HOODSSTUK 8: Limieten en continuïteit - Analyse: functies van één variabele
HOOFDSTUK 8: Limieten en continuïteit
Een intuïtieve benadering
Limiet bestaat niet als
▪ De linker limiet ≠ de rechter limiet in een punt c
▪ De functie kan toe/afnemen zonder boven/onder grens als x naar c nadert
▪ De functie kan oscilleren zonder een specifieke waarde te benaderen als x naar c nadert (bv (-1)x)
Differentiequotiënt = afgeleide formule voor een bepaald punt
𝑓(𝑥+𝑐)−𝑓(𝑐)
f(c) = lim
𝑥→𝑐 (𝑥−𝑐)
(ε-δ)-definitie
∀ 𝜀 > 0, ∃ 𝛿 > 0 ∶ 0 < 𝐼𝑥 − 𝑐𝐼 < 𝛿 ⇒ 𝐼𝑓(𝑥) − 𝐿𝐼 < 𝜀 limf(x) = L
𝑥→𝑐
1 2 3 4
1 2 3 4
b als resultaat 𝜀>0 x nadert tot c 𝛿>0 Gewoon lim 0 < 𝐼𝑥 − 𝑐𝐼 < 𝛿 of L als resultaat 𝐼𝑓(𝑥) − 𝐿𝐼 < 𝜀
𝑐 − 𝛿 < 𝐼𝑥 − 𝑐𝐼 < 𝑐 + 𝛿
Linker lim 𝑐 − 𝛿 < 𝐼𝑥 − 𝑐𝐼 < 𝑐
Rechter lim 𝑐 < 𝐼𝑥 − 𝑐𝐼 < 𝑐 + 𝛿
∞ als resultaat 𝑟>0 x nadert tot 𝑠>0 nadert naar +∞ 𝑥>𝑠 + ∞ als result 𝑓(𝑥) > 𝑟
∞ nadert naar -∞ 𝑥 < −𝑠
- ∞ als result 𝑓(𝑥) < −𝑟
Aantonen dat een limf(x) = L met bv f(x) = x
▪ Schrijf (4) op 𝐼𝑓(𝑥) − 𝑏𝐼 < 𝜀
▪ Absolute waarden uitwerken −𝜀 < 𝑓(𝑥) − 𝑏 < 𝜀
▪ f(x) = …. Invullen −𝜀 < 𝑥 − 𝑏 < 𝜀
▪ x in het midden afzonderen −𝜀 + 𝑏 < 𝑥 < 𝜀 + 𝑏 = *
▪ Eventueel uitwerken
▪ 𝛿 < min{−𝜀 + 𝑏 , 𝜀 + 𝑏 }
▪ Dan uitwerken met de definitie zie p252
,HOODSSTUK 8: Limieten en continuïteit - Analyse: functies van één variabele
Analytisch bepalen van limieten
Stappenplan limiet berekenen
,HOODSSTUK 8: Limieten en continuïteit - Analyse: functies van één variabele
Eénzijdige limieten Bij √𝑥 heb je voor x → 0 geen LL, wel een
▪ Linkerlimiet limf(x) = L RL dus de limiet bestaand niet voor x → 0
𝑥→𝑐
▪ Rechterlimiet limf(x) = L
𝑥→𝑐
limf(x) = L LL = RL en ze dus allebei bestaan
𝑥→𝑐
Continuïteit
Over een open interval I ]a,b[ :
f is continu in c als limf(x) = f(c) → wil zeggen dat de limietwaarde = de functiewaarde
𝑥→𝑐
f is continu over I als f continu is voor alle c in I
Over een gesloten interval I [a,b] :
f is continu over ]a,b[
lim f(x) = f(a) → de limietwaarde in a = de functiewaarde in a (en ze bestaat, rechterlimiet: rechtscontinu)
𝑥→𝑎
lim f(x) = f(b) → de limietwaarde in b = de functiewaarde in b (en ze bestaat, linkerlimiet: linkscontinu)
𝑥→𝑏
Zij f continu over een gesloten interval [a,b], dan is f begrensd over [a,b]
Soorten discontinuïteiten:
De limiet voor x → 0 is niet gedefinieerd, maar
▪ Ophefbare discontinuïteit wanneer je (x-1) schrapt, bekom je f(x) = x + 1
uit en is de discontinuïteit opgeheven
▪ Sprong discontinuïteit
▪ Essentiële discontinuïteit De linker- of rechterlimiet bestaan niet in een
bepaald punt waardoor de functie niet continu is
of ze zijn verschillend zoals
Als de functiewaarde in een punt ≠ de limietwaarde is de functie ook discontinu in dat punt
De tussenwaardestelling:
Zij f een continue functie over [a,b] dan geldt voor elke u waarvoor min(f(a),f(b)) < u < max(f(a),f(b)), dat er
