Samenvatting

Samenvatting - 4-Wiskunde (1014FTIWIS)

0 keer verkocht

Vak
4-Wiskunde (1014FTIWIS)

Instelling
Universiteit Antwerpen (UA)

De samenvatting bevat de Heaviside, Delta en Dirac functies. De Laplacetransformaties met de eigenschappen en voorbeelden. Toepassingen met Laplace en voorbeelden. De begrippen zoals convolutieproduct, orthogonaliteit, orthogonale familie, scalair product. De (complece) fourierreeks berekenen a...

[Meer zien]

Voorbeeld 4 van de 40 pagina's

Bekijk voorbeeld

Geupload op 21 mei 2023
Aantal pagina's 40
Geschreven in 2022/2023
Type Samenvatting

Volgen

robels Lid sinds 1 jaar 2 documenten verkocht

€7,99

In winkelwagen

Op verlanglijstje

100% tevredenheidsgarantie
Direct beschikbaar na je betaling
Lees online óf als PDF
Geen vaste maandelijkse kosten

Samenvatting
4-Wiskunde

Inhoudopgaven
H1 Fourierreeks inleiding.....................................................................................................................3
Scalair product.................................................................................................................................3
Scalair product van functies.............................................................................................................4
Orthogonale functies........................................................................................................................6
Legendre......................................................................................................................................7
Chebyshev...................................................................................................................................7
Benadering voor f(t) (zoek c_i).......................................................................................................8
Stelling van de Gemiddelde Kwadratische Fout (GKF)..................................................................9
Gevolg identiteit van Parceval..................................................................................................10
H1 de harmonische Fourier reeks.......................................................................................................11
Overzicht symmetrie niet periodieke functies...............................................................................11
Even functies.............................................................................................................................11
Eigenschap............................................................................................................................11
Oneven functies.........................................................................................................................11
Eigenschap............................................................................................................................11
Speciaal geval.......................................................................................................................12
Overzicht symmetrie periodieke functies......................................................................................12
Schuif Spiegel Symmetrie (SSS)..............................................................................................12
Eigenschap............................................................................................................................12
Verborgen SSS/ oneven symmetrie...........................................................................................12
Fourier Coëfficiënten.....................................................................................................................13
Foerier Coëfficiënten berekenen...............................................................................................14
Stelling van Dirichlet.....................................................................................................................17
Gevolgen van de stelling...........................................................................................................18
Identiteit van Parceval..........................................................................................................18
Gevolg van parceval (Stelling van de limieten van Riemann).............................................18
Convergentie snelheid..........................................................................................................19
Wat bij niet-periodieke functies.....................................................................................................20
H1 De complexe Fourierreeks............................................................................................................21
Coëfficiënt......................................................................................................................................21
Complex <-> harmonisch..............................................................................................................21
Wat bij niet-periodieke functies.....................................................................................................22
H1 voor en nadelen complex vs harmonisch......................................................................................22
H2 Laplace Transformatie inleiding...................................................................................................23
Golven en causaliteit......................................................................................................................23
De functie van Heaviside...............................................................................................................23
Verschoven vorm..................................................................................................................23
Causaal.................................................................................................................................23
Rechthoekpuls......................................................................................................................23
Dirac-functie (delta).......................................................................................................................24
Eigenschappen..........................................................................................................................24

, Een verschoven dirac-functie...............................................................................................24
voorstelling................................................................................................................................24
Zeefeigenschap (sample property)............................................................................................25
Impuls response h(t)..................................................................................................................26
Convolutie product........................................................................................................................27
Eigenschappen..........................................................................................................................27
H2 Laplace Transformatie..................................................................................................................29
Opmerkingen........................................................................................................................29
V klasse..........................................................................................................................................31
Eigenschappen..........................................................................................................................31
Stelling......................................................................................................................................31
Eigenschappen Laplace..................................................................................................................32
Lineariteit..................................................................................................................................32
Schaalwijziging.........................................................................................................................32
Translatie t → s.........................................................................................................................33
Translatie s → t.........................................................................................................................33
Afgeleiden t-gebied...................................................................................................................34
Bewijs afgeleiden t-gebied → vermenigvuldiging s-gebied................................................35
Stelling van de beginwaarde.....................................................................................................36
Bewijs...................................................................................................................................36
Stelling van de eindwaarde.......................................................................................................36
Afgeleiden s-gebied..................................................................................................................36
Delen door t → integreren vanaf s............................................................................................36
Toepassing van Laplace.................................................................................................................37
Systemen.............................................................................................................................................39
Lineariteit.......................................................................................................................................39
Handige tips voor oefeningen.............................................................................................................40

4-Wiskunde 2

,H1 Fourierreeks inleiding
Fourier komt van Joseph Fourier en verder uitgewerkt door Dirichlet & Riemann.
We gaan een complex signaal opdelen in simpelere en korte signalen. De analogie van coördinaten
in de ruimte is handig.
Wanneer de assen waarop we meten loodrecht op elkaar staan (orthogonaal zijn), dan kunnen we
nog meer verwezenlijken.

Coördinaten in de ruimte zijn op te delen in 3 delen (bij een 3 assen stelsel, x, y en z).
Gegeven een coördinaat (2,1,3) . Deze kunnen we ook beschrijven als x (2,0,0)+ y (0,1,0)+ z (0,0,3)
De coördinaat is dus opgebouwd uit 3 bouwstenen.

