Fundamenten van de wiskunde - uitwerkingen huiswerk week 4
6 keer bekeken 0 keer verkocht
Vak
Fundamenten van de Wiskunde
Instelling
Universiteit Utrecht (UU)
Boek
Proofs and Fundamentals
Ook als de inleveropgave veranderd is, is dit natuurlijk nog steeds een heel goede oefening om de stof te begrijpen! Ik heb zelf erg genoten van het vak Fundamenten van de Wiskunde.
Fundamenten van de wiskunde - uitwerkingen huiswerk week 6
Aanvullende collegeaantekeningen week 6 - fundamenten van de wiskunde
Fundamenten van de wiskunde - uitwerkingen huiswerk week 3
Alles voor dit studieboek (6)
Geschreven voor
Universiteit Utrecht (UU)
Wiskunde
Fundamenten van de Wiskunde
Alle documenten voor dit vak (21)
Verkoper
Volgen
marjavdwind
Ontvangen beoordelingen
Voorbeeld van de inhoud
Fundamenten uitwerkingen huiswerk week 4
4 oktober 2021
Opgave 4.1.1:
(1), (4) en (6) zijn functies. De overige deelverzamelingen F ⊆ A × B hebben elk een element
a ∈ A in het domein waarvoor er niet exact één paar (a, b) ∈ F bestaat.
Opgave 4.1.3:
Diagrammen (i) en (iv) representeren functies. In de overige diagrammen is niet elk element
uit het domein gekoppeld aan exact één element uit het codomein.
Opgave 4.2.3:
(1): f (T ) = [0, 4], dan f −1 (T ) = [−2, 0] met f (f −1 (T )) = f ([−2, 0]) = [0, 1]
en f −1 (f (T )) = f −1 ([0, 4]) = [−3, 1]. √ √
(2): f (T ) = [0, 16], dan f −1 (T ) = [−1, 2 − 1] met f (f −1 (T )) = f ([−1, 2 − 1]) = [0, 2]
en f −1 (f (T )) = f −1 ([0, 16]) = [−5, 3].
(3): f (T ) = {2, 3}, dan f −1 (T ) = (1, 2] met f (f −1 (T )) = f ((1, 2]) = {2}
en f −1 (f (T )) = f −1 ({2, 3}) = (1, 3].
(4): f (T ) = {0, 1, 2, 5, 6}, dan f −1 (T ) = [0, 3) ∪ [6, 7)
met f (f −1 (T )) = f ([0, 3) ∪ [6, 7)) = {0, 1, 2, 6}
en f −1 (f (T )) = f −1 ({0, 1, 2, 5, 6}) = [0, 3) ∪ [5, 7).
Opgave 4.2.13:
We merken op dat de oneven opgaven zeer soortgelijk zijn aan de even opgaven, de even
opgaven zijn hieronder uitgewerkt.
Gegeven: verzamelingen A en B met deelverzamelingen X ⊆ A en Y ⊆ B en functie
f : A → B.
(2):
Te bewijzen: f (f −1 (Y )) ⊆ Y .
Bewijs. Volgens Deelstelling 3 van Stelling 4.2.4 geldt dat f (f −1 (Y )) ⊆ Y als en alleen als
f −1 (Y ) ⊆ f −1 (Y ), dit laatste is duidelijk waar en daarom geldt inderdaad f (f −1 (Y )) ⊆ Y .
1
, (4):
Te bewijzen: Y = f (f −1 (Y )) als en alleen als Y = f (W ) voor een W ⊆ A.
Bewijs. ” =⇒ ”. Stel Y = f (f −1 (Y )). Dan geldt voor W = f −1 (Y ) ⊆ A dat Y = f (W ).
” ⇐= ”. Stel Y = f (W ) voor een W ⊆ A. Dan geldt f (W ) ⊆ Y . Uit Deelstelling 3
van Stelling 4.2.4 volgt dat W ⊆ f −1 (Y ). Vervolgens geeft Deelstelling 4 van Stelling 4.2.4
f (W ) ⊆ f (f −1 (Y )). Aangezien f (W ) = Y volgt dat Y ⊆ f (f −1 (Y )). Volgens de definitie
van het inverse beeld geldt f −1 (Y ) ⊆ A en dus f (f −1 (Y )) ⊆ Y . Uit deze inclusies volgt dat
Y = f (f −1 (Y )).
(6):
Te bewijzen: f −1 (f (f −1 (Y ))) = f −1 (Y ).
Bewijs. ”⊆”. Volgens de redenatie in deelopgave (4) weten we dat f (f −1 (Y )) ⊆ Y en dus
volgt uit Deelstelling 5 van Stelling 4.2.4 dat f −1 (f (f −1 (Y ))) ⊆ f −1 (Y ).
”⊇”. Aangezien f (f −1 (Y )) ⊆ f (f −1 (Y )) geeft Deelstelling 3 van Stelling 4.2.4 dat
f −1 (Y ) ⊆ f −1 (f (f −1 (Y ))).
Omdat zowel f −1 (f (f −1 (Y ))) ⊆ f −1 (Y ) als f −1 (Y ) ⊆ f −1 (f (f −1 (Y ))) geldt moet gelden dat
f −1 (f (f −1 (Y ))) = f −1 (Y ).
Opgave 4.3.4:
(1):
Laat h : R → R gedefinieerd zijn door h(x) = x2 . Vanwege vergelijking f (0) = 0 6= 1 = f (1)
is deze functie is niet constant.
Laat k : R → R gedefinieerd zijn door
(
1, als x ≥ 0,
f (x) =
x, als x < 0.
Functie k is niet constant (f (−1) = −1 6= 1 = f (0)).
Omdat voor iedere x ∈ R er geldt dat h(x) ≥ 0 moet gelden dat (k ◦ h)(x) = 1 en dus is k ◦ h
een constante functie.
(2):
Laat s : R → R gedefinieerd zijn door s(x) = x/2. Omdat s(2) = 1 6= 2 geldt dat s 6= 1R .
Laat t : R → R gedefinieerd zijn door s(x) = 2x. Omdat t(1) = 2 6= 1 geldt dat t 6= 1R .
We merken op dat voor elke x ∈ R er geldt dat (s ◦ t)(x) = s(2x) = x en daarom (s ◦ t) = 1R .
2
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
√ Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, Bancontact of creditcard voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper marjavdwind. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €4,99. Je zit daarna nergens aan vast.