minstens één c bestaat in ]a,b[ waarvoor f(c) = u
,HOODSSTUK 8: Limieten en continuïteit - Analyse: functies van één variabele
Toepassing op tussenwaardestelling: de halveringsmethode
Om nulpunten van continue functies te benaderen
1. Je begint met twee punten, a en b, zodanig dat f(a) (-) en f(b) (+) verschillende tekens hebben.
Tussenwaardestelling zegt: er is een c in ]a,b[ zodat f(c) = 0
2. Beschouw nu f(d) met d het middelpunt van [a,b]
(a) f(d) = 0
x = d is het nulpunt
(b) f(d) < 0
nulpunt bevindt zich in het interval [b,d]
(c) f(d) > 0
nulpunt bevindt zich in het interval [a,d]
3. Herhaal deze stap een paar keer
Limieten en oneindig
𝑓(𝑥)
𝑎 = lim en 𝑏 = lim 𝑓(𝑥 ) − 𝑎𝑥
𝑥→±∞ 𝑥 𝑥→±∞
De aanligging van de schuine asymptoot tegen de functie wordt gegeven door g(x) = f(x) – (ax + b)
Als a = 0 weet je dat je een horizontale asymptoot hebt
Bevinding
▪ Lim sin(x)/x voor x die nadert naar oneindig = 1, dus deze kun je uit de limiet plaatsen
,HOODSSTUK 9: Afgeleiden en hun toepassingen - Analyse: functies van één variabele
HOOFDSTUK 9: Afgeleiden en hun toepassingen
Gemiddelde en ogenblikkelijke snelheid
𝑓(ℎ+𝑐)−𝑓(𝑐)
▪ Afgeleide in c 𝑓 ′ (𝑐) = lim (deze limiet gebruiken om afleidbaarheid na te gaan in c)
ℎ→0 ℎ
▪ De raaklijn in c 𝑙(𝑥) = 𝑓 ′ (𝑐) ∙ (𝑥 − 𝑐) + 𝑓(𝑐)
−1
▪ De normaal in c 𝑛(𝑥) = 𝑓′ (𝑐) ∙ (𝑥 − 𝑐) + 𝑓(𝑐)
Notaties voor afgeleide functie = formule voor de raaklijn (vult c in x in)
𝑑𝑦 𝑑𝑓 𝑑 𝑑
𝑓 ′ (𝑥) = 𝑦 ′ = 𝑑𝑥 = 𝑑𝑥 = 𝑑𝑥 (𝑓) = 𝑑𝑥 (𝑦)
Stelling:
▪ Als f een afleidbare functie is in c, element van ]a,b[, dan is f continu in c
▪ Als f een continue functie is over [a,b] en afleidbaar over ]a,b[ en de RL in a en LL in b bestaan, dan is f
afleidbaar over [a,b]
Als p ==> dan q als dan niet p <== als niet q
▪ p = functie is afleidbaar
Zo is IxI continu in x = 0, maar niet afleidbaar in x = 0
▪ q = functie is continu
Want LL ≠ RL → dit is een hoek of knikpunt
Dus een afleidbare functie is continu maar een
niet afleidbare functie is niet perse discontinu
En een continue functie is niet perse afleidbaar,
maar een discontinue functie is niet afleidbaar
Gladde functie
▪ Kan je oneindig vaak afleiden over een bepaald domein/interval, en die dus ook continu is
▪ Klasse C-functies
o C0 = continue functies
o C1 = alle functies waarvan de afgeleide continu is (ook functies waarvan enkel 1ste afg continu is)
o ….
o C∞
Rekenregels voor afgeleiden
,HOODSSTUK 9: Afgeleiden en hun toepassingen - Analyse: functies van één variabele
De kettingregel
h(x) = f(g(x)) dan is h’(x) = f’(g(x))*g’(x).
▪ Neemt eerst afgeleide van de buitenste functie, laat de binnenste functie staan
▪ Vermenigvuldig dit met de afgeleide van de binnenste functie, enzo verder
Stel f(x) = sin²(4x²) → 2sin(4x²) . cos(4x²) . 8x
x → 4x² → sin(4x²) → sin²(4x²) = de bewerkingen die je op x doet
▪ sin²(4x²) → 2sin(4x²)
▪ sin(4x²) → cos(4x²)
▪ 4x² → 8x
(x²)’ = 2xx’ = 2x
(y²)’ = 2yy’
Impliciet afleiden
Handig voor hogere afgeleiden = linker en rechter lid afleiden, nieuwe vergelijking voor y’ = definiëren en deze dan
invullen in hogere afgeleiden bv y”=xy’/4, hierin kun je y’ invullen en bekom je de tweede afgeleiden
Logaritmisch afleiden
Bv y = xx
Pak van beide leden de ln, doe de rekenregels van logaritmes bv ln(xx) = x ln(x)
Pak dan de afgeleide van beide leden en zoek y’ = ….
