Samenvatting Vlakke Meetkunde met Coordinaten - Jan van de Craats, Amsterdam University 2005
0 keer bekeken 0 keer verkocht
Vak
Mathematics
Instelling
Mathematics
Vlakke Meetkunde met Coordinaten
Jan van de Craats, Amsterdam University 2005
De argumenten tegen een axiomatische opbouw van de vlakke meetkunde op
school zijn nog onverkort geldig. De twee belangrijkste zijn:
1. De axiomatische opbouw plaatst de vlakke meetkunde in een ge¨ısoleerde
posit...
In de Inleiding van zijn boek De logische grondslagen der Euklidische meetkunde uit
1937 bracht B.L. van der Waerden [2] de kloof ter sprake die er destijds bestond
‘... tussen de analytische, projectieve, differentiaal- en hogere meetkunde ener-
zijds, die de student aan de universiteit leert, en de elementaire, axiomatisch
opgebouwde, euklidische meetkunde, die hij als leraar later op school moet
onderwijzen.’ Met dit boek, de uitwerking van een collegereeks uit 1930/31
aan de Groningse universiteit, wilde Van der Waerden die kloof overbruggen.
Hij richtte zich dus tot de universitaire wiskundestudenten die het leraarschap
ambieerden, en in die tijd was dat nog de overgrote meerderheid. Maar de
situatie is sindsdien ingrijpend veranderd, niet alleen op het gebied van de be-
roepskeuzemogelijkheden voor wiskundestudenten, maar ook op het vlak van
de schoolwiskunde.
Toch is het interessant dat Van der Waerdens citaat duidelijk maakt dat de eu-
clidische, axiomatische behandeling van de vlakke meetkunde ook toen al niet
meer behoorde tot de hoofdstroom van de wiskunde, en dat er dus in feite
een einde was gekomen aan een tijdperk van meer dan twintig eeuwen waar-
in deze opbouw als het fundament van de wiskunde zelf was gezien. Een
behandeling op school van de grondslagen van de meetkunde volgens de axi-
omatische methode miste dus ook toen al een groot deel van haar wiskundige
bestaansgrond, en dat heeft waarschijnlijk in niet geringe mate bijgedragen
∗ Dit is een geactualiseerde versie van mijn syllabustekst De vlakke meetkunde terug op school voor
de CWI-Vacantiecursus 1998 die als thema had: Meetkunde, oud en nieuw [3]. Destijds was net
besloten vlakke meetkunde op te nemen in het vwo-wiskundeB12 programma. Mijn syllabustekst
was een poging om de inhoud van dat vak in een moderne richting om te buigen. Dat is niet
gelukt. Ik heb er destijds ook voor gewaarschuwd dat met name de technische universiteiten geen
reden zouden zien wiskunde B12 verplicht te stellen als ingangseis wanneer de inhoud ervan voor
hen op geen enkele manier als herkenbaar en nuttig zou worden ervaren. Dat is dan ook precies
wat er gebeurd is.
1
,aan de teloorgang van de schoolmeetkunde. Een teloorgang die dan ook niet
door invloeden van buitenaf, maar vooral vanuit de wiskunde zelf is teweeg-
gebracht.
De argumenten tegen een axiomatische opbouw van de vlakke meetkunde op
school zijn nog onverkort geldig. De twee belangrijkste zijn:
1. De axiomatische opbouw plaatst de vlakke meetkunde in een geı̈soleerde
positie ten opzichte van de rest van de wiskunde en de toepassingen ervan in
de techniek, de informatica en de natuurwetenschappen. Zo is er geen natuur-
lijke band met de analyse, waarin men grafieken tekent in een coördinatenvlak
en oppervlakten van vlakdelen berekent met behulp van de integraalrekening.
Evenmin liggen er directe verbindingen met de lineaire algebra, de algebra-
ische meetkunde en moderne toepassingen zoals computer graphics.
2. Een strikt logische axiomatische opbouw van de stof verloopt uiterst moei-
zaam; je moet een lange weg vol voetangels en klemmen afleggen, waarbij je
in het begin veel energie moet steken in het bewijzen van ‘vanzelfsprekende’
stellingen. Op school is deze aanpak volstrekt onhaalbaar. Ook vroeger wer-
den daarom allerlei fundamentele kwesties onder het vloerkleed geveegd in
de hoop dat de leerlingen er geen kritische vragen over zouden stellen.
