WISKUNDE KENNIS
HOOFDSTUK 1: GETALLENKENNIS
Het decimale talstelsel
● Cijfers en getallen
Getallen worden geschreven in het decimale of tientallige talstelsel.
Daarin worden 10 symbolen of cijfers gebruikt om getallen samen te stellen.
→ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
Voorbeelden:
- 7 is zowel een getal als een cijfer
- 14 is een getal
Cijfer = een symbool waarmee je getallen kan schrijven
Getal = opgebouwd uit één of meerdere cijfers
In totaal zijn er 81 getallen die bestaan uit 2 verschillende cijfers.
● Het decimale talstelsel
Het decimale talstelsel is een positiestelsel met grondtal tien.
→ We maken gebruik van 10 verschillende cijfers (0-9).
- Als een cijfer een plaats opschuift naar links in een getal, wordt de waarde 10 keer groter.
- Als een cijfer een plaats opschuift naar rechts in een getal, wordt de waarde 10 keer kleiner.
→ De plaats van de cijfers in een getal, noemen we de rang van dat cijfer.
→ In het decimale talstelsel krijgt elke rang een naam.
Rangen worden voorgesteld in een positietabel:
→ Tientallen slaat op het tweede cijfer voor de komma, maar tienden op het eerste cijfer na de komma.
→ Honderdtallen is het derde cijfer voor de komma, maar honderdsten het tweede cijfer na de komma.
1
,Rangen:
VOOR DE KOMMA NA DE KOMMA
NAAM NOTATIE WAARDE NAAM NOTATIE WAARDE
eenheden E 1 tienden t 0,1
tientallen T 10 honderdsten h 0,01
honderdtallen H 100 duizendsten d 0,001
duizendtallen D 1.000 tienduizendsten td 0,0001
tienduizendtallen TD 10.000
honderdduizendtallen HD 100.000
miljoentallen M 1.000.000
tienmiljoentallen TM 10.000.000
honderdmiljoentallen HM 100.000.000
miljardtallen Md 1.000.000.000
Oefening:
→ Bepaal de rang van het cijfer 2 in elk getal:
- 1,32 = 1 (laagste waarde) → (2 heeft de waarde van 2h of 0,02)
- 31,2 = 2 → (2 heeft de waarde van 2t of 0,2)
- 2,31 = 3 → (2 heeft de waarde van 2E of 2)
- 321 = 4 → (2 heeft de waarde van 2T of 20)
- 231 = 5 → (hoogste waarde) (2 heeft de waarde van 2H of 200)
● Getallen lezen en schrijven in het decimale talstelsel
Positietabel is hierbij een hulpmiddel.
→ Je noteert enkel cijfers, geen
komma.
→ De komma schrijf je enkel als je het
getal uit de positietabel haalt.
2
,Oefening:
- 0,17 = zeventien honderdste
- 17.000 = zeventienduizend
- 170 = zeventien tientallen
- 1700 = zeventienhonderd
- 0,017 = zeventien duizendste
- 1,7 = zeventien tiende
Oefening:
- 35 d = 0,035
- 60 H = 6000
- 3 T 3 t = 40,3
- 34,5 miljoen = 34.500.000
- Een half miljard = 500.000.000
● Getallen ordenen
Oefening:
- Als je 2 getallen wil vergelijken, hoe kan je dan zien welk getal groter is?
→ Het getal met het hoogste cijfer op de hoogste rang is altijd groter.
Oefening:
→ Rangschik de volgende getallen van groot naar klein
- 32,1 = grootste getal
- 8,7
- 1,72
- 1,453
- 1,428 = kleinste getal
Oefening:
- Wat is het kleinste getal zonder cijfers na de komma dat je kan vormen met drie verschillende
cijfers?
→ 102
3
, ● Getallen op een getallenas plaatsen
Om een getal op een getallenas te plaatsen, moet je weten in hoe groot de intervallen zijn waarin die
getallenas onderverdeeld is. Dit kan je weten als je de positie van twee getallen op de getallenas kent.
Door het aantal intervallen tussen die twee getallen te tellen, kan je berekenen welke sprong er gemaakt
wordt bij elk interval. Daaruit kan je de positie van andere getallen afleiden.
