100% tevredenheidsgarantie Direct beschikbaar na je betaling Lees online óf als PDF Geen vaste maandelijkse kosten
logo-home
Eerder door jou gezocht
Eerder door jou gezocht
logo
Samenvatting theorie wiskunde 2 €5,48
In winkelwagen
Snel navigeren naar
Voorbeeld
  2.  
  3. Vrije Universiteit Brussel (VUB)
  4.  
  5. Toegepaste Economische Wetenschappen
  6.  
  7. Wiskunde 2

Samenvatting

Samenvatting theorie wiskunde 2

1 beoordeling
 16 keer verkocht

Dit is een samenvatting van het vak Wiskunde II aan de VUB. Het omvat de uitleg van alle theoretische concepten zoals ze aangehaald zijn in de hoorcolleges, aangevuld met de volledige uitwerkingen van de bewijzen, stellingen, etc

Voorbeeld 4 van de 69  pagina's

Document informatie

  • 11 december 2017
  • 69
  • 2017/2018
  • Samenvatting

Onderwerpen

Geschreven voor

Alle documenten voor dit vak (6)

1  beoordeling

review-writer-avatar

Door: amadi • 6 jaar geleden

Verkoper

avatar-seller
abollen

Ontvangen beoordelingen

Voorbeeld van de inhoud

SEM 1




Wiskunde II
SAMENVATTING
AUDREY JOKE BOLLEN

,H1: Functies van meerdere
veranderlijken
Algemene begrippen

Reële functies van n veranderlijken
Een reële functie van n veranderlijken f: IRn  IR associeert met elk geordend n-tal (x1, x2, …, xn)
van IRn hoogstens één reële waarde z = f(x1, x2, …, xn) van IR.
➢ (x1, x2, …, xn) kan ook worden genoteerd als x
Een reële functie van 2 veranderlijken associeert met elk koppel (x, y) van IR² hoogstens 1 waarde
z = f(x, y) van IR.
f: IR²  IR: (x, y)  f(x, y) = z
Voorbeeld :
- Veeltermfunctie
- Kostenfunctie
o (pL, pK)  z = waarde kost bij gegeven K & L

Domein en waardenverzameling
Het domein D(f) van f: IR²  IR is de verzameling geordende n-tallen (x1, x2, …, xn) waarmee een
functiewaarde z = f(x1, x2, …, xn) kan worden geassocieerd.
- Waarden waarvoor het zinvol is om de functiewaarde te berekenen
o Welke waarden van IRn zijn zinvol
D(f)  IRn
De waardeverzameling W(f) is de verzameling van de functiewaarden
- Waarden die je uitkomt na je berekening
W(f)  IR
Voorbeelden pg 3 in cursus


Grafische voorstelling

Grafische voorstelling in de ruimte
Functie van 2 veranderlijken  assenstelsel met 3 coördinaatassen (X-, Y-, Z-as)
- P(a,b,c) wordt voorgesteld in de ‘ruimte’
o Xy vlak ligt horizontaal
- Met elk geordend 3-tal (a,b,c) komt één punt P in de ruimte overeen
- De verzameling van de punten {(x, y, z)  IR³ | z = f(x, y, z)}  oppervlak in de ruimte

Niveaukrommen
 Doorsneden met horizontale vlakken z = k
- Om voor bepaalde functies van 2 veranderlijken de grafische voorstelling voldoende
precies te tekenen
Voor de functie z = f(x, y) en voor k  IR is de niveaukromme:
Nk = {(x, y)  IR² | f(x, y) = k}
- Voor een functie van twee veranderlijken : Nk  IR²
Voorbeeld:
- Alle productieniveaus waarvoor er een dezelfde winst is  winst = k
- Isonutscurve en isokostcurve  nut en kost = k
Voorbeeld pg 4 in cursus

