Résumé analyse 1 avec des exercices corrigées

Analyse 1 (SMPC)

, Chapitre 1

Les suites

1. Définitions
1.1. Définition d’une suite

Définition 1

– Une suite est une application u : N → R.
– Pour n ∈ N, on note u(n) par u n et on l’appelle n-ème terme ou terme général de la suite.


La suite est notée u, ou plus souvent (u n )n∈N ou simplement (u n ). Il arrive fréquemment que l’on consi-
dère des suites définies à partir d’un certain entier naturel n 0 plus grand que 0, on note alors (u n )nÊn0 .


Exemple 1
p p p
– ( n)nÊ0 est la suite de termes : 0, 1, 2, 3,. . .
n
– ³((−1)
´ )nÊ0 est la suite qui alterne +1, −1, +1, −1,. . .
– n12 . Les premiers termes sont 1, 14 , 91 , 16
1
, ...
nÊ1



1.2. Suite majorée, minorée, bornée

Définition 2

Soit (u n )n∈N une suite.
– (u n )n∈N est majorée si ∃ M ∈ R ∀ n ∈ N u n É M.
– (u n )n∈N est minorée si ∃ m ∈ R ∀ n ∈ N u n Ê m.
– (u n )n∈N est bornée si elle est majorée et minorée, ce qui revient à dire :

∃M ∈ R ∀n ∈ N | u n | É M.



+ M
+
+ +
+ + +
+
+

+ +

0 1 2 +
+ + m



1

, Les suites 2


1.3. Suite croissante, décroissante

Définition 3

Soit (u n )n∈N une suite.
– (u n )n∈N est croissante si ∀ n ∈ N u n+1 Ê u n .
– (u n )n∈N est décroissante si ∀ n ∈ N u n+1 É u n .
– (u n )n∈N est monotone si elle est croissante ou décroissante.



Remarque

– (u n )n∈N est croissante si et seulement si ∀ n ∈ N u n+1 − u n Ê 0.
– Si (u n )n∈N est une suite à termes strictement positifs, elle est croissante si et seulement si ∀ n ∈
u n+1
N u n Ê 1.




Exemple 2
.
La suite (u n )nÊ1 définie par u n = (−1)n /n pour n Ê 1, n’est ni croissante ni décroissante. Elle est
majorée par 1/2 (borne atteinte en n = 2), minorée par −1 (borne atteinte en n = 1).
1

1 +
2
+
+
1 2 3 4 5 6
+
+
− 12


-1 +
–
¡1¢
– La suite n nÊ1 est une suite décroissante. Elle est majorée par 1 (borne atteinte pour n = 1), elle
est minorée par 0 mais cette valeur n’est jamais atteinte.



2. Limites
2.1. Limite finie, limite infinie
Soit (u n )n∈N une suite.

Définition 4

La suite (u n )n∈N a pour limite ` ∈ R si : pour tout ε > 0, il existe un entier naturel N tel que si n Ê N
alors | u n − `| É ε :

∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n ∈ N (n Ê N =⇒ | u n − `| É ε)


On dit aussi que la suite (u n )n∈N tend vers `. Autrement dit : u n est proche d’aussi près que l’on veut
de `, à partir d’un certain rang.

, Les suites 3




`+ε
+ +
` +
un + + +
`−ε +
+
+
+
+ +
+
N n



Définition 5

1. La suite (u n )n∈N tend vers +∞ si :

∀A > 0 ∃N ∈ N ∀n ∈ N (n Ê N =⇒ u n Ê A)

2. La suite (u n )n∈N tend vers −∞ si :

∀A > 0 ∃N ∈ N ∀n ∈ N (n Ê N =⇒ u n É − A)


Remarque

1. On note limn→+∞ u n = ` ou parfois u n −−−−−→ `, et de même pour une limite ±∞.
n→+∞
2. limn→+∞ u n = −∞ ⇐⇒ limn→+∞ − u n = +∞.
3. On raccourcit souvent la phrase logique en : ∀ε > 0 ∃ N ∈ N (n Ê N =⇒ | u n − `| É ε). No-
ter que N dépend de ε et qu’on ne peut pas échanger l’ordre du « pour tout » et du « il existe ».
4. L’inégalité | u n − `| É ε signifie ` − ε É u n É ` + ε. On aurait aussi pu définir la limite par la
phrase : ∀ε > 0 ∃ N ∈ N (n Ê N =⇒ | u n − `| < ε), où l’on a remplacé la dernière inégalité
large par une inégalité stricte.


Définition 6

Une suite (u n )n∈N est convergente si elle admet une limite finie. Elle est divergente sinon (c’est-
à-dire soit la suite tend vers ±∞, soit elle n’admet pas de limite).

On va pouvoir parler de la limite, si elle existe, car il y a unicité de la limite :

Proposition 1

Si une suite est convergente, sa limite est unique.


Démonstration

On procède par l’absurde. Soit (u n )n∈N une suite convergente ayant deux limites ` 6= `0 . Choisissons
ε > 0 tel que ε < |`−2` | .
0



Comme limn→+∞ u n = `, il existe N1 tel que n Ê N1 implique | u n − `| < ε.
De même limn→+∞ u n = `0 , il existe N2 tel que n Ê N2 implique | u n − `0 | < ε.
Notons N = max(N1 , N2 ), on a alors pour ce N :

| u N − `| < ε et | u N − `0 | < ε

Donc |` − `0 | = |` − u N + u N − `0 | É |` − u N | + | u N − `0 | d’après l’inégalité triangulaire. On en tire