Oefening:
- Welk getal hoort bij letter A? (zie afbeelding)
→ 130
- Welk getal hoort bij letter B? (zie afbeelding)
→ 10,7
- Op welke plaats ligt 9.375? (zie afbeelding)
● Getallen afronden
Als je een getal afrondt op een bepaalde rang, dan vallen alle cijfers na die rang weg. Wat er gebeurt met
het cijfers van de laatste die je behoudt, hangt af van het cijfer van de volgende rang.
Het eerste weggelaten cijfer is 0-1-2-3-4 Het eerste weggelaten cijfer is 5-6-7-8-9
→ Cijfer ervoor behouden → Cijfer ervoor +1
Oefening:
- Welk getal krijg je als je 3,593 afrondt op twee cijfers na de komma?
→ 3,59
- Welk getal krijg je als je 92,079 afrondt op een tiende?
→ 92,1
De nauwkeurigheid waarop je een getal afrondt, kan je op verschillende manieren verwoorden:
- afronden op één, twee, drie cijfers na de komma…
- afronden op één, twee, drie decimalen…
- afronden op ene tiende, een honderdste, een duizendste,...
- afronden op 0,1 , 0,01 , 0,001 , …
Of je naar boven of naar beneden afrondt, wordt bepaald door het verschil tussen het oorspronkelijke
getal en het kleinere of grotere afgeronde getal. Als je het oorspronkelijke getal dichter ligt bij het kleinere
afgeronde getal, rond je af naar beneden.
Bv: 2,3 afgerond op de eenheid is 2
Als het oorspronkelijke getal precies in het midden ligt, rond je ook af naar boven.
Bv: 2,5 afgerond op de eenheid is 3.
Als het oorspronkelijke getal dichter ligt bij het grotere afgeronde getal, rond je af naar boven.
Bv: 2,8 afgerond op de eenheid is 3.
4
,Oefening:
- Rond 2,472 af op twee cijfers na de komma.
→ 2,472 ligt tussen 2,47 en 2,48
→ 2,472 ligt dichter bij 2,47 dan bij 2,48 aangezien het volgende cijfer 2 is
→ 2,472 afgerond op twee cijfers na de komma is dus 2,47
- Rond 2,472 af tot op één decimaal.
→ 2,472 ligt tussen 2,4 en 2,5
→ 2,472 ligt dichter bij 2,5 dan bij 2,4 aangezien het volgende cijfer 7 is
→ 2,472 afgerond op één decimaal is dus 2,5
Als je een getal moet afronden op een aantal cijfers na de komma, moet je dat afgeronde getal ook
schrijven met zoveel cijfers na de komma.
Bv: 12,02 afgerond op een tiende is 12,0 en niet 12
→ De nul is belangrijk omdat je het getal op een tiende nauwkeurig moet afronden.
Als je een getal afrondt, is het afgeronde getal niet meer gelijk aan het oorspronkelijke getal. Daarom mag
je bij afronding niet het symbool ‘=’ gebruiken.
→ In de plaats daarvan gebruiken we ≈.
→ Je noteert 4,295 ≈ 4,3
Breuken
● Wat zijn breuken
Oefening:
- Een breuk kan een manier zijn om…
→ Een deel van een getal voor te stellen.
→ Een deling van gehele getallen te noteren.
→ Een verhouding of een kans te noteren.
→ Uit te drukken welke bewerking je met een getal of hoeveelheid moet uitvoeren.
Deel van een geheel Een deel van een geheel kan je ook altijd Dit deel van de taart kan je
noteren als een breuk. Hierbij is het heel schrijven als ⅝ van de taart.
belangrijk dat het geheel in gelijke delen is
verdeeld.
Verhouding of kans Een breuk kan ene manier zijn om een verhouding of een kans te noteren. In de
zin “één op twee volwassen Belgen kampt met overgewicht”, kan je de
verhouding “één op twee” schrijven als de breuk ½. Ook een kans is een
verhouding: de kans dat je een drie werpt met een dobbelsteen, is ⅙.
5
,Operator Een breuk gebruik je om duidelijk te maken welke bewerking je met een
geheel, een hoeveelheid of een getal moet uitvoeren. In dit geval gebruik je de
breuk als een operator.