We kunnen dus een complexe functie opdelen in een reeks (oneindig veel) sommen van simpele
basis functies.

Voorbeeld functie

Gegeven f (t)=a0∗1+ a1∗t 1 +a2∗t 2 +a 3∗t 3+ ...+ an∗t n waarbij t de basisfunctie voorstelt en a een
coördinaat.
n
f (0)
We lossen dit op met de Taylorreeks a n=
n!
n
f ' (0) f ' '( 0) f (0)
(a 0 ,a 1 , a 2 , ... , an )=(f (0), , , ..., !)
1 2 n
1 2 n
Gegeven f (t)= =1+t+ t +...+t
1−t
Hierbij zijn de coördinaten de constante factoren bij elke basisfunctie namelijk: (1,1,1 , ...,1)

Scalair product
Hiermee kunnen we de loodrechtheid van 2 vectoren definiëren.

Scalair product & norm vector

⃗p⋅⃗q=‖⃗p‖‖⃗q‖cos(⃗p , ⃗
q)
‖⃗p‖ is de lengte van de vector (de norm) en is te berekenen als volgt ‖⃗p‖=√ x 20 + y 20 + z 20
Dit heeft een direct gevolg namelijk dat
⃗p⋅⃗
q
• Als de 2 vectoren niet nul zijn, dan is het scalair product =0 als deze loodrecht op
‖⃗p‖∗‖⃗ q‖
elkaar staan.

• Als ⃗p=⃗q dan hebben we ⃗p⋅⃗p =‖⃗p‖2 ⇒ √ ⃗p⋅⃗p =‖⃗p‖
Wanneer de 3 vectoren in een orthogonaal assenstelsel nu alle 3 loodrecht t.o.v. elkaar staan, dan
kunnen we vector p associëren als ⃗p=x e⃗x + y e⃗y + z e⃗z

4-Wiskunde 3

, Scalair product van functies
Bij 2 gegeven functies f en g, de loodrechtheid onderzoeken met behulp van het scalair product,
moeten de functies aan volgende eigenschappen voldoen
• f en g zijn functies gedefinieerd in [a , b]
• f (t) en g(t ) mogen complexe waarden zijn
Het scalair product van f (t) en g(t ) in [a , b] t.o.v. de gewichtsfunctie w (t) wordt als volgt
b
genoteerd: ⟨ f (t), g(t)⟩ w(t) =∫ f (t )∗g(t )∗w(t)∗dt
a

g(t ) is een complex toegevoegde.

Complex toegevoegde

Bij een complex toegevoegde, vervangen ven de j door een − j.
dus: a+ bj=a−bj

Gewichtsfunctie w(t)

2π
Meestal gebruiken we een gewichtsfunctie w(t)=1 (ω = ) (Een constante gewichtsfunctie)
T

Voorbeeld

Stel: f (t)=cos(t ), g(t )=sin(t ), t ∈[0 , π ], w (t)=1
b
Dan gebruiken we ⟨ f (t), g(t)⟩ w(t) =∫ f (t )∗g(t )∗w(t)∗dt en we vullen de 3 functies in.
a
π
⟨ cos( t),sin (t)⟩ w(t )=1=∫ cos(t)∗sin (t)∗1∗dt
0
Het complex toegevoegde voeren we niet uit omdat sin(t) geen complex getal is.
da
We voeren een kleine substitutie uit waarbij a=sin(t),da=cos (t)dt ⇒ dt =
cos(t )
π π b
cos(t )
∫ cos (t )∗sin( t)∗1∗dt=∫ cos(t ) da=∫ da
0 0 a
b 1+ p π
a
Denk hierbij aan ∫ da=[ ]
a p+1 0
b 2 π 2 π 2 2
sin(t) sin ( π ) sin (0)
∫ da=[ a2 ] =[ 2 ] = 2 − 2 =0
a 0 0

We kunnen dus stellen dat beide functies loodrecht op elkaar staan.

4-Wiskunde 4

Dit zijn jouw voordelen als je samenvattingen koopt bij Stuvia:

Bewezen kwaliteit door reviews

Studenten hebben al meer dan 850.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet jij zeker dat je de beste keuze maakt!

In een paar klikken geregeld

Geen gedoe — betaal gewoon eenmalig met iDeal, Bancontact of creditcard en je bent klaar. Geen abonnement nodig.

Focus op de essentie

Studenten maken samenvattingen voor studenten. Dat betekent: actuele inhoud waar jij écht wat aan hebt. Geen overbodige details!

Veelgestelde vragen

Wat krijg ik als ik dit document koop?

Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.

Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?

Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.

Van wie koop ik deze samenvatting?

Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper robels. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.

Zit ik meteen vast aan een abonnement?

Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €7,99. Je zit daarna nergens aan vast.

Is Stuvia te vertrouwen?

4,6 sterren op Google & Trustpilot (+1000 reviews)

Afgelopen 30 dagen zijn er 69052 samenvattingen verkocht

Opgericht in 2010, al 15 jaar dé plek om samenvattingen te kopen

Start met verkopen

Samenvatting

Samenvatting - 4-Wiskunde (1014FTIWIS)

Document informatie

Onderwerpen

Geschreven voor

Verkoper

Ontvangen beoordelingen

Voorbeeld van de inhoud