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Résumé chapitre 1 Les suites de fonction
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CHAPITRE 1 : LES SUITES DE FONCTIONS1. Introduction
Dans ce chapitre, on considère une suite de fonctions (fn ) dé
nies sur le même ensemble de dé
nition
D ⊂ R et à valeurs réelles ou complexes.
L'idée la plus naturelle est de dé
nir (si elle existe) une fonction f telle que :
x ∈ D, f (x) = lim fn (x)
n→+∞
Si une telle fonction f existe, on dit que f est la limite Simple de la suite (fn ).
Cette notion est la première qui a été utilisée, mais avec cette convergence on n'a pas forcément la
continuité de f même si les fonctions fn sont continues, c'est pour celà qu'on est ramené à étudier une
autre mode de convergence : c'est la convergence Uniforme.
2. Les SUITES de fonctions : définitions et modes de convergence
On note par F (I, R) l'ensemble des fonctions dé
nies sur l'intervalle I ⊂ R à valeurs dans R, c'est
un R-espace vectoriel.
Dé
nitions 2.0.1. On appelle suite de fonctions sur I toute application :
f : J ⊂ N − − − − → F (I, R), f (n) = fn ∈ F (I, R)
On note une suite de fonction par (fn )n∈N) =(fn ).
Exemples 2.0.1.
(i) Les fonctions (fn ) dé
nies sur R, par fn (x) = sin(x + n1 ), forme une suite de fonctions sur R.
(ii) Les fonctions (gn ) dé
nies par x ∈ R+ , gn (x) = 1+nx
nx
, forme une suite de fonctions sur R+ .
2.1. La convergence Simple d'une suite de fonctions.
Dé
nitions 2.1.1. Soit (fn ) une suite de fonctions dé
nies sur I ⊂ R.
1) On dit que la suite de fonctions (fn ) converge en un point x ∈ I , si la suite numérique (fn (x))
converge.
2) On dit que la suite de fonctions (fn ) converge simplement sur I vers une fonction f si :
∀x ∈ I, lim fn (x) = f (x) ou lim |fn − f | (x) = 0
n→+∞ n→+∞
f est appelée limite simple de la suite (fn ), et on écrit :
C.S.sur I
z }| {
fn − − −− → f
Pour x ∈ I , (fn (x)) est considérée comme une suite numérique.
Exemples 2.1.1. 1
, 2
(i) La suite de fonctions (fn ) dé
nie sur ∈ R, par fn (x) = sin(x + n1 ).
On remarque que :∀x ∈ R, limn→+∞ sin(x + n1 ) = sin(x) = f (x) alors :
C.S.sur R
z }| {
fn − − −− → f, avec f (x) = sin(x)
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
(ii) Considérons la suite de fonctions (fn ) dé
nie par :
x ∈ I = [0, 1], fn (x) = nα xn (1 − x), α∈R
On remarque que : fn (0) = fn (1) = 0 et ∀x ∈]0, 1[, limn→+∞ xn = 0 alors :
∀x ∈ [0, 1], lim fn (x) = 0
n→+∞
Par conséquent :
C.S.sur [0,1]
z }| {
∀α ∈ R, fn − − −− → f, avec f (x) = 0
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
(iii) Considérons la suite de fonctions (hn ) dé
nie sur [0, 1] par :hn (x) = ne−x +x2
n+x .
On remarque que :
2
ne−x + x2 e−x + xn
∀x ∈ [0, 1], lim = lim = e−x
n→+∞ n+x n→+∞ 1 + x
n
alors :
C.S.sur [0,1]
hn − − −− → h, avec h(x) = e−x
z }| {
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
(iv) Considérons la suite de fonctions (hn ) dé
nie par :
x ∈ R, hn (x) = nβ e−nx , β∈R
On remarque que :
(a) Pour x ≥ 0 et β ∈ R , on a :
P our x > 0, lim nβ e−nx = 0 et hn (0) = nβ
n→+∞
Par conséquent :
(i) Si β < 0 alors la suite (hn ) converge Simplement sur I1 = [0, +∞[ vers la fonction h telle
que : ∀x ∈ [0, +∞[, h(x) = 0.
(ii) Si β = 0 alors la suite (hn ) converge Simplement sur I1 = [0, +∞[ vers la fonction h telle
que :
0, pour x > 0
h(x) =
1 pour x = 0
(iii) alors la suite (hn ) converge Simplement sur I2 =]0, +∞[ vers la fonction h telle
Si β > 0
que : ∀x ∈]0, +∞[, h(x) = 0.
Mais la suite (hn ) ne converge pas Simplement sur I1 = [0, +∞[.
(b) Pour x < 0, et ∀β , on a : limn→+∞ nβ e−nx = +∞ alors la suite (hn ) ne converge pas
Simplement sur I3 =] − ∞, 0[.
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
(v) Considérons la suite de fonctions (gn ) dé
nie par x ∈ R, gn (x) = nx2
1+nx2 .
On remarque que :
nx2
gn (0) = 0 et pour x 6= 0 lim =1
n→+∞ 1 + nx2
Alors :
C.S.sur R
z }| {
gn − − −− → g, avec :
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