Dit document is een samenvatting van 'Module 4; driehoeksmeting in willekeurige driehoeken', uit het boek 'NANDO 4D' voor het vak Wiskunde in het GO! Onderwijs in de doorstroomfinaliteit/ASO.
1. Cosinusregel en sinusregel voor willekeurige driehoeken
1.1 Cosinusregel
Definitie
De cosinusregel geeft het verband weer tussen de 3 zijden van een driehoek en de cos van een hoek.
Formules
a² = b² + c² - 2bc ⋅ cos Â
̂
b² = a² + c² - 2ac ⋅ cos B
c² = a² + b² - 2ab ⋅ cos Ĉ
Gebruik
De cosinusregel wordt gebruikt om de lengte van de derde zijde van een driehoek te berekenen als
de lengte van beide andere zijden en de grootte van hun ingesloten hoek gekend zijn.
Bewijs
Gegeven: ΔABC is rechthoekig
Te bewijzen: a² = b² + c² - 2bc ⋅ cos Â
Bewijs:
- Teken de hoogtelijn [BD]
- ΔBCD is rechthoekig, er geldt:
a² = |BD|² + |DC|² -> |DC| = b - |AD|
a² = |BD|² + (b - |AD|)² -> merkwaardig product: (A – B)² = a² - 2ab + b²
a² = |BD|² + b² - 2b ⋅ |AD| + |AD|² -> stelling van Pythagoras in ΔBAD (c² = |BD|² + |AD|²)
|AD|
a² = b² + c² - 2b ⋅ |AD| -> in ΔBAD: cos  = of |AD| = c ⋅ cos Â
c
a² = b² + c² - 2bc ⋅ cos  -> a² = b² + c² - 2bc ⋅ cos  = a² = b² + c² - 2bc ⋅ cos Â
1.2 Sinusregel
Definitie
In elke driehoek zijn de zijden evenredig met de sinussen van de overstaande hoeken. Dit noemen
we de sinusregel.
Formule
a b c
= ̂ = ̂
sin  sin B sin C
Gebruik
De sinusregel wordt gebruikt om de lengtes van de zijden van een driehoek te berekenen als de
hoeken en één zijde gekend zijn.
Bewijs
Gegeven: ΔABC is een scherphoekige driehoek
a b c
Te bewijzen: sin  = sin B̂ = sin Ĉ
Bewijs:
In ΔBAD geldt: In ΔBCD geldt:
|BD| |BD|
sin  = c
sin Ĉ = a
|BD| = c ⋅ sin  |BD| = a ⋅ sin Ĉ
c ⋅ sin  = a ⋅ sin Ĉ
c a
sin Ĉ = sin Â
, 1.3 Oplossen van willekeurige driehoeken
Drie zijden gegeven
Om de hoeken te berekenen maken we gebruik van de cosinusregel.
Twee zijden en de ingesloten hoek zijn gegeven
Bereken eerst de ontbrekende zijde met de cosinusregel.
Nadien bereken je de hoeken eveneens met de cosinusregel.
Eén zijde en twee hoeken zijn gegeven
Bereken eerst de ontbrekende hoek. (door 180° - α – β te doen)
Bereken nadien de zijden met behulp van de sinusregel.
2. Toepassingen
2.1 Lengte van een zwaartelijn
Gegeven:
In ΔABC is:
̂ = 80°
B
|AB| = 19 cm
|BC| = 24 cm
en BD een zwaartelijn.
Gevraagd:
Bereken de lengte van [BD].
Oplossing:
We werken in ΔABC:
̂
|AC|² = |AB|² + |BC|² − 2 ⋅ |AB| ⋅ |BC| ⋅ cos B
|AC|² = 19² + 24² − 2 ⋅ 19 ⋅ 24 ⋅ cos 80°
|AC| ≈ 27,90399
|BC|² = |AB|² + |AC|² − 2 ⋅ |AB| ⋅ |AC| ⋅ cos Â
|AB|² + |AC|² − |BC|²
cos  =
2 ⋅ |AB| ⋅ |AC|
19² + 27,90399² − 24²
cos  =
2 ⋅ 19 ⋅ 27,90399
 ≈ 57°53′ 22′′
We werken in ΔABD:
|AC|
|AD| = 2
≈ 13,952
|BD|² = |AB|² + |AD|² − 2 ⋅ |AB| ⋅ |AD| ⋅ cos Â
|BD|² = 19² + 13,952² − 2 ⋅ 19 ⋅ 13,952 ⋅ cos (57°53′ 22′′)
|BD| ≈ 16,54817
Antwoord:
|BD| is ongeveer 16,54817 cm.
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
√ Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, Bancontact of creditcard voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper thibauttaminiau. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €4,99. Je zit daarna nergens aan vast.