1.1 Zijn de axioma’s consistent?
Daar komt nog iets bij. Zoals bij elk axiomatisch gedefinieerd systeem in de
wiskunde kun je de vraag naar de consistentie van de axioma’s niet negeren.
Die vraag luidt: is het uitgesloten dat een keten van logische gevolgtrekkingen
uit de axioma’s tot een tegenspraak leidt? Zo’n vraag wordt in de wiskunde
altijd beantwoord door een model te geven, dat wil zeggen een bekende wis-
kundige structuur die aan de axioma’s voldoet. Zou het nieuwe axiomastelsel
inconsistent zijn, dan zou die structuur ook niet als wiskundig object kunnen
bestaan. Consistentie is dus relatief: als je aanneemt dat zo’n bekende structuur
op een consistente basis rust, kun je concluderen dat het nieuwe axiomastelsel,
waar die bekende structuur een realisering van is, evenmin tot tegenspraken
kan leiden. Op deze manier worden nieuwe axiomatische structuren ingepast
in het grote bouwwerk van de wiskunde. Het gevoel van zekerheid dat de
meeste wiskundigen koesteren, berust daarbij op het besef dat men aan de ge-
hele wiskunde op die manier een gemeenschappelijk fundament kan geven.
Zo’n fundament is bijvoorbeeld de verzamelingenleer van Zermelo en Fraen-
kel.
Bij een axiomatische fundering van de euclidische vlakke meetkunde kun je als
model de R2 nemen, waarbij je dan op de bekende wijze punten, lijnen, afstan-
den, hoeken, etc., definieert. Daarbij moeten de axioma’s zoals Euclides die
formuleerde, worden aangevuld op een manier die bijvoorbeeld door Hilbert
in zijn Grundlagen der Geometrie [1] is aangegeven, of op een daarmee equiva-
lente wijze. Ook het geciteerde boek van Van der Waerden bevat zo’n volledig
2
,axiomastelsel. Zowel Hilbert als Van der Waerden sluiten hun opbouw inder-
daad af met een beschrijving van R2 als model om de consistentie van hun
axioma’s te rechtvaardigen.
1.2 De euclidische ruimte als reële vectorruimte
De axiomatisch gedefinieerde euclidische meetkunde onderscheidt zich van
de meeste andere axiomatisch gedefinieerde wiskundige structuren door het
feit dat alle modellen ervan equivalent zijn. Precies gezegd: elk model van
de euclidische vlakke meetkunde is isomorf met de R2 die voorzien is van het
standaardinproduct. Het is daarom niet van wezenlijk belang op welke wijze
je het euclidische vlak definieert, via axioma’s of via een aanpak waarbij de
R2 centraal staat. Het uiteindelijke resultaat is hetzelfde, alleen de weg waar-
langs het wordt bereikt, verschilt. De keuze die je maakt voor een bepaalde
presentatie kan door allerlei motieven worden ingegeven. Je kunt bijvoorbeeld
uit historische interesse kiezen voor een axiomatische behandeling, of omdat
je de draagwijdte en de onderlinge afhankelijkheid van bepaalde axioma’s wilt
onderzoeken. Tegen zo’n aanpak op school zijn hierboven echter al doorslag-
gevende bezwaren aangevoerd.
Bij de ‘koninklijke weg’ die in de wiskunde thans algemeen gangbaar is, neemt
men de verzameling R van de reële getallen als uitgangspunt, waarna men een
n-dimensionale euclidische ruimte definieert als een n-dimensionale reële vec-
torruimte voorzien van een inwendig product. Omdat bewezen kan worden
dat elke n-dimensionale euclidische ruimte isomorf is met R n voorzien van het
standaardinproduct (x, y) = ∑ni=1 xi yi , kun je je bij het in kaart brengen van de
euclidische meetkunde tot dit laatste geval beperken. Bij de vlakke euclidische
meetkunde is R2 met het standaardinproduct dan het uitgangspunt. Punten,
lijnen, afstanden, hoeken en alle verdere meetkundige begrippen kunnen bin-
nen dit kader netjes worden gedefinieerd.
Hoewel ook een dergelijke opbouw van de euclidische vlakke meetkunde op
school misschien niet volledig gerealiseerd kan worden – pas bij een wiskun-
destudie op de universiteit of de lerarenopleiding kunnen alle details hiervan
worden ingevuld – kun je toch een aanpak kiezen die hier goed op voorbereidt.
