Fundamenten van de wiskunde - uitwerkingen huiswerk week 3
9 keer bekeken 0 keer verkocht
Vak
Fundamenten van de Wiskunde
Instelling
Universiteit Utrecht (UU)
Boek
Proofs and Fundamentals
Ook als de inleveropgave veranderd is, is dit natuurlijk nog steeds een heel goede oefening om de stof te begrijpen! Ik heb zelf erg genoten van het vak Fundamenten van de Wiskunde.
Fundamenten van de wiskunde - uitwerkingen huiswerk week 6
Aanvullende collegeaantekeningen week 6 - fundamenten van de wiskunde
Fundamenten van de wiskunde - uitwerkingen huiswerk week 4
Alles voor dit studieboek (6)
Geschreven voor
Universiteit Utrecht (UU)
Wiskunde
Fundamenten van de Wiskunde
Alle documenten voor dit vak (21)
Verkoper
Volgen
marjavdwind
Ontvangen beoordelingen
Voorbeeld van de inhoud
Fundamenten – Uitwerkingen
Huiswerk 3
29 september 2021
Opgave 3.2.1. Hoeveel elementen heeft de verzameling A = {a, b, {a, b}}?
Antwoord: Er geldt dat a ∈ A, b ∈ A en {a, b} ∈ A. Dit zijn alle
verschillende elementen die de verzameling A bevat. De verzameling A =
{a, b, {a, b}} heeft dus 3 elementen.
Extra informatie: De grootte van een verzameling wordt ook wel de kardinaliteit
van een verzameling genoemd, en kan worden genoteerd met verticale strepen
aan de linker- en rechterkant van de verzameling, net als bij de absolute
waarde. Voor Opgave 3.2.1 krijgen we dan voor de kardinaliteit van de
verzameling A dat |A| = 3. Een andere notatie die voorkomt is het gebruik
van een hekje, oftewel #A = 3.
Opgave 3.2.3. Hoe worden de volgende verzamelingen ook wel genoemd?
(1) A := {n ∈ Z | n = 2m met m ∈ Z}.
Antwoord: Bij een opgave met gehele getallen is het vaak verstandig om te
beginnen met kleine gevallen van n, met n ∈ Z.
Voor n = 0 hebben we 0 = 2 · 0 met 0 ∈ Z, dus
0 ∈ {n ∈ Z | n = 2m met m ∈ Z}.
1 1
Voor n = 1 hebben we 1 = 2 · 2
met 2
∈
/ Z, dus
1∈
/ {n ∈ Z | n = 2m met m ∈ Z}.
1
,Voor n = −1 hebben we −1 = 2 · − 12 met − 12 ∈
/ Z, dus
−1 ∈
/ {n ∈ Z | n = 2m met m ∈ Z}.
Voor n = 2 hebben we 2 = 2 · 1 met 1 ∈ Z, dus
2 ∈ {n ∈ Z | n = 2m met m ∈ Z}.
Voor n = −2 hebben we −2 = 2 · (−1) met −1 ∈ Z, dus
−2 ∈ {n ∈ Z | n = 2m met m ∈ Z}.
3 3
Voor n = 3 hebben we 3 = 2 · 2
met 2
∈
/ Z, dus
3∈
/ {n ∈ Z | n = 2m met m ∈ Z}.
We zien hierbij het volgende patroon:
{−2, 0, −2} ⊂ {n ∈ Z | n = 2m met m ∈ Z}.
De even getallen n zijn te schrijven als n = 2m met m ∈ Z en zitten dus in
de verzameling {n ∈ Z | n = 2m met m ∈ Z}.
De oneven getallen n zijn juist niet te schrijven als n = 2m met m ∈ Z, voor
deze getallen geldt namelijk n = 2m + 1 en zitten dus niet in de verzameling
{n ∈ Z | n = 2m met m ∈ Z}.
Conclusie: de verzameling {n ∈ Z | n = 2m met m ∈ Z} bestaat uit alle
even getallen.
Extra informatie: De verzameling bestaande uit alle even getallen wordt
ook wel genoteerd als 2Z.
(2) B := {k ∈ N | er bestaan p, q ∈ N zodat k = pq, en dat 1 < p <
k en 1 < q < k}.
Antwoord: Bij deze opgave bekijken we een deelverzameling van N, dus is
het ook hier verstandig om eerst kleine gevallen van k met k ∈ N te proberen.
Voor k = 1 hebben we 1 = 1 · 1, dus p = 1 en q = 1. Hieruit volgt:
1∈
/ B,
2
, want p = 1 ̸< 1 = k en q = 1 ̸< 1 = k.
Voor k = 2 hebben we 2 = 2 · 1, dus p = 1 en q = 1. Hieruit volgt:
2∈
/ B,
want p = 2 ̸< 2 = k en 1 ̸< 1 = q.
Voor k = 3 hebben we 3 = 3 · 1, dus p = 3 en q = 1. Hieruit volgt:
3∈
/ B,
want p = 3 ̸< 3 = k en 1 ̸< 1 = q.
Voor k = 4 hebben we 4 = 2 · 2, dus p = 2 en q = 2. Hieruit volgt:
4 ∈ B,
want 1 < p = 2 < k = 3 en 1 < q = 2 < k = 3.
We zien hierbij het volgende patroon:
{4, 6, 8, 9, 10} ⊂ B,
waarbij het getal k = 1 en de priemgetallen steeds worden overgeslagen. Laat
P de verzameling zijn van alle priemgetallen. Dan is de verzameling B te
schrijven als:
B = N − ({1} ∪ P ).
De verzameling B bestaat dus uit alle samengestelde getallen, oftewel alle
getallen die minstens twee keer deelbaar zijn door een (niet noodzakelijk
hetzelfde) priemgetal.
(3) C := {x ∈ R | er bestaan a, b ∈ Z zodat b ̸= 0 en x = ab }.
Antwoord: Met a ∈ Z en b ∈ Z − {0} kunnen we respectievelijk alle tellers
a en alle noemers b van een breuk maken. Hieruit volgt dat C = Q, oftewel
de verzameling van alle rationale getallen.
3
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
√ Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, Bancontact of creditcard voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper marjavdwind. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €4,99. Je zit daarna nergens aan vast.
