100% tevredenheidsgarantie Direct beschikbaar na je betaling Lees online óf als PDF Geen vaste maandelijkse kosten
logo-home
Eerder door jou gezocht
Eerder door jou gezocht
logo
Summary Généralités_sur_les_Séries_Numériques_Licence_3_Mathématiques €4,69
In winkelwagen
Snel navigeren naar
Voorbeeld
  2.  
  3. Paris VI - Université Pierre Et Marie Curie
  4.  
  5. Mathématiques

Samenvatting

Summary Généralités_sur_les_Séries_Numériques_Licence_3_Mathématiques
 0 keer verkocht
  • Vak
  • Instelling
  • Paris VI - Université Pierre Et Marie Curie

Notes et résumés de cours sur les séries numériques, généralités sur les séries télescopiques. Le document est en anglais faciles à comprendre.

Voorbeeld 1 van de 3  pagina's

Document informatie

  • 25 november 2023
  • 3
  • 2022/2023
  • Samenvatting

Onderwerpen

  • maths
  • mathématiques
  • sérienumérique
  • analyse
  • licence
  • licence3
  • sorbonne
  • sorbonneuniversité
  • résumé
  • cours
  • notes

Geschreven voor

  • Paris VI - Université Pierre et Marie Curie
  • Mathématiques
  • Onbekend

Verkoper

avatar-seller
scienceexplore

Voorbeeld van de inhoud

Numerical series
They are of the form :
𝜑∶ ℕ⟼ℝ
𝑛 ⟼ 𝜑(𝑛) = 𝑢𝑛

I. Generalities :

1) Definition : Let (𝑢𝑛 ) be a sequence of real numbers (or a numerical series). Let 𝑆𝑛 =
𝑢0 + 𝑢1 + 𝑢2 + ⋯ + 𝑢𝑛 = ∑𝑛𝑘=0 𝑢𝑘 be the sequence of the first 𝑛 + 1 terms of (𝑢𝑛 )𝑛∈ℕ .
i. (𝑆𝑛 )𝑛∈ℕ is called the numerical series with general term 𝑢𝑛 , denoted by : 𝑺𝒏 = ∑+∞
𝟎 𝒖𝒏 .

ii. 𝑆𝑛 = ∑𝑛𝑘=0 𝑢𝑘 is called the 𝑛𝑡ℎ partial sum of the series.
iii. We say that the series ∑𝑛≥0 𝑢𝑛 converges if and only if the sequence of partial sums
(𝑆𝑛 )𝑛∈ℕ converges. In this case, ∃ 𝑙 ∈ ℝ a limit such that :
𝑙 = lim 𝑆𝑛 = lim ∑𝑛𝑘=0 𝑢𝑘 = ∑𝑛≥0 𝑢𝑛 . 𝑙 is called the sum of the numerical series
𝑛→+∞ 𝑛→+∞

∑𝑛≥0 𝑢𝑛 .
iv. A series that does not converge is said to be divergent.
v. The nature of a series with general term 𝑢𝑛 is to determine whether it is convergent or
divergent.
vi. If the sum ∑𝑛≥0 𝑢𝑛 converges to 𝑙, then we have :
𝑛 +∞ 𝑛 +∞ +∞

𝑙 = lim 𝑆𝑛 = lim ∑ 𝑢𝑘 = ∑ 𝑢𝑘 = ∑ 𝑢𝑘 + ∑ 𝑢𝑘 = 𝑆𝑛 + ∑ 𝑢𝑘
𝑛→+∞ 𝑛→+∞
𝑘=0 𝑘=0 𝑘=0 𝑘=𝑛+1 𝑘=𝑛+1
We have then : 𝑙 − 𝑆𝑛 = ∑+∞
𝑘=𝑛+1 𝑢𝑘 = 𝑅𝑛 called the 𝑛𝑡ℎ remainder of the series.


