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Résumé Resumé pour 5 chapitres de semestre 1 _Analyse_ (Les suites-Les fonctions-Les integrales-Les developements limités) _1ère année universitaire

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Vak
Analyse 1

Instelling
Ecole Nationale Polytechnique

Resumé pour 5 chapitres de semestre 1 _Analyse_ (Les suites-Les fonctions-Les integrales-Les developements limités) _1ère année universitaire ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Les domaines des sciences technologies et l'informatique classe préparat...

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Type Samenvatting

les integrales
les fonctions
les suites
resumé
analyse
semestre 1
1ère année universitaire
les developements limités

Instelling
Ecole Nationale Polytechnique
Vak
Analyse 1

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Table des matières

1 Éléments de logique 5
1.1 Fabriquer des énoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Enoncés élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Enoncés complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Nier un énoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Prouver ou infirmer un énoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.1 Démonstration directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.2 Démonstration par contraposition . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.3 Démonstration par l’absurde . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.4 Démonstration par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Notion de limite 11
2.1 Cas des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.1 Limite en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.2 Limites infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.3 Limites en l’infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.4 Passage à la limite dans les inégalités . . . . . . . . . . . 20
2.1.5 Limite à gauche et à droite . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Cas des suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.1 Limite finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.2 Limite infinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.3 Monotonie et limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.4 Critère de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3 Continuité et dérivabilité des fonctions numériques 29
3.1 Rappels sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1.1 Injectivité, surjectivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1.2 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2.1 Propriétés élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2.2 Théorème de la valeur intermédiaire . . . . . . . . . . . . 32
3.2.3 Notion d’extremum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2.4 Résultats globaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3 Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3.1 Définition et propriétés élémentaires . . . . . . . . . . . . 36
3.3.2 Théorèmes de Rolle et des accroissements finis . . . . . . 38
3.3.3 Représentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3.4 Dérivées d’ordre superieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3

,4 TABLE DES MATIÈRES

3.4 Rappels sur les fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.4.1 La fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.4.2 Les fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . 42

4 Intégration des fonctions continues morceaux 43
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2 Définition de l’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2.1 Cas des fonctions en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2.2 Cas des fonction continues par morceaux . . . . . . . . . 46
4.3 Théorème fondamental de l’Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.4 Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.5 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5 Formule de Taylor, développements limités 53
5.1 Ordre de grandeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.1.2 Cas des puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.2 Formule de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.3 Développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.4 Développements limités usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.5 Application au calcul de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

,Chapitre 1

Éléments de logique

Dans cette première partie du cours, on introduit très rapidement quelques
outils permettant de formaliser les idées mathématiques et d’obtenir des moyens
systématiques de traiter les problèmes.

1.1 Fabriquer des énoncés
1.1.1 Enoncés élémentaires
Dans cette partie, on tente de donner les outils nécessaires à la formulation
précise d’énoncés mathématiques. On veut par exemple formaliser des phrases
du type suivant :
– “la somme de deux nombres positifs quelconques est un nombre positif“
– “le carré de n’importe quel nombre réel est un nombre positif.”
– “tout nombre réel positif est le carré d’un nombre réel”.
– etc.
Plus précisément, on cherche une manière systématique décrire des énoncés uti-
lisant le moins de mots possible (de manière à éliminer toute ambiguité et de
raccourcir les énoncés.
On introduit donc les notations suivantes (ou quantificateurs) :

Définition 1.1.1 – “pour tout” se note ∀
– “il existe ” se note ∃
– “appartient” se note ∈
– “tel que” se note tq

On appelera énoncé élémentaire toute phrase fabriquée a l’aide des symboles
précédents, ”ayant un sens”.

Exemple 1.1.1 Avec ces notations on peut traduire de la manière suivante :
– “la somme de deux nombres positifs quelconques est un nombre positif“ se
traduit par
∀a ∈ [0, +∞[, ∀b ∈ [0, +∞[, a + b ≥ 0
– “le carré de n’importe quel nombre réel est un nombre positif ” se traduit
par
∀x ∈ R, x2 ≥ 0

5

, 6 CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS DE LOGIQUE

– “tout nombre réel positif est le carré d’un nombre réel” se traduit

∀x ∈ R+ , ∃y ∈ R, tq x = y 2

Exercice 1.1.1 Traduire “il existe un nombre rationnel dont le carré vaut deux”.

Exercice 1.1.2 Soit f : E → F . On dit que f est surjective si tout élément de
F est l’image par f d’au moins un élément de E. Traduire cette définition avec
des quantificateurs.

Remarque 1.1.1 (importante) Les quantificateurs ∀ et ∃ ne commutent pas.
Par exemple les énoncés suivant ne sont pas du tout équivalents :
– ∀x ∈ R, ∃y ∈ R, x ≤ y
– ∃y ∈ R, ∀x ∈ R, x ≤ y.

Les quantificateurs permettent de fabriquer des énoncés élémentaires. Pour
obtenir des énoncés plus complexes, on peut utiliser des ”mots de liaison” entre
énoncés : ”et, ou, implique, contraire”.

1.1.2 Enoncés complexes
Disposant d’énoncés élémentaires, il possible de fabriquer des énoncés plus
compliqués. Par exemple, si A et B sont deux assertions , on voudra parler des
enoncés : ”A et B”, ”A ou B”, etc.

Définition 1.1.2 – A et B se note A ∧ B
– A ou B se note A ∨ B
– “A implique B ” se note A =⇒ B
– “contraire de A” se note ⌉A.

Exemple 1.1.2 Soit f : E → F . On dit que f est injective si deux éléments
quelconques de E et différents ont des images différentes. Avec l’aide des quan-
tificateurs, cela se traduit

∀x ∈ R, ∀y ∈ R, (x ̸= y =⇒ f (x) ̸= f (y))

Exercice 1.1.3 Soit f : R → R une application. On dit que f est croissante si
deux éléments quelconques de R ordonnés ont leurs images par f rangées dans
le même ordre. Traduire cette phrase avec des quantificateurs.

Définition 1.1.3 On appelera énoncé mathématique ou assertion toute phrase
fabriquée a l’aide des symboles précédents, ”ayant un sens”.

Si l’on a une information à priori sur la véracité des assertions A et B on
peut conclure sur la veracité d’assertions fabriquées avec A et B , en utilisant
les tables de vérité. Dans les tableaux suivants on note ”V” une assertion ”vraie”
et ”F” une assertion fausse.
1. Table de vérité du contraire

A=V ⌉A = F
A=F ⌉A = V

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