Mathématiques - Les fonctions Exponentielle et Puissance
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Montpellier I (UMI)
Ce document est un guide d'étude sur les fonctions exponentielles et puissance, divisé en trois unités. La première unité se concentre sur la fonction exponentielle, couvrant sa définition, sa représentation graphique, son calcul dérivé, ses variations, ses limites et ses propriétés. Il ...
Module 5:
Les fonctions Exponentielle et Puissance
Table des matières
Unité 1 - La fonction exponentielle .......................................................................................... 2
I - Définition ....................................................................................................................................... 2
II - Représentation graphique .......................................................................................................... 3
III - Etude de la fonction exp(x) ....................................................................................................... 3
1 ) Etude de la dérivabilité et calcul de la dérivée ........................................................................................... 3
2 ) Signe de la dérivée et variations de la fonction exponentielle ................................................................... 4
3 ) Calcul des limites de la fonction exponentielle.......................................................................................... 4
4 ) Tableau de variations de la fonction exponentielle .................................................................................... 5
IV - Propriétés .................................................................................................................................... 5
V - Autres limites ............................................................................................................................... 7
VI - Dérivée de l’exponentielle d’une fonction ................................................................................ 8
VII - Différentes utilisations de l’exponentielle ............................................................................... 9
1 ) Résolutions d’équations avec exponentielle .............................................................................................. 9
2 ) Dériver à moindre frais un quotient d’exponentielles .............................................................................. 10
3 ) Déterminer des limites de fonctions avec exponentielles ........................................................................ 11
Unité 2 - La fonction puissance .............................................................................................. 13
I - Définition ..................................................................................................................................... 13
II - Propriétés ................................................................................................................................... 13
III - Etude de la fonction puissance réelle ..................................................................................... 15
1 ) Première étape : La dérivabilité et le sens de variations .......................................................................... 15
2 ) Limites en 0 et en + ∞ .............................................................................................................................. 15
IV - Les diverses fonctions exponentielles ..................................................................................... 17
V - Quelques exemples d’application ............................................................................................. 17
1 ) Résolutions d’équations avec des inconnus en exposant ......................................................................... 17
2 ) Détermination de limites de certaines fonctions à l’infini ....................................................................... 19
Unité 3 - Croissances comparées ............................................................................................ 21
I - La croissance comparée .............................................................................................................. 21
II - Exemples .................................................................................................................................... 21
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,L1-SDG-Mathématiques 1 P. Loup - L. Bonifas
Unité 1 - La fonction exponentielle
Nous avons étudié la fonction ln au chapitre précédent et nous avons montré que cette fonction
était une bijection de 0; + sur −; + et qu’elle admettait une fonction réciproque.
Cette dernière est appelée : fonction exponentielle.
Ce paragraphe est consacré à la découverte de la fonction exponentielle à partir des
connaissances acquises sur la fonction logarithme.
I - Définition
Définition de l'exponentielle :
La fonction exponentielle qui est notée exp, est la réciproque de la fonction logarithme
népérien. Ainsi :
• Exp est définie sur l'intervalle ]- ; + [.
• Exp est une bijection de ]- ; + [ sur ]0 ; + [ dont la réciproque est ln.
Donc l'exponentielle de tout réel x est toujours strictement positive.
• Dire que exp(x) = y signifie que x = ln(y)
Exp(x) est le plus souvent noté e x : notation puissance.
Remarques :
- Les fonctions ln et exp s'annihilent, donc pour tout réel x , ln exp( x) = x et, pour
tout réel x 0 , exp ln( x) = x
- Le nombre e est l'image de 1 par la fonction exponentielle, ce qui signifie
que : e = exp(1) = e1 .
Une valeur approchée de ce nombre e est 2,718.
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, L1-SDG-Mathématiques 1 P. Loup - L. Bonifas
II - Représentation graphique
La courbe représentative de la fonction exponentielle se déduit de celle de la fonction
logarithme népérien par symétrie par rapport à la droite d’équation y = x .
III - Etude de la fonction exp(x)
Nous allons, dans cette partie, procéder à l’étude de la fonction exponentielle sur l’intervalle
−; + .
Cette étude ne se ferra pas de manière classique, mais s’appuiera principalement sur le fait que
la fonction exponentielle est la réciproque de la fonction logarithme népérien.
1 ) Etude de la dérivabilité et calcul de la dérivée
Comme la fonction logarithme népérien est dérivable sur l'intervalle 0; + et que la fonction
exponentielle ne s'annule pas sur −; + , alors la fonction exponentielle est dérivable sur
l’intervalle ]- ; + [.
On peut donc calculer sa dérivée pour tout réel x , en appliquant la formule de la dérivée d’une
1
fonction réciproque : ( f −1 ) ' =
f ' f −1
Dans notre situation, on a les données suivantes :
1 −1
f ( x) = ln x donc f '( x) = et f ( x) = exp( x)
x
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