Dit document is een samenvatting van 'Module 7; tweedegraadsvergelijkingen en -ongelijkheden', uit het boek 'NANDO 4D' voor het vak Wiskunde in het GO! Onderwijs in de doorstroomfinaliteit/ASO.
1.1 Gemeenschappelijke factor afzonderen
Methode
STAP 1: Voor de haakjes plaats je de factor die in elke term voorkomt:
- de coëfficiënt is de grootste gemene deler van de voorkomende coëfficiënten
- de gemeenschappelijke letters in hun laagst voorkomende exponent.
STAP 2: Tussen de haakjes plaats je het quotiënt van de veelterm met de factor die voorop werd
geplaatst.
Voorbeelden
9x² − 6x + 15 = 3 ⋅ (3x² − 2x + 5)
√2r − √8 = √2 ⋅ (r − 2)
1.2 Een tweeterm van de vorm a² - b² ontbinden
Methode
Heb je een merkwaardige tweeterm van de vorm a² - b², dan kun je de tweeterm ontbinden volgens
de formule a² - b² = (a + b) · (a -b).
Voorbeelden
x² − 9 = (x + 3) ⋅ (x − 3)
-1,21h² + 0,64 = (0,8 + 1,1h) ⋅ (0,8 − 1,1h)
1.3 Een drieterm van de vorm a² + 2ab + b² ontbinden
Methode
Heb je een merkwaardige drieterm van de vorm a² + 2ab + b², dan kun je de drieterm ontbinden
volgens de formule a² + 2ab + b² = (a + b)².
Voorbeelden
1.4 Meerstapsoefeningen
Methode
STAP 1: Plaats de gemeenschappelijke factoren buiten de haakjes. Tussen de haakjes plaats je het
quotiënt van de veelterm met de factor die voorop werd geplaatst.
STAP 2: Heb je een merkwaardige tweeterm van de vorm a² - b²,
pas dan de formule a² - b² = (a + b) · (a -b) toe.
Heb je een merkwaardige drieterm van de vorm a² + 2ab + b²,
pas dan de formule a² + 2ab + b² = (a + b)² toe.
STAP 3: Herhaal stap 2 tot je niet meer verder kan ontbinden.
Voorbeelden
45x² − 5 = 5(9x² − 1)
= 5(3x + 1)(3x − 1)
x8 − 1 = (x4 + 1)(x4 – 1)
= (x4 + 1)(x² + 1)(x² − 1)
= (x4 + 1)(x² + 1)(x + 1)(x − 1)
= (x4 + 1)(x² + 1)(x + 1)(√x + 1)(√x - 1)
, 2. VERGELIJKINGEN VAN DE TWEEDE GRAAD
2.1 Definities
De nulwaarden van de functie f met voorschrift f(x) = ax² + bx + c (waarbij a ≠ 0) vinden we door de
volgende vergelijking op te lossen: ax² + bx + c = 0.
We noemen dit een tweedegraadsvergelijking of een vierkantsvergelijking.
De oplossingen van een veeltermvergelijking noemt men ook de wortels van de vergelijking.
Als b en/of c ontbreekt in een vergelijking en dus waarbij b en/of c gelijk is aan 0, dan spreekt men
van een onvolledige vierkantsvergelijking.
Als alle coëfficiënten a, b en c verschillend zijn van 0, spreekt men van een volledige
vierkantsvergelijking.
2.2 Onvolledige vierkantsvergelijkingen
Vergelijkingen van de vorm x² = k
Hierbij neem je de vierkantswortel van k om x te berekenen, waardoor je 2 mogelijke oplossingen
hebt aangezien de vierkantswortel van bijvoorbeeld 9, 3 maar ook -3 kan zijn.
Vergelijking van de vorm ax² + bx = 0
Hierbij zal je eerst moeten ontbinden in factoren, dit doe je door de gemeenschappelijke factor x af
te zonderen. Hierdoor weet je niet precies wat de oplossing is, dus zeg je dat x = 0 maar voor de
andere oplossing, los je de vergelijking op, zonder de gemeenschappelijke factor x.
Voorbeeld
2x² − 5x = 0
x(2x − 5) = 0
x = 0 of 2x − 5 = 0
5
x = 0 of x =
2
2.3 Volledige vierkantsvergelijkingen
Eigenschappen
De vergelijking ax² + bx + c = 0 heeft 0, 1 of 2 oplossingen, afhankelijk van het teken van de
discriminant D = b² - 4ac.
- twee oplossingen als D > 0
- één oplossing als D = 0
- geen reële oplossing als D < 0
Als de vergelijking ax² + bx + c = 0 een positieve discriminant D heeft, dan zijn de oplossingen van de
−b + √D −b − √D
vergelijking gelijk aan: x1 = 2a
en x2 = 2a
Als de vergelijking ax² + bx + c = 0 een discriminant D heeft die gelijk is aan 0, dan is de oplossing van
−b
de vergelijking gelijk aan: x = 2a
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
√ Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, Bancontact of creditcard voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper thibauttaminiau. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €4,99. Je zit daarna nergens aan vast.
