥𝑥 𝑛𝑛 , ∀𝐴𝐴, 𝐵𝐵 ∈ ℝ𝑚𝑚 𝑥𝑥 𝑛𝑛 , ∀𝑟𝑟, 𝑠𝑠 ∈ ℝ: 𝐾𝐾𝑛𝑛
∗𝑡𝑡
• ℝm x n, + is een commutatieve groep • 𝐴𝐴 �⎯� 𝐵𝐵: det 𝐵𝐵 = 𝑡𝑡 ∗ det 𝐴𝐴
• r ∗ A ∈ ℝm x n • factor n R/K afzonderen: 𝑛𝑛 ∗ det 𝐴𝐴
𝑎𝑎11 𝑎𝑎12 𝑎𝑎13 𝑎𝑎11 𝑎𝑎12 𝑎𝑎13 ′ 𝑎𝑎11 𝑎𝑎12 𝑎𝑎13 + 𝑎𝑎13 ′
• r ∗ (s ∗ ℝm x n ) = (r ∗ s) ∗ ℝm x n • R/K: �𝑎𝑎21 𝑎𝑎22 𝑎𝑎23 � + �𝑎𝑎21 𝑎𝑎22 𝑎𝑎23 ′� = �𝑎𝑎21 𝑎𝑎22 𝑎𝑎23 + 𝑎𝑎33 ′�
𝑎𝑎31 𝑎𝑎32 𝑎𝑎33
• r ∗ (A + B) = r ∗ A + r ∗ B 𝑎𝑎31 𝑎𝑎32 𝑎𝑎33 ′ 𝑎𝑎31 𝑎𝑎32 𝑎𝑎33 + 𝑎𝑎33 ′
𝑅𝑅 𝑅𝑅
• 1∗A = A 𝐾𝐾𝑚𝑚
+𝑡𝑡∗𝐾𝐾
𝑛𝑛
• 𝐴𝐴 �⎯⎯⎯⎯⎯� 𝐵𝐵: det 𝐵𝐵 = det 𝐴𝐴
(𝑟𝑟 ∗ 𝐴𝐴)𝑇𝑇 = 𝑟𝑟 ∗ 𝐴𝐴𝑇𝑇
• ℝ n, ∙ is geen commutatieve groep
m x • det(𝐴𝐴 ∗ 𝐵𝐵) = det 𝐴𝐴 ∗ det 𝐵𝐵
𝑂𝑂 ∈ ℝ𝑛𝑛 𝑥𝑥 𝑛𝑛 , 𝐼𝐼𝑛𝑛 ∈ ℝ𝑛𝑛 𝑥𝑥 𝑛𝑛 , ∀𝐴𝐴, 𝐵𝐵, 𝐶𝐶 ∈ ℝ𝑛𝑛 𝑥𝑥 𝑛𝑛 , ∀𝑟𝑟 ∈ ℝ: • determinanten: inversen
• 𝐴𝐴 ∗ 𝐵𝐵 ∈ ℝ𝑛𝑛 𝑥𝑥 𝑛𝑛 ∀𝐴𝐴, 𝐵𝐵 ∈ ℝ𝑛𝑛 𝑥𝑥 𝑛𝑛 :
𝑇𝑇
• 𝐴𝐴 ∗ (𝐵𝐵 ∗ 𝐶𝐶) = (𝐴𝐴 ∗ 𝐵𝐵) ∗ 𝐶𝐶 • adjunct: 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝐴𝐴 = �𝐴𝐴𝑖𝑖𝑖𝑖 � = �𝐴𝐴𝑗𝑗𝑗𝑗 �
• 𝐴𝐴 ∗ 𝐼𝐼𝑛𝑛 = 𝐴𝐴 = 𝐼𝐼𝑛𝑛 ∗ 𝐴𝐴 • 𝐴𝐴 ∗ (𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝐴𝐴) = (𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝐴𝐴) ∗ 𝐴𝐴 = (det 𝐴𝐴) ∗ 𝐼𝐼
• nuldelers: 𝐴𝐴 ∗ 𝐵𝐵 = 𝑂𝑂 ∨ 𝐵𝐵 ∗ 𝐴𝐴 = 𝑂𝑂 met 𝐴𝐴 ≠ 𝑂𝑂 ∧ 𝐵𝐵 ≠ 𝑂𝑂 • 𝐴𝐴 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 ⇔ det 𝐴𝐴 ≠ 0
• 𝐴𝐴 ∗ (𝐵𝐵 + 𝐶𝐶) = 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐴𝐴𝐴𝐴 en (𝐵𝐵 + 𝐶𝐶) ∗ 𝐴𝐴 = 𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝐶𝐶𝐶𝐶 • 𝐴𝐴 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 ⇔ det 𝐴𝐴 = 0
𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝐴𝐴
• 𝐴𝐴 ∗ 𝑂𝑂 = 𝑂𝑂 = 𝑂𝑂 ∗ 𝐴𝐴 • det 𝐴𝐴 ≠ 0 ⇒ 𝐴𝐴−1 =
det 𝐴𝐴
• (𝐴𝐴 + 𝐵𝐵)𝑇𝑇 = 𝐴𝐴𝑇𝑇 + 𝐵𝐵𝑇𝑇 • |𝐴𝐴−1 | =
1
• idempotent: 𝐴𝐴2 = 𝐴𝐴 |𝐴𝐴|
