Overig
bewijzen van BOM
- Instelling
- Universiteit Antwerpen (UA)
samenvatting van de gekende bewijzen van beslissingsondersteunende methoden
[Meer zien]Voorbeeld 2 van de 8 pagina's
Voorbeeld 2 van de 8 pagina's
In winkelwagen
Voorbeeld van de inhoud
BewijzenBoek 1. Differentiaalvergelijkingen
Methode 3.2 (p. 32)
- Schrijf vergelijking in de vorm: y ' + M ( x ) y=N ( x )
- {∫ M ( x ) dx }
Bereken de tussenintegraal: G ( x )=exp
1
- Zo vinden we: AO . : y=
g(x)
[ C+∫ G ( x ) N ( x ) dx ]
Bewijs:
We nemen de afgeleide en kijken of die overeenstemt met de differentiaalvergelijking:
'
y + M ( x ) y=N ( x ).
Afleiden geeft ons:
y '=
[ 1
g( x) ]
[ C +∫ G ( x ) N ( x ) dx ] ' afgeleide van een product
( )
'
1 1
¿ . [ C +∫ G ( x ) N ( x ) dx ] + . [ C +∫ G ( x ) N ( x ) dx ] '
g(x) g (x )
−g ' ( x) 1
¿ . [ C+∫ G ( x ) N ( x ) dx ] + . g ( x ) N (x)
g ² (x ) g(x)
Voor de afgeleide functie van G ( x )=exp {∫ M ( x ) dx } geldt nu dat:
G ( x )=M ( x ) .G( x )
Bijgevolg kunnen we y’ verder vereenvoudigen tot
−M ( x)
¿ . [ C +∫ G ( x ) N ( x ) dx ] + N (x )
G(x)
y ' =−M ( x ) . y + N (x)
Eigenschap 4.1 (p. 54)
Voor elke homogene differentiaalvergelijking y ' ' + a y ' +by =0 geldt:
1. Y1(x) en y2(x) zijn oplossingen, dan is ook elke lineaire combinatie een oplossing van deze
homogene differentiaalvergelijking: C 1 . y 1 ( x ) +C 2 . y 2 ( x)
2. Y1(x) en y2(x) zijn onafhankelijke oplossingen, dan is de lineaire combinatie hiervan de AO
Bewijs:
1. Wanneer y1(x) en y2(x) beiden oplossingen zijn van dezelfde differentiaalvergelijking, dan
geldt:
'' ' '' '
y 1 + a y 1+b y 1 =0 en y 2 + a y 2+b y2 =0
Voor C 1 . y 1 ( x ) +C 2 . y 2 (x) krijgen we dan:
(C ¿ ¿ 1. y 1 ( x ) +C 2 . y 2 ( x))' ' +a( C ¿ ¿ 1 . y 1 ( x )+ C2 . y 2 ( x )) '+b (C ¿ ¿1 . y 1 ( x ) +C 2 . y 2 ( x))¿ ¿ ¿
¿ C 1 ( y 1 + a y 1+ b y 1 ) +C 2( y 2 +a y 2 +b y 2)
'' ' '' '
¿ C 1 .0+C 2 .0=0
Zodat dit een oplossing is voor de homogene differentiaalvergelijking
2. Wanneer deze onafhankelijk oplossingen zijn, geldt er:
y ( x )=C 1 . y 1 ( x ) +C2 . y 2 ( x) is een oplossing
y ( x )=C 1 . y 1 ( x ) +C2 . y 2 ( x) bevat 2 elementaire constanten (order is dus ook 2)
Bijgevolg zal dit de AO moeten zijn
Eigenschap 4.2 (karakteristieke vergelijking p.56)
, 1. Voor de homogene lineaire differentiaalvergelijking y ' ' + a y ' +by =0 luidt de karakteristieke
vergelijking λ 2+ aλ+b=0
2. Wanneer λ 0 een wortel is van de karakteristieke vergelijking, dan is de functie bepaald door
λ x
y ( x )=e een oplossing van de homogene differentiaalvergelijking
0
3. Wanneer λ 0 een dubbele wortel (D = 0) is van de karakteristieke vergelijking, dan is