In ‘Hoeveel is ¾ van 12’ betekent de breuk ¾ dat je 12 moet delen door 4 en
vermenigvuldigen met 3.
→ ¾ van 12 is dus hetzelfde als 12 : 4 X 3.
Deling Een breuk is ook een schrijfwijze voor een deling. De deling 4:9 kan je ook
noteren als 4/9. Je gebruikt de breukstreep in plaats van het deelteken.
● Terminologie
Oefening:
- In de breuk ¾ is 3 de teller van de breuk.
- Teller en noemer worden van elkaar gescheiden door de breukstreep.
- In de breuk ¾ is 4 de noemer van de breuk.
- De breuken ⅕, ⅘, ⅖ zijn gelijknamige breuken.
- De breuken ¾ en 6/8 zijn gelijkwaardige breuken.
- De breuken ½, ⅓ en ¼ zijn stambreuken.
Teller, noemer, breukstreep De breuk wordt gevormd door een teller, een noemer en een
breukstreep.
- Noemer = zegt in hoeveel gelijke delen het geheel verdeeld wordt
- Teller = geeft aan hoeveel van die gelijke delen je hebt
- Breukstreep = wordt meestal horizontaal getekend
Het geheel is verdeeld in 5 gelijke delen.
2 Van die delen zijn ingekleurd.
stambreuk Een breuk die als teller 1 heeft, noem je een stambreuk. In de
breukentabel zie je alle stambreuken van ½ tot en met 1/10.
6
, Gelijkwaardige breuken Aangezien 3 van de 4 gelijke stukken taart evenveel taart is als 6 van de 8
gelijke stukken van dezelfde taart, kunnen we zeggen dat deze breuken
dezelfde waarde hebben. Daarom noemen ze gelijkwaardige breuken.
Bij elke breuk kan je oneindig veel gelijkwaardige breuken geven, door
de teller en de noemer telkens met hetzelfde getal te vermenigvuldigen.
Gelijknamige breuken Breuken met dezelfde noemer, worden gelijknamige breuken genoemd.
Gelijknamige breuken zijn bijvoorbeeld ⅓, ⅔, 5/3, 10/3,...
Ze bevinden zich in dezelfde rij in de breukentabel. Deze breuken kunnen
gemakkelijk worden opgeteld of afgetrokken.
● Deel-geheel voorstellen als breuk
Om een breuk voor te stellen op een tekening, is het belangrijk dat je weet wat in de gegeven context als
een geheel beschouwd wordt. Het geheel kan voorgesteld worden als een oppervlakte, lengte, inhoud of
andere grootheid, maar het kan ook een getal zijn.
Daarna kijk je naar de noemer, en vervolgens naar de teller van de breuk om het geheel te verdelen:
- Noemer = aantal gelijke delen waarin je het geheel onderverdeelt
- Teller = aantal gelijke delen dat je neemt of aanduidt
Bij de verdeling van een oppervlakte in gelijke delen is het niet zo belangrijk op welke manier deze
oppervlakte verdeeld wordt, zo lang de oppervlakte van elk deel hetzelfde is.
Afhankelijk van de context is het mogelijk om een deel te hebben dat groter is dan één geheel. Het is niet
mogelijk om één pizza in vier gelijke stukken te snijden en er vijf stukken van op te eten, maar als er
meerdere pizza’s zijn, kan je wel 5/4 van een pizza eten.
7
,Oefening:
- Duid de rechthoeken aan waarvan ¾ van de oppervlakte ingekleurd is.
● Gelijkwaardige breuken - breuken vereenvoudigen
Om een breuk te kunnen vergelijken, moet je eerst en vooral weten hoe je gelijke breuken kan herkennen.
Daarvoor denk je best eens terug aan breuk als deel van een h-geheel.
Op de tekening is elke taart verdeeld in een verschillend aantal gelijke delen. Toch is telkens precies de
helft van de taart ingekleurd.
Oefening:
- Hoe kan je zien aan de tellers en de noemers van twee breuken dat de breuken gelijk of
gelijkwaardig zijn aan elkaar?
→ Als je de teller en de noemer van een breuk met dezelfde factor vermenigvuldigt of door
eenzelfde factor deelt, dan krijg je een gelijke of gelijkwaardige breuk.
