Datamodelleren aantekeningen:
Propositielogica
Een atoom is een woord
De waarheid van de atomen wordt bepaald door hun interpretatie in een model
Als het regent en ik ben buiten, dan word ik nat: Als R en Bui, dan N: (R ∧ Bui) → N
Als er een regenboog is, dan schijnt de zon: Als RB, dan Z: RB → Z
V ∪ H, waarbij ∪ voor de vereniging van twee verzamelingen staat.
(𝑍 ∨ 𝑅) ∧ ¬(𝑍 ∧ 𝑅): de zon schijnt of het regent en niet allebei tegelijk.
(𝑍 ∧ ¬𝑅) ∨ (¬𝑍 ∧ 𝑅): de zon schijnt en het regent niet of de zon schijnt niet en het regent wel
Buitenste haakjes weglaten: 𝑎 ∧ 𝑏 in plaats van (𝑎 ∧ 𝑏). Binnenste haakjes mogen we niet weglaten!
De voegtekens ∧, ∨, → en ↔ zijn rechts associatief. Dat wil zeggen dat als v ∈ {∧, ∨, →, ↔}, dan
moet A v B v C gelezen worden als A v (B v C). Maar 𝑎 ∧ 𝑏 → 𝑎 moeten we juist lezen als (𝑎 ∧ 𝑏)→ 𝑎
In de informatica schrijven we vaak 1 voor waar en 0 voor onwaar
INCLUSIEVE OF: als x waar is en y ook is XvY ook waar.
Een propositie of bewering is in de logica een declaratieve zin die of waar of onwaar kan zijn.
De ‘waarheid’ van een propositie wordt volledig bepaald door de waarden die we aan de atomen
toekennen. Een model in de propositielogica is dan ook eenvoudigweg een toekenning van waarden
({0,1}) aan de atomen. Een model in de propositielogica is een waardentoekenning of valuatie van de
atomen: een functie 𝑣 ∶ 𝐴 → {0,1}
We zeggen 𝑓 is waar in een model 𝑣 als 𝑣 𝑓 = 1
Alleen onwaar bij verkeerd gevolg of als iets niet werkt/ kapot is. (X is oorzaak Y gevolg).
Als een propositie 𝑓 waar is in ieder model (dat wil zeggen dat er in de waarheidstabel van 𝑓 alleen
maar 1-en staan als uitkomst), dan noemen we de propositie logisch waar en is het een tautologie.
Om de waarde van een propositie 𝑓 te bepalen hoeven we niet de waarden van alle atomen te
weten, maar alleen van de atomen die in 𝑓 voorkomen. We zullen daarom een model vaak
gelijkstellen aan een eindige waardentoekenning
Als een propositie f logisch waar is, wordt dat genoteerd met ⊨ f
Als een propositie 𝑓 niet logisch waar is, wordt dat genoteerd met ⊭ f
,AND
X Y X^Y
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
OR
X Y X˅Y
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
De logische implicatie (→) heeft twee argumenten. De teruggegeven waarde is
enkel 1 (waar) als het eerste argument 0 (onwaar) is, en als beide argumenten
1 (waar) zijn. Men spreekt (P → Q) uit als "als P dan Q". Voorbeeld die je kan
gebruiken om te kijken of X → Y waar of onwaar is is dit: ‘als 1 + 1 = 3, dan 2 + 2 = 6’.
X Y X→Y
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1
De logische equivalentie (↔) heeft twee argumenten. De teruggegeven
waarde is T als beide argumenten dezelfde waarde hebben. Men spreekt (P ↔
Q) uit als "P dan en slechts dan als Q".
X Y X↔Y
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
a ᷆a a U a᷆
0 1 1 (waar)
1 0 1 (waar)
,Voorbeeldopgave bij bovenstaande tabellen:
Los op:
1. A ^ B → A
2. A ˅ (B → A)
3. ᷆A → ᷆B
Oplossingen:
Vraag 1: A ^ B → A
Kolom 1 en 2 zijn gegeven.