bovendien ook de functie bepaald door y ( x )=x . e λ x een oplossing van de homogene 0
differentiaalvergelijking
Bewijs:
1. –
2
2. Wanneer λ 0 een wortel is van de karakteristieke vergelijking, dan geldt λ 0+ a λ0 +b=0
λ0 x 2 λ0 x
Voor de functie bepaald door y ( x )=e λ x geldt: y '= λ0 . e 0
en y ' ' =λ0 . e
Zodat y ' ' + a y ' +b y
2 λ0 x
¿( λ¿¿ 0 . e¿¿ λ0 x )+a .(λ ¿ ¿ 0 . e ¿ ¿ λ 0 x )+ b .(e )¿ ¿ ¿ ¿
¿( λ¿¿ 02 +a λ 0 +b). e λ x ¿ 0
λ x
¿ 0. e =0 0
De functie bepaald door y ( x ) is dus een oplossing van de homogene differentiaalvergelijking
3. Wanneer λ 0 een dubbele wortel is van de karakteristieke vergelijking, dan geldt
λ 0+ a λ0 +b=0 en ook 2 λ0 =−a
2
Voor de functie bepaald door y ( x )=x . e λ x geldt 0
y '=e λ x + λ0 . x . e λ x en y ' ' =2 λ 0 .e λ x + λ 20 . x .e λ
0 0 0 0 x
Zodat y ' ' + a y ' +b y
¿ (2 λ 0 . e )+ a .(e ¿ ¿ λ0 x+ λ0 . x . e ¿ ¿ λ0 x )+b . x . e λ x ¿¿
λ0x 2 λ0 x
+ λ0. x . e 0
¿ ( λ20 +a λ 0+ b ) . x . e + ( 2 λ0 + a ) . e
λ x 0
λ x 0
λ0 x λ0 x
¿ 0. x . e +0. e =0
Naast de functie bepaald door y ( x ) is dus ook de functie bepaald door y ( x ) een oplossing
van de homogene differentiaalvergelijking
Eigenschap 4.3 (niet-homogene lineaire differentiaalvergelijking p.63)
Niet-homogene lineaire differentiaalvergelijking: y ' ' + a y ' +by =g ( x)
Gelden volgende eigenschappen:
1. Wanneer y p (x ) een oplossing is van de niet-homogene of volledige LD, en y h ( x ) is een
oplossing van de overeenkomstige homogene LD, dan is de som
y h ( x )+ y p ( x ) ook een oplossing van de niet-homogene LD
2. Wanneer y p (x ) een particuliere oplossing is van de niet-homogene LD, en y h ( x ) is de
algemene oplossing van de overeenkomstige homogene LD, dan is de som
y= y h ( x ) + y p ( x ) de algemene oplossing van de niet-homogene LD
Bewijs:
1. Wanneer beiden een oplossing zijn, dan geldt:
y p' ' + a y p' +b y p =g (x) en y h' ' + a y h' +b y h =0
Voor de som y h ( x )+ y p ( x ) krijgen we dan
¿
¿ ( y + a y h + b y h ) +( y p' ' +a y p' +b y p)
h
'' '
¿ 0+ g ( x )=g(x )
Zodat dit ook een oplossing is van de volledige LD
2. Als de ene een P.O. is en de andere een A.O., geldt:
a) y= y h ( x ) + y p ( x ) is een oplossing van de niet-homogene LD
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
√ Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, Bancontact of creditcard voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper runedeschepper. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €3,09. Je zit daarna nergens aan vast.
Is Stuvia te vertrouwen?
4,6 sterren op Google & Trustpilot (+1000 reviews)
Afgelopen 30 dagen zijn er 53340 samenvattingen verkocht
Opgericht in 2010, al 14 jaar dé plek om samenvattingen te kopen