Samenvatting
Samenvatting Verklarende Statistiek
- Instelling
- Universiteit Antwerpen (UA)
16/20, geen herexamen
[Meer zien]Voorbeeld 5 van de 58 pagina's
Voorbeeld 5 van de 58 pagina's
In winkelwagen
Voorbeeld van de inhoud
Verklarende statistiekInhoud
Deel 1. Schatters en toetsen...................................................................................................................3
Hoofdstuk 1. Het schatten van populatieparameters.........................................................................3
Inleiding..........................................................................................................................................3
Het schatten van een gemiddelde..................................................................................................3
Criteria voor schatters....................................................................................................................4
Het steekproefgemiddelde.............................................................................................................4
De steekproefproportie..................................................................................................................5
De steekproefvariantie...................................................................................................................6
De steekproefstandaarddeviatie....................................................................................................8
Hoofdstuk 2. Intervalschatters............................................................................................................8
Punt- en intervalschatters...............................................................................................................8
Betrouwbaarheid voor een populatiegemiddelde met bekende variantie.....................................8
Betrouwbaarheid voor een populatie gemiddelde met onbekende variantie................................9
Betrouwbaarheidsinterval voor een populatieproportie..............................................................10
Betrouwbaarheidsinterval voor een populatievariantie...............................................................11
Het bepalen van de steekproefgrootte.........................................................................................11
Hoofdstuk 3. Het toetsen van hypothesen.......................................................................................12
Toetsen van hypothesen omtrent een populatiegemiddelde.......................................................12
Kans op een type II-fout en onderscheidingsvermogen................................................................16
Het bepalen van de steekproefgrootte.........................................................................................17
Deel 2. Eén populatie............................................................................................................................18
Hoofdstuk 4. Hypothesetoetsen voor een populatiegemiddelde, -proportie en -variantie..............18
Hypothesetoets voor een populatiegemiddelde..........................................................................18
Hypothesetoets voor een populatieproportie..............................................................................18
Hypothesetoets voor een populatievariantie...............................................................................20
Kans op een type II-fout en onderscheidingsvermogen................................................................20
Hoofdstuk 5. 2 hypothesetoetsen voor de mediaan van een populatie...........................................22
Tekentoets....................................................................................................................................23
Rangtekentoets van Wilcoxon......................................................................................................25
Hoofdstuk 6. Hypothesetoetsen voor de verdeling van een populatie.............................................27
1. Het toetsen van kansverdelingen.............................................................................................27
2. Het toetsen van kansdichtheden..............................................................................................29
, 3. Discussie...................................................................................................................................30
4. Samenvatting............................................................................................................................31
Hoofdstuk 7. Onafhankelijke steekproeven versus gepaarde waarnemingen..................................31
Toetsen voor 2 populaties............................................................................................................31
Hoofdstuk 8. Hypothesetoetsen voor 2 populatiegemiddeldes, -proporties en -varianties bij
onafhankelijke steekproeven...........................................................................................................32
Toetsen voor 2 populatiegemiddeldes bij onafhankelijke steekproeven......................................32
Hypothesetoets voor 2 populatieproporties................................................................................36
Hypothesetoets voor 2 populatievarianties..................................................................................37
Hoofstuk 9. Een niet-parametrische hypothesetoets voor de mediaan van 2 populatie bij
onafhankelijk steekproeven.............................................................................................................38
Getoetste hypothesen bij de rangsomtoets.................................................................................39
Exacte p-waarden.........................................................................................................................39
