Investigating the connection between stochastic differential equations and partial differential equations in order to use PDEs to solve or find characteristics of the SDE and viceversa
SDEstoPDEsandbat
Recall pox t tht which is the heat kernelsolution
of process Be satisfies pix t Ige of
Pe Pax
PDEs arisefromSDEs in numerousways
The GENERATOR L plays a keyrole
TRANSITION DENSITY
Consider theSDE
axe acte t at bexe E olBt Xs y set
Define the TRANSITION PROBABILITY DENSITY Pex tly s to be the pay of
00
It Nhhimtmw Ptp's't'd
here
immune s
y
mum
www
Often helpful in problems to think of functions
Uly s LgexPt x tly s ax Ct fixedconstant
choose
y gex so that ulys is probabilityof acxteb
Whoppingb given that Xs y
Iygygygg
y y
If we choose
g g g
gex s
paying g
axe b
o otherwise
g
Pt x.tl y s pelfof XelXs y
Xan
Mildmay ptcx.tly s pelfof it here
y
Mynydd dXt acte E att b Xe E dBe
Xs y
s t
,PROPERTIES of Pt
1 MARKOV PROPERTY increments Xe Xs are statisticallyindependent of Xuforall ucs
Why INTEGRAL VERSION of SDE
a si
pfx.tly.siyaSai PtC t Yn's
i Yn.sn s sac on
Pdfof Xt Xs yesXs ya guy y i.e oldinformation is worthless
g CHAPMAN KOLMOGOROV PROPERTY
Consider the Jointpelf plx.tiz.gly s i e jointpelf of Xe x and Xq z given
that xs y
Notice that pex t zig ly s dz
ptcx.tly s for all scgct
Ttgraigoreanpossibleintermediatestates
Recall that PLANB P AIB PCB
poly version pixt.z.gl y s plx.tlzig y s Pt zigly s
Markov
ptex.tlzig Pt Zigly s
i
FOKKER PLANCK EQUATION
Consider
pix t ptcx.tly.ge ediegnstPaifofXtlXo Y
Can we find a PDEgoverning the behaviour
Consider
ofpox t
some smoothfunctionLex
ofIggy fer
of Elf Xt ft Ifa pix tax fcxlptcx.tlox
It ECLCXED EffI
of fixeldXt If Xe ext
L Xe acxe.tlelttblxt.tlaBelt Xt blxt.tt at
Lf a nonanticipatingproperty
Effin Effcxdlalxe.tl 4t
tbfttzf
blxt.ttdp
, Eff cxaalxe.tl IL Xe b Xe E
L'cxaalxe.tl IL Xe b Xt E 2 pix E at useintegrationby
parts
fence
ftwice
I fix a x e pix t x
I fix pcx.tlbex E 2
xx dx
Boundary termsvanish e
g Ifcxlacx.tlelx fffx.pl tJ.j Iffcxlacx.tlplx.tlx
P'FIJIpolysotherwiseegffx.ndxs.is impossible
also need px so as ixia forotherintegral
Now
figs p ix e ax fix cap x BP xx at
fflx
of petcap bapxx ax D
the
yardpossiblefed
By the FUNDAMENTAL LEMMA ofCALCULUS ofVARIATIONS this is onlypossible
if Petcap bap D
Of Pet ap x 12lb p xx FOKKER PLANCK EQUATION fer D SDE
T
Drift Diffusion
EXAMPLE Xe Be axe dBe a a b s
FP E Pt LPxx
The F P E is a PARABOLIC Cheatlike PDE
Diffusion b'so ensures that it is wellposed in forwardstime
pelf pix t DIFFUSES in x as t increases
EXAMPLE axe Volt FedBe Vik o constants
FPE PttVp Kpxx Advection Diffusion in D e g dye in rivervelocity V
diffusion K
plx.tl concentrationofdye
Xt individualparticlesofdye
EXAMPLE OUPROCESS OX XEat dBt
E
Pt f Px 2 22 P PE HEI EPxx
Look for a STEADY SOLUTION psex
xp
Ifp's integrate xps raps to ppg
E
InPs
Egtina
Ps Ae Nt and get A from ftp.ixiax s NORMALISATION CONDITION
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
√ Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, Bancontact of creditcard voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper eleonoraagostinelli. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €6,79. Je zit daarna nergens aan vast.