• nilpotent met index n: 𝐴𝐴𝑛𝑛 = 𝑂𝑂 • determinanten: stelsel van Cramer
|𝐴𝐴 | |𝐴𝐴2 | |𝐴𝐴3 |
• involutorisch: 𝐴𝐴2 = 𝐼𝐼 • 𝑉𝑉 = �� |𝐴𝐴|1 , |𝐴𝐴|
, |𝐴𝐴|
��
• ∀𝐴𝐴 ∈ ℝ𝑚𝑚 𝑥𝑥 𝑛𝑛 , ∀𝐵𝐵 ∈ ℝ𝑛𝑛 𝑥𝑥 𝑝𝑝 : (𝐴𝐴 ∗ 𝐵𝐵)𝑇𝑇 = 𝐵𝐵𝑇𝑇 ∗ 𝐴𝐴𝑇𝑇 • homogeen 2 x 3 stelsel:
• inverse matrices 𝑎𝑎 𝑥𝑥 + 𝑏𝑏1 𝑦𝑦 + 𝑐𝑐1 𝑧𝑧 = 0 𝑎𝑎 𝑏𝑏1
� 1 met � 1 �≠0
• A-1 is de inverse van A ⇔ 𝐴𝐴 ∗ 𝐴𝐴−1 = 𝐼𝐼 = 𝐴𝐴−1 ∗ 𝐴𝐴 𝑎𝑎2 𝑥𝑥 + 𝑏𝑏2 𝑦𝑦 + 𝑐𝑐2 𝑧𝑧 = 0 𝑎𝑎2 𝑏𝑏2
𝑏𝑏 𝑐𝑐1 𝑎𝑎1 𝑐𝑐1 𝑎𝑎1 𝑏𝑏1
• 𝐼𝐼 −1 = 𝐼𝐼 𝑉𝑉 = ��𝜑𝜑 � 1 � , −𝜑𝜑 �𝑎𝑎
𝑏𝑏2 𝑐𝑐2 2 𝑐𝑐2 � , 𝜑𝜑 �𝑎𝑎2 𝑏𝑏2
� |𝜑𝜑 ∈ ℝ��
• (𝐴𝐴−1 )−1 = 𝐴𝐴
• r(A) = n, met nxn-determinant ≠ 0
• (𝐴𝐴 ∗ 𝐵𝐵)−1 = 𝐵𝐵 −1 ∗ 𝐴𝐴−1
• determinanten: eigenwaarden & eigenvectoren
• 𝐵𝐵 = 𝐶𝐶 ⇔ 𝐴𝐴 ∗ 𝐵𝐵 = 𝐴𝐴 ∗ 𝐶𝐶
• X is een eigenvector van A met eigenwaarde λ
⇔ 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝜆𝜆𝜆𝜆 ⇔ (𝐴𝐴 − 𝜆𝜆𝜆𝜆) ∗ 𝑋𝑋 = 0
met det(𝐴𝐴 − 𝜆𝜆𝜆𝜆) = 0 (karakteristieke vgl v A)
P a g i n a |1
, Goniometrie
Goniometrische getallen
0° 30° 45° 60° 90° sin 𝛼𝛼 cos 𝛼𝛼 1 1 1
𝜋𝜋 𝜋𝜋 𝜋𝜋 𝜋𝜋 tan α = cot 𝛼𝛼 = = sec 𝛼𝛼 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼 =
0 cos 𝛼𝛼 sin 𝛼𝛼 tan 𝛼𝛼 cos 𝛼𝛼 sin 𝛼𝛼
6 4 3 2
sin α
0
1 √2 √3 1
Formules
2 2 2 • cos 2 (𝛼𝛼) + sin2 (𝛼𝛼) = 1
cos α √3 √2 1
1 0 • 1 + tan2 (𝛼𝛼) = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑐𝑐 2 (𝛼𝛼) (cos²α ≠ 0)
2 2 2
tan α • 1 + cot 2 (𝛼𝛼) = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 (𝛼𝛼) (sin²α ≠ 0)
√3
0 1 √3 −
3
cot α √3
− √3 1 0
3
• somformules • formules van modeSimpson
• cos(𝛼𝛼 + 𝛽𝛽) = cos(𝛼𝛼) ∗ cos(𝛽𝛽) − sin(𝛼𝛼) ∗ sin(𝛽𝛽) 𝛼𝛼+𝛽𝛽 𝛼𝛼−𝛽𝛽
• sin(𝛼𝛼) + sin(𝛽𝛽) = 2 ∗ sin � � ∗ cos � �
• cos(𝛼𝛼 − 𝛽𝛽) = cos(𝛼𝛼) ∗ cos(𝛽𝛽) + sin(𝛼𝛼) ∗ sin(𝛽𝛽) 2 2
𝛼𝛼+𝛽𝛽 𝛼𝛼−𝛽𝛽