Exacte p-waarden bij ex aequo’s..................................................................................................41
Benaderende p-waarden..............................................................................................................41
Hoofdstuk 10. Hypothesetoets voor 2 populatiegemiddeldes bij gepaarde waarnemingen............42
Getoetste hypothesen..................................................................................................................42
Werkwijze.....................................................................................................................................42
Voorbeelden.................................................................................................................................43
Technische achtergrond...............................................................................................................44
Veralgemeende hypothesetoets...................................................................................................44
Betrouwbaarheidsinterval voor een verschil in populatiegemiddeldes.......................................44
Hoofdstuk 11. 2 niet-parametrische hypothesetoetsen bij gepaarde waarnemingen.....................45
Tekentoets....................................................................................................................................45
De rangtekentoets van Wilcoxon..................................................................................................46
Tegenstrijdige resultaten..............................................................................................................47
Deel IV. Meer dan 2 populaties............................................................................................................47
Hoofdstuk 12. Hypothesetoets voor meer dan 2 populatiegemiddeldes: enkelvoudige
variantieanalyse................................................................................................................................47
Enkelvoudige variantie-analyse....................................................................................................47
De toets........................................................................................................................................49
Paarsgewijze vergelijkingen..........................................................................................................50
Variantieanalyse bij niet-normaliteit en ongelijke varianties........................................................50
Hoofdstuk 13. Niet-parametrische alternatieven voor variantieanalyse..........................................50
Kruskal-Wallis toets......................................................................................................................51
Deel V. andere nuttige toetsen en procedures.....................................................................................53
, Hoofdstuk 15. Proefopzet en datacollectie......................................................................................53
Gelijke kosten voor elke waarneming...........................................................................................53
Ongelijke kosten voor de waarnemingen.....................................................................................54
Optimaal ontwerp van experimenten...........................................................................................55
Hoofdstuk 16. Het toetsen van equivalentie....................................................................................55
De traditionele hypothesetoetsen................................................................................................55
Het toetsen van equivalentie........................................................................................................56
Deel 1. Schatters en toetsen
Hoofdstuk 1. Het schatten van populatieparameters
Inleiding
Populatieparameters zijn in de praktijk zelden of nooit bekend proberen schatten gebaseerd op
een aantal waarnemingen x 1 , x 2 , … , x n = steekproefgegevens die u verzamelt
- Steekproefgemiddelde
n
xi
x=∑
i=1 n
- Steekproefvariantie
n
1
2
s= ∑
n−1 i=1
(x i− x)2
- Steekproefproportie = speciaal geval van gemiddelde (Xi kan maar 2 mogelijke waarden
aannemen)
n
xi
^p=∑ (xi = 1, indien succes xi = 0, indien faling)
i=1 n
Schatting vs. schatter
Schatting = een functie van de onbekende populatieparameter van de verzamelde
steekproefgegevens x 1 , x 2 , … , x n
Gebruik kleine letter vb. het steekproefgemiddelde x
Is een reëel getal
Elke onderzoeker bekomt andere steekproefgegevens (anderen gegevens bekomen door
andere mensen)
Reden: trekken van steekproef, verzamelen van steekproefgegevens = kansexperiment
Schatter = kansvariabele waarvan de waarde nog niet bekend is met steekproefwaarnemingen
X1 , X2 , … , Xn
Gebruik grote letter
Hebben een verwachte waarde, variantie en een kansverdeling of -dichtheid
Het schatten van een gemiddelde
1. Gemiddelde van een normaal verdeelde populatie
Voorbeeld. Gooien van een dobbelsteen (normaal verdeeld)
- 1000 onderzoekers
- Elk 5 waarnemingen
- Doel: centrale ligging schatten
→ (bekend) populatiegemiddelde µ = 3.5
, → (bekend) populatiemediaan γ0.5 = 3.5
- Gemiddelde van . . .
. . . steekproefgemiddelden ≈ µ = 3.5
. . . steekproefmedianen ≈ µ = 3.5
Dit zijn zuivere of onvertekende schatters = schatting moet rond de werkelijkheid liggen
X (steekproefgemiddelde) is een efficiëntere schatter dan Me omdat de variantie kleiner is
dan bij de steekproefmediaan
Criteria voor schatters
1. Een onvertekende of zuivere schatter
Definitie. Een schatter θ^ voor een populatieparameter θ is zuiver of onvertekend indien E ( θ^ ) =θ.
De vertekening van een schatter is het verschil V ( θ^ ) =|E ( θ^ ) −θ|.