In feite past zo’n benaderingswijze ook uitstekend bij de intuı̈tieve en aan-
schouwelijke manier waarop thans in de basisvorming de meetkunde wordt
verkend. Daarbij werk je immers ook vrijelijk met coördinaten (meestal gevi-
sualiseerd als ruitjespapier) wanneer dit van pas komt. Wil je in de bovenbouw
bij de verdere exploratie van de vlakke meetkunde ook de aspecten redeneren
en bewijzen tot hun recht laten komen, dan moet je echter zorgen voor een
stevig fundament van intuı̈tief duidelijke uitgangspunten waarvan de kenner
weet dat ze met wat wiskundige techniek volledig te rechtvaardigen zijn. Je
zou die uitgangspunten basisstellingen kunnen noemen. Ze zullen, anders dan
de stellingen die daarna ter sprake komen, op school waarschijnlijk niet wor-
3
, den bewezen. Bij de hieronder gepresenteerde opzet, die gebruik maakt van
slechts één basisstelling, hoeft een geı̈nteresseerde leerling echter niet met een
kluitje het riet ingestuurd te worden, want zoals ik zal laten zien is het bewijs
van die basisstelling ook voor geı̈nteresseerde vwo-ers best te volgen.
Voordat ik een schets geef van zo’n behandeling van de vlakke meetkunde in
de bovenbouw, wijd ik eerst nog enige woorden aan het spanningsveld tussen
de meetkunde en de wereld om ons heen en aan het voortraject, de meetkunde
in de onderbouw.
1.3 De meetkunde en de werkelijkheid
De werkelijkheid vormt de inspiratiebron van de wiskunde, ook bij de meet-
kunde. In reële situaties waarin behoefte bestaat aan het toepassen van de
vlakke euclidische meetkunde (uit respect voor Euclides blijf ik deze meetkun-
de naar hem noemen, ook al kies ik voor een andere opbouw) is er altijd sprake
van punten, lijnen en afstanden in een vlak. In werkelijkheid zijn dat onvolmaak-
te objecten en grootheden: een vlak is nooit volmaakt vlak, punten en lijnen
hebben altijd een zekere dikte, lijnen zijn nooit volmaakt recht, afstanden zijn
nooit volmaakt nauwkeurig te meten.
Zoals dat ook altijd in de fysica gebeurt, gebruik je ook hier een geı̈dealiseerd
model om toch greep op die werkelijkheid te krijgen. In zo’n model hebben
punten geen afmetingen, hebben lijnen geen dikte, strekken lijnen zich onbe-
grensd naar twee kanten uit, hebben lijnstukken een welbepaalde, exacte leng-
te, geldt de stelling van Pythagoras in rechthoekige driehoeken, enzovoort. En
daarin kun je overal waar je maar wilt een orthonormaal coördinatenstelsel kie-
zen, dat wil zeggen een stelsel met onderling loodrechte coördinaatassen met
daarop gelijke schaalverdelingen. Die vrije keuze van coördinaten kun je vi-
sualiseren door een transparant waarop een rechthoekig coördinatenstelsel in
de vorm van een assenkruis met een bijbehorend vierkantenrooster is aange-
bracht, op een willekeurige plaats op het tekenvlak te leggen.
Die keuzevrijheid zal de belangrijkste pijler zijn van de hieronder gepresen-
teerde opbouw. Daarbij ga ik ervan uit dat leerlingen in lagere klassen al enigs-
zins vertrouwd zijn gemaakt met eenvoudige meetkundige figuren zoals pun-
ten, lijnen, cirkels, halve lijnen, hoeken, lijnstukken, evenwijdige lijnen, loodlij-
nen, gelijkbenige driehoeken, gelijkzijdige driehoeken, rechthoeken, vierkan-
ten, de afstand tussen twee punten en de afstand van een punt tot een lijn. Bij
het werken met coördinaten zullen leerlingen ook al hebben kennisgemaakt
met de vergelijkingen waarmee lijnen en cirkels kunnen worden beschreven.
Daarnaast zullen leerlingen ook al vertrouwd zijn met translaties, lijnspiege-
lingen en rotaties. Voor de intuı̈tieve begripsvorming kun je daarbij ook weer
gebruik maken van transparanten: je kunt figuren op een transparant kopiëren
4
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
√ Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, Bancontact of creditcard voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper tandhiwahyono. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €2,47. Je zit daarna nergens aan vast.