• sin(𝛼𝛼 + 𝛽𝛽) = sin(𝛼𝛼) ∗ cos(𝛽𝛽) + cos(𝛼𝛼) ∗ sin(𝛽𝛽) • sin(𝛼𝛼) − sin(𝛽𝛽) = 2 ∗ cos � � ∗ sin � �
2 2
• sin(𝛼𝛼 − 𝛽𝛽) = sin(𝛼𝛼) ∗ cos(𝛽𝛽) − cos(𝛼𝛼) ∗ sin(𝛽𝛽) • cos(𝛼𝛼) + cos(𝛽𝛽) = 2 ∗ cos �
𝛼𝛼+𝛽𝛽
� ∗ cos �
𝛼𝛼−𝛽𝛽
�
tan(𝛼𝛼)+tan(𝛽𝛽) 2 2
• tan(𝛼𝛼 + 𝛽𝛽) = 𝛼𝛼+𝛽𝛽 𝛼𝛼−𝛽𝛽
1−tan(𝛼𝛼) tan(𝛽𝛽) • cos(𝛼𝛼) − cos(𝛽𝛽) = −2 ∗ sin � � ∗ sin � �
tan(𝛼𝛼)−tan(𝛽𝛽) 2 2
• tan(𝛼𝛼 − 𝛽𝛽) = • 2 ∗ cos(𝛼𝛼) ∗ cos(𝛽𝛽) = cos(𝛼𝛼 + 𝛽𝛽) + cos(𝛼𝛼 − 𝛽𝛽)
1+tan(𝛼𝛼) tan(𝛽𝛽)
• verdubbelingsformules • 2 ∗ sin(𝛼𝛼) ∗ sin(𝛽𝛽) = cos(𝛼𝛼 − 𝛽𝛽) − cos(𝛼𝛼 + 𝛽𝛽)
• sin(2𝛼𝛼) = 2 sin(𝛼𝛼) ∗ cos(𝛼𝛼) =
2 tan(𝛼𝛼) • 2 ∗ sin(𝛼𝛼) ∗ cos(𝛽𝛽) = sin(𝛼𝛼 + 𝛽𝛽) + sin(𝛼𝛼 − 𝛽𝛽)
1+𝑡𝑡𝑡𝑡𝑛𝑛2 (𝛼𝛼)
• 2 ∗ cos(𝛼𝛼) ∗ sin(𝛽𝛽) = sin(𝛼𝛼 + 𝛽𝛽) − sin(𝛼𝛼 − 𝛽𝛽)
• cos(2𝛼𝛼) = cos 2 (𝛼𝛼) − sin2 (𝛼𝛼) = 1 − 2 ∗ sin2 (𝛼𝛼) =
• T-formules (met t = tan (α/2))
1−𝑡𝑡𝑡𝑡𝑛𝑛2 (𝛼𝛼)
2 ∗ cos 2 (𝛼𝛼) − 1 = • sin(𝛼𝛼) =
2𝑡𝑡
1+𝑡𝑡𝑡𝑡𝑛𝑛2 (𝛼𝛼)
1+𝑡𝑡²
2∗tan(𝛼𝛼)
• tan(2𝛼𝛼) = • cos(𝛼𝛼) =
1−𝑡𝑡²
1−𝑡𝑡𝑡𝑡𝑛𝑛2 (𝛼𝛼) 1+𝑡𝑡²
• halveringsformules • tan(𝛼𝛼) =
2𝑡𝑡
1−cos(2𝛼𝛼) 1−𝑡𝑡²
• sin2 (𝛼𝛼) =
2
1+cos(2𝛼𝛼)
• cos 2 (𝛼𝛼) =
2
Goniometrische vergelijkingen
• basisvergelijkingen
• sin(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎 ⇔ 𝑥𝑥 = 𝛼𝛼 + 𝑘𝑘2𝜋𝜋 ⋁ 𝑥𝑥 = 𝜋𝜋 − 𝛼𝛼 + 𝑘𝑘2𝜋𝜋 met k ∈ ℤ, sin α = a, a ∈ [-1, 1]
• cos(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎 ⇔ 𝑥𝑥 = 𝛼𝛼 + 𝑘𝑘2𝜋𝜋 ⋁ 𝑥𝑥 = −𝛼𝛼 + 𝑘𝑘2𝜋𝜋 met k ∈ ℤ, cos α = a, a ∈ [-1, 1]
• tan(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎 ⇔ 𝑥𝑥 = 𝛼𝛼 + 𝑘𝑘𝑘𝑘 met k ∈ ℤ, tan α = a
• oplossingstechnieken
• uiteenvallen in basisvergelijkingen: sin 2𝑥𝑥 + cos 𝑥𝑥 = 0 ⇔ cos 𝑥𝑥 ∗ (2 sin 𝑥𝑥 + 1) = 0
• gebruik v. eenvoudige subsituties: 2 cos 2 𝑥𝑥 − cos 𝑥𝑥 + 1 = 0 ⇔ 2𝑡𝑡 2 − 𝑡𝑡 + 1 = 0
𝑐𝑐 𝑏𝑏