Om kolom 3 te maken kijk je boven in de tabel en zie je welke waarden er bij horen
Om kolom 4 te maken kijk je naar het gemeenschappelijke tekentje, in dit geval de pijl (→)
en kijk je direct naar de tabel van het pijltje hierboven. Dan doe je kolom 3 als een X
beschouwen (omdat het als eerst staat in de formule van kolom 4) en de A als Y en dan vul je
het in via de gegeven waarden van de tabel hierboven.
Kolom 1 Kolom 2 Kolom 3 Kolom 4
A B A^B A^B→A
0 0 0 1
0 1 0 1
1 0 0 1
1 1 1 1
Vraag 2: A ˅ (B → A)
Om kolom 3 te krijgen beschouw je kolom 2 als de X en kolom 1 als de Y en kijk je in het
tabelletje hierboven met het pijltje. Voorbeeld van de 2 e rij: X= 1 en Y= 0 wordt 0.
Om kolom 4 te vormen kijk je naar het gemeenschappelijke teken, wat in dit geval het
omgekeerde dakje (˅) is en dan doe je A als X want komt als eerste voor in de los op formule
en (B → A) is de Y en dan kijk je naar de X en de Y in de omgekeerde dakjestabel van
hierboven en dan los je hem op.
Kolom 1 Kolom 2 Kolom 3 Kolom 4
A B B→A A ˅ (B → A)
0 0 1 1
0 1 0 0
1 0 1 1
1 1 1 1
, Vraag 3: A
᷆ → ᷆B
Kolom 1 en 2 zijn gegeven
Kolom 3 zijn letterlijk de tegenovergestelde waarden van kolom 1 en kolom 4 heeft letterlijk
de tegenovergestelde waarden aan 2.
Kolom 5 krijg je door kolom 3 te beschouwen als de X en kolom 4 te beschouwen als de Y in
de tabel van het pijltje hierboven. Dan kijk je de waarden en vul je ze in kolom 5.
Kolom 1 Kolom 2 Kolom 3 Kolom 4 Kolom 5
A B ᷆A ᷆B ᷆A → ᷆B
0 0 1 1 1
0 1 1 0 0
1 0 0 1 1
1 1 0 0 1
Propositielogica
Een atoom is een woord
De waarheid van de atomen wordt bepaald door hun interpretatie in een model
Als het regent en ik ben buiten, dan word ik nat: Als R en Bui, dan N: (R ∧ Bui) → N
Als er een regenboog is, dan schijnt de zon: Als RB, dan Z: RB → Z
V ∪ H, waarbij ∪ voor de vereniging van twee verzamelingen staat.
(𝑍 ∨ 𝑅) ∧ ¬(𝑍 ∧ 𝑅): de zon schijnt of het regent en niet allebei tegelijk.
(𝑍 ∧ ¬𝑅) ∨ (¬𝑍 ∧ 𝑅): de zon schijnt en het regent niet of de zon schijnt niet en het regent wel
Buitenste haakjes weglaten: 𝑎 ∧ 𝑏 in plaats van (𝑎 ∧ 𝑏). Binnenste haakjes mogen we niet weglaten!
De voegtekens ∧, ∨, → en ↔ zijn rechts associatief. Dat wil zeggen dat als v ∈ {∧, ∨, →, ↔}, dan
moet A v B v C gelezen worden als A v (B v C). Maar 𝑎 ∧ 𝑏 → 𝑎 moeten we juist lezen als (𝑎 ∧ 𝑏)→ 𝑎
In de informatica schrijven we vaak 1 voor waar en 0 voor onwaar
INCLUSIEVE OF: als x waar is en y ook is XvY ook waar.
Een propositie of bewering is in de logica een declaratieve zin die of waar of onwaar kan zijn.
De ‘waarheid’ van een propositie wordt volledig bepaald door de waarden die we aan de atomen
toekennen. Een model in de propositielogica is dan ook eenvoudigweg een toekenning van waarden
({0,1}) aan de atomen. Een model in de propositielogica is een waardentoekenning of valuatie van de
atomen: een functie 𝑣 ∶ 𝐴 → {0,1}
We zeggen 𝑓 is waar in een model 𝑣 als 𝑣 𝑓 = 1
Alleen onwaar bij verkeerd gevolg of als iets niet werkt/ kapot is. (X is oorzaak Y gevolg).