1

,Partiële afgeleiden

Partiële afgeleide van de eerste orde
De partiële afgeleide van f : IRn  IR naar de veranderlijke xi is
𝑓(𝑥1 , … , 𝑥𝑖 − ∆𝑥1 , … , 𝑥𝑖 ) − 𝑓(𝑥1 , … , 𝑥𝑖 , … 𝑥𝑛 )
lim
∆𝑥𝑖−→0 ∆𝑥1 𝑥𝑖
𝜕𝑓
Notatie: 𝜕𝑥 (𝑥1 , … , 𝑥𝑖 )
𝑖
𝜕𝑓
De partiële afgeleide berekend in een punt noteert men als: (𝜕𝑥 )
𝑖 (𝑎1 ,…,𝑎𝑛 )
Berekenen:
- Kijken naar 1 van de veranderlijken en de andere constant houden  afleiden naar de
gekozen veranderlijke

Meetkundige interpretatie
We beperken ons enkel tot een functie van 2 veranderlijken
Voor een punt (a, b)  D(f) voert men de partiële functies fa en fb in
fa: IR  IR, y  z = fa(y) = f(a, y)
fb: IR  IR, x  z = fb(x) = f(x, b)
Je neemt x als een constant (partieel afleiden naar y)  dit wordt nu een functie van 1 veranderlijke
We kijken dus eigenlijk naar de doorsnede van de grafiek waar x = a
De partiële afgeleide van f naar y in (a, b) is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn Rb(p) aan de
kromme z = fb(x) in het punt p = (a, b, f(a,b))
- Voor de partiële afgeleide naar x
- Is analoog voor de partiële afgeleide naar y
Het vlak gevormd door de 2 raaklijnen wordt het raakvlak genoemd
Voorbeelden pg 6 in cursus

Partiële afgeleiden van hogere orde
Nadat je een functie een keer hebt afgeleid, kan je die uitkomst opnieuw afleiden. Dit geeft 4
mogelijkheden.
1. 2 keer naar y afleiden
𝜕²𝑓
𝜕𝑦²
2. 2 keer naar x afleiden
𝜕²𝑓
𝜕𝑥²
3. Eerst naar x afleiden en dan naar y afleiden
𝜕²𝑓
𝜕𝑦𝜕𝑥
4. Eerst naar y afleiden en dan naar x afleiden
𝜕²𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦


Totale differentiaal
Voor een functie van twee veranderlijken f(x, y), waarbij x en y op hun beurt functies zijn van een
parameter t
- x = x(t) en y = y(t)
𝑑𝑓 𝜕𝑓 𝑑𝑥 𝜕𝑓 𝑑𝑦
= ∗ + ∗ = totale afgeleide
𝑑𝑡 𝜕𝑥 𝑑𝑡 𝜕𝑦 𝑑𝑡
➢ Vermenigvuldigen met dt
𝜕𝑓 𝜕𝑓
 𝑑𝑓 = 𝜕𝑥 𝑑𝑥 + 𝜕𝑦 𝑑𝑦 = totale differentiaal
Voorbeeld pg 8 in cursus
2

, Ongebonden extrema en hessiaan
De functie f: IRn  IR, x  f(x) heeft een lokaal maximum in het punt a als er een  - omgeving
O(a) van a bestaat waarvoor:
∀𝑥 ∈ 𝑂𝜀 (𝑎): 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑎)
- Lokaal betekend dat dit het maximum is in deze omgeving, maar dat betekend niet dat dit
het absoluut maximum is
Voorbeeld:
- Winst hangt af van meerder veranderlijken: welke combinatie brengt de maximale winst
op
F heeft een lokaal minimum in het punt a als er een  - omgeving O(a) van a bestaat waarvoor:
∀𝑥 ∈ 𝑂𝜀 (𝑎): 𝑓(𝑥) ≥ 𝑓(𝑎)
Een lokaal extremum is een lokaal maximum of een lokaal minimum (op beide te omvatten)
- Om het absolute extremum te vinden moet je de lokale extrema met elkaar vergelijken
-