• vglk v/d vorm 𝑎𝑎 ∗ sin 𝑥𝑥 + 𝑏𝑏 ∗ cos 𝑥𝑥 = 𝑐𝑐: sin(𝑥𝑥 + 𝛼𝛼) = cos 𝛼𝛼 met tan 𝛼𝛼 =
𝑎𝑎 𝑎𝑎
• homogene vgl’en: afzonderen gem. factoren; delen door cos n 𝑥𝑥 met 𝑛𝑛 = graad v. overblijvende functie
𝑡𝑡 2 −1
• symmetische vgl’en (cos met sin wisselen: zelfde f): sin 𝛼𝛼 + cos 𝛼𝛼 = 𝑡𝑡, sin 𝛼𝛼 ∗ cos 𝛼𝛼 =
2
Cyclometrische functies
𝜋𝜋 𝜋𝜋
• 𝛼𝛼 = Bgsin 𝑥𝑥 ⇔ 𝑥𝑥 = sin 𝛼𝛼 ∧ 𝛼𝛼 ∈ �− , � 𝛼𝛼 = Bgcos 𝑥𝑥 ⇔ 𝑥𝑥 = cos 𝛼𝛼 ∧ 𝛼𝛼 ∈ [0, 𝜋𝜋]
2 2
𝜋𝜋 𝜋𝜋
𝛼𝛼 = Bgtan 𝑥𝑥 ⇔ 𝑥𝑥 = tan 𝛼𝛼 ∧ 𝛼𝛼 ∈ �− , � 𝛼𝛼 = Bgcot 𝑥𝑥 ⇔ 𝑥𝑥 = cot 𝛼𝛼 ∧ 𝛼𝛼 ∈ ]0, 𝜋𝜋[
2 2
𝜋𝜋
• ∀𝑥𝑥 ∈ [−1, 1]: Bgsin 𝑥𝑥 + Bgcos 𝑥𝑥 = ↗ Bgsin x Bgcos x Bgtan x Bgcot x
2
∀𝑥𝑥 ∈ ℝ: Bgtan 𝑥𝑥 + Bgcot 𝑥𝑥 =
𝜋𝜋 𝑥𝑥 1
2 sin 𝑥𝑥 �1 − 𝑥𝑥 2
𝜋𝜋 𝜋𝜋 √1 + 𝑥𝑥 2 √1 + 𝑥𝑥 2
• Bgsin(sin 𝛼𝛼) = 𝑥𝑥 ⇔ − ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1 𝑥𝑥
2 2
Bgcos(cos 𝛼𝛼) = 𝑥𝑥 ⇔ 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝜋𝜋 cos �1 − 𝑥𝑥 2 𝑥𝑥
𝜋𝜋 𝜋𝜋 √1 + 𝑥𝑥 2 √1 + 𝑥𝑥 2
Bgtan(tan 𝛼𝛼) = 𝑥𝑥 ⇔ − < 𝑥𝑥 < 𝑥𝑥 √1 − 𝑥𝑥 2 1
2 2 tan 𝑥𝑥
Bgcot(cot 𝛼𝛼) = 𝑥𝑥 ⇔ 0 < 𝑥𝑥 < 𝜋𝜋 √1 − 𝑥𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥𝑥
√1 − 𝑥𝑥 2 1 𝑥𝑥
cot 2
𝑥𝑥
𝑥𝑥 √1 − 𝑥𝑥 𝑥𝑥
Uitrekenen d.m.v. omvormen hoofdformule OF mbv driehoeken
P a g i n a |2
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
√ Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, Bancontact of creditcard voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper thibautlagaert. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €6,49. Je zit daarna nergens aan vast.
Is Stuvia te vertrouwen?
4,6 sterren op Google & Trustpilot (+1000 reviews)
Afgelopen 30 dagen zijn er 67096 samenvattingen verkocht
Opgericht in 2010, al 14 jaar dé plek om samenvattingen te kopen