Onderweg kun je y = xx ook gebruiken om de y-termen weg te werken
,HOODSSTUK 9: Afgeleiden en hun toepassingen - Analyse: functies van één variabele
Afgeleide van inverse functies
Regel van l’Hôpital
▪ Onbepaalde vormen 0/0 en ∞/∞
Zie noemer en teller als aparte functies en pak van beide de afgeleide
Herhaal dit totdat je kan schrappen of hoogste graadtermen kan doen
▪ Onbepaalde vormen 0 . ∞ en ∞ – ∞
∞ – ∞ kan toegevoegde tweeterm helpen, maar je kan de onbepaalde vorm vaak ook zo herschrijven dat
je 0/0 uitkomt
1
1
𝑒𝑥
lim 𝑥 ∙ 𝑒 = lim
𝑥 1 =…
𝑥→∞ 𝑥→∞ 𝑥
▪ Onbepaalde vormen 00, 1∞ en ∞0
Herschrijf f(x) als eln(f(x)) en laat de limiet naar binnen komen → elim (ln(f(x))
Toepassingen van afgeleiden
Methode van Newton
Om wortel te vinden
Kies een willekeurige x en construeer de raaklijn in (x,f(x)), kijk waar hij x-as snijdt en noem dit x0
Construeer de raaklijn in (x0,f(x0)) en noem het snijpunt ervan met de x-as x1
Blijf zo doorgaan, de punten zullen redelijk snel convergeren naar de wortel
Deze methode werkt niet altijd!! Kan bijvoorbeeld niet convergeren, of gaat te traag
Formule voor xn+1 = xn – f(xn)/f’(xn), anders moet je telkens snijpunt met x-as bepalen enzo
Gerateerde snelheden
Als we de snelheidsverandering van de ene hoeveelheid weten, kunnen we het tempo waarin de andere veranderd
bepalen ➔ geeft aanleiding tot differentiaalvergelijkingen dy = f’(x) dx f’(x) = dy/dx
Vertelt ons dat de afgeleide van f naar x gelijk is aan de differentiaal van y gedeeld door de differentiaal
van x, een differentiaalvergelijking is een vergelijking voor een functie waarin ook de afgeleide van die
functie voorkomt bv y’ = -2 + y
,HOODSSTUK 9: Afgeleiden en hun toepassingen - Analyse: functies van één variabele
Bevindingen
▪ Nagaan of f afleidbaar is in een punt?
Linkerlimiet en rechterlimiet berekenen
▪ Gladde functie → alle afgeleiden van een functie zijn continu
▪ Altijd 0/0 proberen uitkomen bij limieten om dan de regel van l’Hôpital toe te pakken
, HOOFDSTUK 10: Functie-onderzoek - Analyse: functies van één variabele
HOOFDSTUK 10: Functie-onderzoek
Extrema
▪ f(c) is een (absoluut) minimum van f(x) op I als ∀𝑥 ϵ 𝐼 ∶ 𝑓(𝑐) ≤ 𝑓(𝑥)
▪ f(c) is een (absoluut) maximum van f(x) op I als ∀𝑥 ϵ 𝐼 ∶ 𝑓(𝑐) ≥ 𝑓(𝑥)
Bij een open interval heeft de functie een infimum/supremum (waarde naartoe de functie nadert, maar geen
maximum/minimum
Een lokaal minimum/maximum is het extremum in een bepaald interval van de functie terwijl het absoluut
minimum/maximum het laagste/hoogste punt van een functie is, lokaal kan ook absoluut zijn
Extremumstelling
Zij f een continue functie gedefinieerd over een gesloten interval I, dan heeft f zowel een minimum als maximum op I
Om deze te vinden:
▪ Evalueer f in de eindpunten van het interval a en b
▪ Bepaal de kritieke en singuliere punten binnen [a,b]
Kritieke waarden vind je door f’(x) = 0 (extrema voor f(x)), die x-waarden zijn de kritieke punten
Singuliere waarden vind je door te kijken welke waarden in f’(x) niet gedefinieerd zijn
Kijk of de gevonden waarden binnen het interval liggen
▪ Evalueer f in elk van die punten (in de f(x) functie)
▪ Het absolute maximum is de grootste van deze waarden, het absoluut minimum de kleinste waarde
▪ Stel een tekentabel op met de randpunten, kritieke en singuliere waarden
Kritisch punt
Als f gedefinieerd is in c en f’(c) = 0, dan is c een kritisch punt
Singulier punt
Als f gedefinieerd is in c, dan is c een singulier punt (c,f(c)) als f’(c) niet gedefinieerd is
Lokale extrema en kritische punten
Zij f een functie die gedefinieerd is over een open interval I dat c bevat en f heeft een lokaal extremum in het punt
(c,f(c)), dan is (c,f(c)) een kritisch of singulier punt van f
= lokale extrema op een open interval komen altijd in kritische of singuliere punten voor (niet elk zo’n punt is een
lokaal extrema)
Stelling van Fermat
Zij f een functie die gedefinieerd en afleidbaar is over een open interval I dat c bevat en heeft f een lokaal extremum
in het punt (c,f(c)), dan is f’(c) = 0