Als een propositie 𝑓 waar is in ieder model (dat wil zeggen dat er in de waarheidstabel van 𝑓 alleen
maar 1-en staan als uitkomst), dan noemen we de propositie logisch waar en is het een tautologie.
Om de waarde van een propositie 𝑓 te bepalen hoeven we niet de waarden van alle atomen te
weten, maar alleen van de atomen die in 𝑓 voorkomen. We zullen daarom een model vaak
gelijkstellen aan een eindige waardentoekenning
Als een propositie f logisch waar is, wordt dat genoteerd met ⊨ f
Als een propositie 𝑓 niet logisch waar is, wordt dat genoteerd met ⊭ f
,AND
X Y X^Y
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
OR
X Y X˅Y
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
De logische implicatie (→) heeft twee argumenten. De teruggegeven waarde is
enkel 1 (waar) als het eerste argument 0 (onwaar) is, en als beide argumenten
1 (waar) zijn. Men spreekt (P → Q) uit als "als P dan Q". Voorbeeld die je kan
gebruiken om te kijken of X → Y waar of onwaar is is dit: ‘als 1 + 1 = 3, dan 2 + 2 = 6’.
X Y X→Y
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1
De logische equivalentie (↔) heeft twee argumenten. De teruggegeven
waarde is T als beide argumenten dezelfde waarde hebben. Men spreekt (P ↔
Q) uit als "P dan en slechts dan als Q".
X Y X↔Y
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
a ᷆a a U a᷆
0 1 1 (waar)
1 0 1 (waar)
,Voorbeeldopgave bij bovenstaande tabellen:
Los op:
1. A ^ B → A
2. A ˅ (B → A)
3. ᷆A → ᷆B
Oplossingen:
Vraag 1: A ^ B → A
Kolom 1 en 2 zijn gegeven.
Om kolom 3 te maken kijk je boven in de tabel en zie je welke waarden er bij horen
Om kolom 4 te maken kijk je naar het gemeenschappelijke tekentje, in dit geval de pijl (→)
en kijk je direct naar de tabel van het pijltje hierboven. Dan doe je kolom 3 als een X
beschouwen (omdat het als eerst staat in de formule van kolom 4) en de A als Y en dan vul je
het in via de gegeven waarden van de tabel hierboven.
Kolom 1 Kolom 2 Kolom 3 Kolom 4
A B A^B A^B→A
0 0 0 1
0 1 0 1
1 0 0 1
1 1 1 1
Vraag 2: A ˅ (B → A)
Om kolom 3 te krijgen beschouw je kolom 2 als de X en kolom 1 als de Y en kijk je in het
tabelletje hierboven met het pijltje. Voorbeeld van de 2 e rij: X= 1 en Y= 0 wordt 0.
Om kolom 4 te vormen kijk je naar het gemeenschappelijke teken, wat in dit geval het
omgekeerde dakje (˅) is en dan doe je A als X want komt als eerste voor in de los op formule
en (B → A) is de Y en dan kijk je naar de X en de Y in de omgekeerde dakjestabel van
hierboven en dan los je hem op.
Kolom 1 Kolom 2 Kolom 3 Kolom 4
A B B→A A ˅ (B → A)
0 0 1 1
0 1 0 0
1 0 1 1
1 1 1 1
, Vraag 3: A
᷆ → ᷆B
Kolom 1 en 2 zijn gegeven
Kolom 3 zijn letterlijk de tegenovergestelde waarden van kolom 1 en kolom 4 heeft letterlijk
de tegenovergestelde waarden aan 2.
Kolom 5 krijg je door kolom 3 te beschouwen als de X en kolom 4 te beschouwen als de Y in
de tabel van het pijltje hierboven. Dan kijk je de waarden en vul je ze in kolom 5.
Kolom 1 Kolom 2 Kolom 3 Kolom 4 Kolom 5
A B ᷆A ᷆B ᷆A → ᷆B
0 0 1 1 1
0 1 1 0 0
1 0 0 1 1
1 1 0 0 1