Extrema voor functies van twee veranderlijken
𝜕𝑓 𝜕𝑓
Als 𝜕𝑥 en 𝜕𝑦 bestaan in (a, b) en als f een lokaal extremum heeft in (a, b) dan geldt:
𝜕𝑓 𝜕𝑓
( ) = 0 𝑒𝑛 ( ) = 0
𝜕𝑥 𝑎,𝑏 𝜕𝑦 𝑎,𝑏
- Wij gaan bij deze stap opzoek naar kandidaten voor de extrema
- Op de top van de ‘berg’
o Het raakvlak staat horizontaal
o Je hebt de twee raaklijnen op de doorsneden
▪ Horizontale rechte lijn: rico = 0
▪ Op de doorsnede zijn ook raaklijnen  partiële afgeleide  = 0
- Je hebt kans op een extrema als er een horizontaal raakvlak is en hiervoor moeten de
partiële afgeleiden gelijk zijn aan nul
𝜕𝑓 𝜕𝑓
Een punt (a, b) waarvoor ( ) = 0 en ( ) = 0 wordt een stationair punt genoemd.
𝜕𝑥 𝑎,𝑏 𝜕𝑦 𝑎,𝑏
- Dit zijn nodige voorwaarden, maar geen voldoende voorwaarden
➢ Niet elk stationair punt resulteert noodzakelijk in een lokaal extremum
o Voorbeeld pg 9 in cursus
Een zadelpunt is een punt waarvoor de doorsnede x = a een minimum/maximum bereikt en de
doorsnede y = b een maximum/minimum bereikt.
- Bijgevolg is dit geen minimum, noch een maximum
Voorbeeld:
- Minimum  kosten
- Maximum  winst
- In een zadelpunt zijn we in de economie niet geïntresseerd

Hessiaan
Stationaire punten zijn kandidaat extrema, maar om zeker te weten of het om een extremum
gaat moet men de Hessiaan H berekenen (=voldoende voorwaarde)
𝜕²𝑓 𝜕𝑓
( ) ( )
𝜕𝑥² 𝑎,𝑏 𝜕𝑥𝜕𝑦 𝑎,𝑏 𝜕²𝑓 𝜕2𝑓 𝜕𝑓
𝐻𝑓 (𝑎, 𝑏) = 𝑑𝑒𝑡 =( ) ∗ ( 2 ) − (( ) )²
𝜕²𝑓 𝜕²𝑓 𝜕𝑥² 𝑎,𝑏 𝜕𝑦 𝑎,𝑏 𝜕𝑥𝜕𝑦 𝑎,𝑏
( ) ( )
( 𝜕𝑥𝜕𝑦 𝑎,𝑏 𝜕𝑦² 𝑎,𝑏 )
- Het is analoog zoals bij 1 veranderlijke
o Je kijken naar de tweede orde afgeleide of het extremum convex/concaaf of een
buigpunt is




3

Dit zijn jouw voordelen als je samenvattingen koopt bij Stuvia:

Bewezen kwaliteit door reviews

Bewezen kwaliteit door reviews

Studenten hebben al meer dan 850.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet jij zeker dat je de beste keuze maakt!

In een paar klikken geregeld

In een paar klikken geregeld

Geen gedoe — betaal gewoon eenmalig met iDeal, Bancontact of creditcard en je bent klaar. Geen abonnement nodig.

Focus op de essentie

Focus op de essentie

Studenten maken samenvattingen voor studenten. Dat betekent: actuele inhoud waar jij écht wat aan hebt. Geen overbodige details!

Veelgestelde vragen

Wat krijg ik als ik dit document koop?

Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.

Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?

Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.

Van wie koop ik deze samenvatting?

Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper abollen. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.

Zit ik meteen vast aan een abonnement?

Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €5,48. Je zit daarna nergens aan vast.

Is Stuvia te vertrouwen?

4,6 sterren op Google & Trustpilot (+1000 reviews)

Afgelopen 30 dagen zijn er 67479 samenvattingen verkocht

Opgericht in 2010, al 15 jaar dé plek om samenvattingen te kopen

Start met verkopen
€5,48  16x  verkocht
  • (1)
In winkelwagen
Toegevoegd