Bij zuivere schatter is deze gelijk aan 0
We gebruiken een Griekse letter θ om een onbekende populatieparameter aan te duiden
2. Precisie of efficiëntie van een schatter
Schatter moet betrouwbaar zijn kleine variantie of standaarddeviatie nodig
Definitie. De gemiddelde gekwadrateerde afwijking van een schatter θ^ is de som van zijn variantie en
2
het kwadraat van zijn vertekening: GGA ( θ^ )=var ( θ^ ) + ( V ( θ)
^ ).
Betrouwbaarheid moet ook toenemen wanneer het aantal waarnemingen toeneemt:
variantie neemt af wanneer n vergroot (σ²/n)
Het steekproefgemiddelde
- Verwachte waarde en variantie
n
Xi
X =∑
i=1 n
Gebruik kleine letter x wanneer je waargenomen waarden gebruikt
Grote letters X zijn waarnemingen die niet bekend zijn
Stelling 1.1 Voor een lukrake steekproef uit een populatie met verwachte waarde μ geldt dat
E ( X ) =μ.
Bewijs:
( )
n
Xi
E ( X ) =E ∑ n
i=1
n
1
¿ ∑ E ( Xi)
n i=1
1
¿ (μ + μ+…+ μ)
n
nμ
¿ =μ
n
Dus de verwachte waarde van het steekproefgemiddelde is gelijk aan het populatiegemiddelde.
het steekproefgemiddelde is een zuivere schatter van het populatiegemiddelde
Stelling 1.2 Voor een lukrake steekproef van n waarnemingen uit een populatie met variantie σ²
2 σ²
geldt dat σ X =var ( X )= .
n
Bewijs:
, (∑ )
n
2 Xi
σ =var ( X )=var
X
i=1 n
n
1
¿ ∑ var (X i)
n ² i=1
1 2 2 2
¿ 2
( σ +σ +…+ σ )
n
nσ ² σ ²
¿ 2 =
n n
- Kansdichtheid van X uit een normaal verdeelde populatie
Stelling 1.3 Als X1, X2,..., Xn ∼ N(µ, σ2) en onafhankelijke normaal verdeelde kansvariabelen zijn, dan
σ²
geldt dat X ∼ N(µ, )
n
Dit is geldig voor elke steekproefgrootte
- Kansverdeling X uit een niet normaal verdeelde populatie
Kleine steekproeven: geen algemeen antwoord
σ²
Grote steekproeven: centrale limietstelling ⇒ X∼ N(µ, )
n
Wanneer is steekproef groot genoeg?
o Afhankelijk van oorspronkelijke kansverdeling of kansdichtheid
o n ≥ 30 is meestal voldoende
De steekproefproportie
= een speciaal geval van het steekproefgemiddelde, alleen kan deze variabele enkel waarden tussen
0 of 1 aannemen
- Schatter van de populatieproportie π
- Pˆ = aantal “successen” in steekproef gedeeld door n
n
Xi
- Pˆ = ∑
i=1 n
Waarbij X i = 1, indien succes 0, indien faling
En dus Xi Bernoulli verdeeld met parameter π (E(Xi) = π, var(Xi) = π(1 − π))
E ( P )=π
π (1−π )
σ 2P =var ( P )=
n
De steekproefproportie is een onvertekende schatter van de populatieproportie
- Kansverdeling of dichtheid Pˆ
n groot: centrale limietstelling bij grote n
nπ > 5
n(1 − π) > 5
Niet > 30 (geen voorwaarde bij steekproef)
π (1−π )
⇒ P ∼ N(π, )
n
n klein: gebruik binomiale kansverdeling aantal successen in SP met grootte n ∼bin(n,π)
- Aantal grafieken
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
√ Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, Bancontact of creditcard voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper runedeschepper. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €4,49. Je zit daarna nergens aan vast.
Is Stuvia te vertrouwen?
4,6 sterren op Google & Trustpilot (+1000 reviews)
Afgelopen 30 dagen zijn er 53340 samenvattingen verkocht
Opgericht in 2010, al 14 jaar dé plek om samenvattingen te kopen