• Proposition : If ∑𝑛≥0 𝑢𝑛 converges, then : lim 𝑅𝑛 = 0.
𝑛→+∞

Let ∑𝑛≥0 𝑢𝑛 be a convergent series with sum 𝑙 : 𝑙 = lim 𝑆𝑛 = lim ∑𝑛𝑘=0 𝑢𝑘 .
𝑛→+∞ 𝑛→+∞

We have : 𝑆𝑛 = 𝑢0 + 𝑢1 + 𝑢2 + ⋯ + 𝑢𝑛−1 + 𝑢𝑛 = 𝑆𝑛−1 + 𝑢𝑛 ⇔ 𝑆𝑛 − 𝑆𝑛−1 = 𝑢𝑛 .
We have : lim 𝑆𝑛 = 𝑙 , and lim 𝑆𝑛−1 = 𝑙 (because 𝑆𝑛−1 is a subsequence of 𝑆𝑛 )
𝑛→+∞ 𝑛→+∞

Then : lim 𝑢𝑛 = lim (𝑆𝑛 − 𝑆𝑛−1 ) = 𝑙 − 𝑙 = 0.
𝑛→+∞ 𝑛→+∞



• Proposition : If ∑𝑛≥0 𝑢𝑛 converges, then lim 𝑢𝑛 = 0.
𝑛→+∞

This is the necessary condition for convergence. Its contrapositive is :
lim 𝑢𝑛 ≠ 0 ⇒ ∑𝑛≥0 𝑢𝑛 diverges.
𝑛→+∞



• Proposition : The geometric series ∑𝑛≥0 𝑟 𝑛 is convergent if |𝑟| < 1 and its sum is
1
𝑙 = 1−𝑟. It is divergent if |𝑟| > 1.

Dit zijn jouw voordelen als je samenvattingen koopt bij Stuvia:

Bewezen kwaliteit door reviews

Bewezen kwaliteit door reviews

Studenten hebben al meer dan 850.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet jij zeker dat je de beste keuze maakt!

In een paar klikken geregeld

In een paar klikken geregeld

Geen gedoe — betaal gewoon eenmalig met iDeal, Bancontact of creditcard en je bent klaar. Geen abonnement nodig.

Focus op de essentie

Focus op de essentie

Studenten maken samenvattingen voor studenten. Dat betekent: actuele inhoud waar jij écht wat aan hebt. Geen overbodige details!

Veelgestelde vragen

Wat krijg ik als ik dit document koop?

Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.

Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?

Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.

Van wie koop ik deze samenvatting?

Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper scienceexplore. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.

Zit ik meteen vast aan een abonnement?

Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €4,69. Je zit daarna nergens aan vast.

Is Stuvia te vertrouwen?

4,6 sterren op Google & Trustpilot (+1000 reviews)

Afgelopen 30 dagen zijn er 70713 samenvattingen verkocht

Opgericht in 2010, al 15 jaar dé plek om samenvattingen te kopen

Start met verkopen

Laatst bekeken door jou

College aantekeningen ·

(0)

Collegeaantekeningen Methoden van Kwalitatief onderzoek (21-22)

Samenvatting ·

(1)

Grid of AO3 (modern context) for essays on dystopian literature

Samenvatting ·

(0)

Lecture notes The Adaptive Brain 2022/2023 (minor Neurosciences)

College aantekeningen ·

(1)

Filosofie van Mens en Maatschappij (BE jaar 2 UvT) Aantekeningen

Tentamen (uitwerkingen) ·

(1)

Microbiology 2460 Exam 2 Questions and Answers Already Passed

Tentamen (uitwerkingen) ·

(0)

Backflow Final QUESTIONS AND CORRECT ANSWERS GRADED A+ 2024/2025

Tentamen (uitwerkingen) ·

(0)

NCCAOM HERBS - Single Herbs Questions And Answers Latest Update

Samenvatting ·

(0)

Begrippenlijst Onderzoeksmethode en technieken 1: psychometrie

Tentamen (uitwerkingen) ·

(0)

NSG 310 WVU Exam 1 – Antepartum | Latest Version | 2024/2025 | Graded A+

€4,69
  • (0)
In winkelwagen
Toegevoegd