Hfst 19: Vectoranalyse gegeven door prof dr ir Jan Baetens Deze samenvatting beslaat de cursus waaraan extra inzichten en bevindingen zijn toegevoegd + achteraan een overzicht van alle soort integralen van hfst 19
[Meer zien]
Laatste update van het document: 5 maanden geleden
Hoofdstuk 19
Vectoranalyse
Alles komt samen in dit hoofdstuk
Laatste soort functie: vectorveld: meerdere inputs, meerdere outputs = 𝐹⃗ (x,y,..)
Lijnintegralen over scalair veld
Scalair veld = waar we altijd mee gewerkt hebben vectorveld
Zullen beide andere integralen hebben
Lijnintegraal over een scalair veld
= om oppervlak onder een oppervlak te berekenen tussen C en C geprojecteerd op f
▪ Geparameteriseerd door de booglengte s met f(ci) de hoogte gegeven door de oppervlakte
▪ De lijnintegraal langsheen C van f (oppervlak)
▪ Moest de kromme C gesloten zijn gebruiken we een kringintegraal ∮;
Manier om de lijnintegraal te evalueren:
▪ Kromme C = 𝒓 ⃗⃗(𝒕) = (𝒈(𝒕), 𝒉(𝒕)) → dus kromme parameteriseren en in f invullen
▪ ds = ‖𝒓
⃗⃗′ (𝒕)‖𝒅𝒕
Bereken de oppervlakte onder f(x,y) en boven C
Parameteriseer C in 𝑟⃗(𝑡) = (𝑔(𝑡), ℎ(𝑡))
o Kies bv voor C: y = x² g(t) = x = t en h(t) = y = t² → 𝑟⃗(𝑡) = (t, t²)
o Beperking ook meerekenen + belangrijk voor hoe de kromme doorlopen moet worden
Bereken de snelheidsfunctie 𝑟⃗′(𝑡)
Invullen in bovenstaande formule f(g(t),h(t)) = f geëvalueerd langs het pad C op f dat erop
geprojecteerd wordt met x = g(t) en y = h(t)
!!opletten voor de grenzen, er wordt naar t geïntegreerd: dt, dus grenzen in functie van t, is afhankelijk
van de parameterisering dus afvragen wat waren de grenzen in x (of y) en x = ___
Indien bij parameterisatie + en – uitgekomen → integraal opsplitsen
Als de kromme C een knikpunt vertoond zal je twee parameterisaties nodig hebben: C = C1 en C2
Zorgt ervoor dat de kromme niet glad is → niet afleidbaar daar
Integratie interval in stukken opdelen
De parabool en rechte apart parameteriseren 𝒓 ⃗⃗(𝒕) + integralen opstellen
Massamiddelpunt van een dunne draad via lijnintegraal
, f(s) vervangen door dichtheidsfunctie
Vectorvelden
= kent aan elk punt in de ruimte een vector toe: meerdere inputs (x,y,…) en meerdere outputs: component
functies M en N
In elk punt van het vlak krijg je een vector Volgende zaken niet door elkaar slaan
▪ f(x) een variabele
▪ f(x,y) 2 of meerdere variabelen
▪ ⃗⃗(𝒕)
𝒓 vectorfunctie
Wordt gebruikt in weerbericht en stroming van rivier ▪ ⃗𝑭⃗(𝒙) Vectorveld met n-tal inputs
Geeft vector in punt: richting en grootte ▪ ⃗𝑭⃗(𝒙, 𝒚) Vectorveld in het vlak (2 inputs)
Del-operator
⃗∇⃗ = de nabla met een pijl boven = vector van de partieel afgeleiden
▪ Scalaire vermenigvuldiging met kleine f (meerdere inputs, 1 output)
o Gradiënt = steilste weg omhoog = vector van de partieel afgeleiden
▪ Scalair product met vectorveld
o Divergentie van het vectorveld = div𝑭 ⃗⃗
= maat voor de samendrukbaarheid van het vectorveld
o Kan kijken of er bv in een punt van rivier meer water toekomt dan weggaat (doos erover zetten)
▪ Positief = meer weg dan toekomt = bronnetje, explosie
▪ Negatief = meer komt toe dan weggaat = zinkgat
▪ 0 = evenveel in als uit
▪ Vectoriëel product met vectorveld
o ⃗⃗ = curl𝑭
Rotatie van het vectorveld = rot𝑭 ⃗⃗
= snelheid waarmee het vectorveld van richting veranderd
o Kan het voorstellen door bv in een rivier een schoepenwiel te plaatsen in een punt
▪ Positief = tegenwijzerzin
▪ Negatief = wijzerzin
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
√ Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, Bancontact of creditcard voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper BioIngenieur. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €2,99. Je zit daarna nergens aan vast.
