École nationale polytechnique Année : 2021/ 2022
1ère Année classe préparatoire Module : Analyse 2
Groupes 2, 5 et 8 12 février 2022
D`e›vˆo˘i˚rffl `d`e ”m`a˚i¯sfi`o“nffl 2
Consignes :
Ce travail à rendre le 09/03/2022.
Exercice 1
1. Soit la fonction f définie par :
f (x) = 3 − 2x + 7x2 + x5 ln |x|.
f admet-elle un développement limité au voisinage de 0 à l’ordre 5, 4, 3 ? Justifier votre réponse.
2. Démontrer en utilisant la formule de Taylor-Lagrange l’inégalité suivante :
x2 x3
ex − 1 − x − < ex , ∀x > 0.
2 6
3. Soit g la fonction définie par
esin x
g(x) = − 2 ln(1 + x)
1+x
et C sa courbe représentative.
(a) Calculer le développement limité de g à l’ordre 2 au voisinage de 0.
(b) En déduire l’équation de la tangente à C au point A d’abscisse 0 et la position de C par
rapport à cette tangente au voisinage de A.
Exercice 2
Soit f la fonction réelle définie sur [0, +∞[ par
f (x) = ln(1 + x).
1. Montrer que la fonction f admet un développement limité à l’ordre n au point x0 = 0.
2. Calculer les dérivées successives f ′ , f ′′ , · · · , f (n) de la fonction f .
3. Écrire le développement de Maclauren-Lagrange d’ordre n de la fonction f .
1 I. KETTAF
, 4. Calculer
1 1 1 (−1)n+1
lim 1 − + − + · · · + .
n−→+∞ 2 3 4 n
5. Montrer que pour tout x > 0
x2
x− < ln(1 + x) < x.
2
Exercice 3
Soit f la fonction définie par
1 √
f (x) = e x − 1 + x + x2 .
1. Calculer le développement limité généralisé de f à l’ordre 2 au voisinage de +∞.
2. On pose
1
h(x) = f (x) + x − .
2
(a) Calculer
lim h(x).
x−→+∞
(b) Vérifier que h(x) > 0 au voisinage de +∞.
(c) Calculer
5
ln h(x) − ln 8x
lim .
x−→+∞ 1 2
sin x + x
Exercice 4
Soit h la fonction définie par
x2
h(x) = √ .
1 + x2
et Ch sa courbe représentative.
1. Vérifier que h n’admet aucun développement limité au voisinage de +∞ à n’importe quel ordre.
2. Trouver un développement limité généralisé de h, à l’ordre 2, au voisinage de +∞.
3. Donner l’équation de l’asymptote, ainsi que sa position par rapport à Ch .
B`o“nffl `c´o˘u˚r`a`g´e
2 I. KETTAF
,
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