Dans cette première partie du cours, on introduit très rapidement quelques
outils permettant de formaliser les idées mathématiques et d’obtenir des moyens
systématiques de traiter les problèmes.
1.1 Fabriquer des énoncés
1.1.1 Enoncés élémentaires
Dans cette partie, on tente de donner les outils nécessaires à la formulation
précise d’énoncés mathématiques. On veut par exemple formaliser des phrases
du type suivant :
– “la somme de deux nombres positifs quelconques est un nombre positif“
– “le carré de n’importe quel nombre réel est un nombre positif.”
– “tout nombre réel positif est le carré d’un nombre réel”.
– etc.
Plus précisément, on cherche une manière systématique décrire des énoncés uti-
lisant le moins de mots possible (de manière à éliminer toute ambiguité et de
raccourcir les énoncés.
On introduit donc les notations suivantes (ou quantificateurs) :
Définition 1.1.1 – “pour tout” se note ∀
– “il existe ” se note ∃
– “appartient” se note ∈
– “tel que” se note tq
On appelera énoncé élémentaire toute phrase fabriquée a l’aide des symboles
précédents, ”ayant un sens”.
Exemple 1.1.1 Avec ces notations on peut traduire de la manière suivante :
– “la somme de deux nombres positifs quelconques est un nombre positif“ se
traduit par
∀a ∈ [0, +∞[, ∀b ∈ [0, +∞[, a + b ≥ 0
– “le carré de n’importe quel nombre réel est un nombre positif ” se traduit
par
∀x ∈ R, x2 ≥ 0
5
, 6 CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS DE LOGIQUE
– “tout nombre réel positif est le carré d’un nombre réel” se traduit
∀x ∈ R+ , ∃y ∈ R, tq x = y 2
Exercice 1.1.1 Traduire “il existe un nombre rationnel dont le carré vaut deux”.
Exercice 1.1.2 Soit f : E → F . On dit que f est surjective si tout élément de
F est l’image par f d’au moins un élément de E. Traduire cette définition avec
des quantificateurs.
Remarque 1.1.1 (importante) Les quantificateurs ∀ et ∃ ne commutent pas.
Par exemple les énoncés suivant ne sont pas du tout équivalents :
– ∀x ∈ R, ∃y ∈ R, x ≤ y
– ∃y ∈ R, ∀x ∈ R, x ≤ y.
Les quantificateurs permettent de fabriquer des énoncés élémentaires. Pour
obtenir des énoncés plus complexes, on peut utiliser des ”mots de liaison” entre
énoncés : ”et, ou, implique, contraire”.
1.1.2 Enoncés complexes
Disposant d’énoncés élémentaires, il possible de fabriquer des énoncés plus
compliqués. Par exemple, si A et B sont deux assertions , on voudra parler des
enoncés : ”A et B”, ”A ou B”, etc.
Définition 1.1.2 – A et B se note A ∧ B
– A ou B se note A ∨ B
– “A implique B ” se note A =⇒ B
– “contraire de A” se note ⌉A.
Exemple 1.1.2 Soit f : E → F . On dit que f est injective si deux éléments
quelconques de E et différents ont des images différentes. Avec l’aide des quan-
tificateurs, cela se traduit
∀x ∈ R, ∀y ∈ R, (x ̸= y =⇒ f (x) ̸= f (y))
Exercice 1.1.3 Soit f : R → R une application. On dit que f est croissante si
deux éléments quelconques de R ordonnés ont leurs images par f rangées dans
le même ordre. Traduire cette phrase avec des quantificateurs.
Définition 1.1.3 On appelera énoncé mathématique ou assertion toute phrase
fabriquée a l’aide des symboles précédents, ”ayant un sens”.
Si l’on a une information à priori sur la véracité des assertions A et B on
peut conclure sur la veracité d’assertions fabriquées avec A et B , en utilisant
les tables de vérité. Dans les tableaux suivants on note ”V” une assertion ”vraie”
et ”F” une assertion fausse.
1. Table de vérité du contraire
A=V ⌉A = F
A=F ⌉A = V
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