→ Gelijke breuken = gelijkwaardige breuken
8
,Oefening:
- ⅔ = 40/60 (Als je de teller en de noemer vermenigvuldigt met 20, krijg je 40/60)
- 4/9 = 8/18 (Als je de teller en noemer vermenigvuldigt met 2, krijg je 8/18)
- ⅜ = 12/32 (Als je de teller en noemer vermenigvuldigt met 4, krijg je 12/32)
- 6/5 = 36/30 (Als je de teller en noemer vermenigvuldigt met 6, krijg je 36/30)
- ¾ = 27/36 (Als je de teller en noemer vermenigvuldigt met 9, krijg je 27/36)
- ⅚ = 25/30 (Als je de teller en noemer vermenigvuldigt met 5, krijg je 25/30)
Omgekeerd vind je ook een gelijkwaardige breuk als je de teller en de noemer van een breuk deelt door
dezelfde factor. Dit noemen we de breuk vereenvoudigen.
Een breuk die niet meer vereenvoudigd kan worden, wordt een onvereenvoudigbare breuk genoemd.
Je kan de breuk in één stap vereenvoudigen tot een
onvereenvoudigbare breuk door de teller en de noemer te delen door
de grootste gemeenschappelijke deler van de teller en de noemer. Je
kan die breuk ook vereenvoudigen door teller en noemer verschillende
keren door een kleinere factor te delen tot je een onvereenvoudigbare
breuk krijgt.
Oefening:
- 16/20 kan je vereenvoudigen tot ⅘ door de teller en de noemer te delen door 4.
- 36/48 kan je vereenvoudigen tot ¾ door de teller en de noemer te delen door 12.
- 18/45 kan je vereenvoudigen tot ⅖ door de teller en noemer te delen door 9.
- 25/30 kan je vereenvoudigen tot ⅚ door de teller en noemer te delen door 5.
- 45/60 kan je vereenvoudigen tot ¾ door de teller en noemer te delen door 15.
● Breuken vergelijken en ordenen
Oefening:
- Hoe kan je bij gelijknamige breuken zoals 2/6 en 3/6 en ⅚ weten welke de kleinste breuk is?
→ Bij gelijknamige breuken is de breuk met de kleinste teller de kleinste breuk.
9
, Bij gelijknamige breuken kan je denken aan een
taart die in gelijke stukken verdeeld is. De
noemer van de breuk is het aantal stukken
waarin je de taart verdeeld hebt. Bij
gelijknamige breuken vergelijk je stukken taart
van dezelfde grootte. Dan heb je minder taart
als je minder stukken neemt. Hoe kleiner de
teller, hoe kleiner de breuk.
Oefening:
- Hoe kan je bij breuken met dezelfde teller zoals ⅔, ⅖ en 2/6 weten welke de kleinste breuk is?
→ Bij breuken met dezelfde teller is de breuk met de kleinste noemer de grootste breuk.
Als je denkt aan een taart die je in gelijke stukken
verdeelt, dan is de teller van de breuk het aantal
stukken taart dat je neemt. Bij breuken met
dezelfde teller, neem je telkens evenveel stukken
taart. Dan heb je minder taart als de stukken
kleiner zijn, met andere woorden als de taart in
meer stukken verdeeld is. Hoe groter de noemer,
hoe kleiner de breuk.
Een strategie om ongelijknamige breuken te vergelijken die
in alle situaties werken, is de breuk eerst gelijknamig te
maken. Daarvoor zoek je een gemeenschappelijke noemer
die een veelvoud van beide noemers is. Als je die gevonden
hebt, zoek je voor elke breuk een gelijkwaardige breuk met
die gemeenschappelijke noemer.
In het slechtste geval, is de gemeenschappelijke noemer
het product van beide noemers. In veel gevallen kan je echter een kleinere gemeenschappelijke noemer
vinden. De kleinste noemer die je kan vinden, is het kleinste gemeenschappelijke veelvoud van de
noemers.
Het loont dus heel vaak de moeite om het kleinste gemeenschappelijke veelvoud van de noemers te
zoeken, want dan hebben de gelijknamige breuken de kleinst mogelijke tellers en noemers.
10
