Hfst 19: Diagonalisering gegeven door prof Willem Waegeman Deze samenvatting beslaat de cursus waaraan extra inzichten en bevindingen zijn toegevoegd + !!stappenplannen voor verschillende soorten oefeningen uit te werken!!
[Meer zien]
Laatste update van het document: 5 maanden geleden
Diagonalisering
Een vierkante matrix A is diagonaliseerbaar als er een diagonaalmatrix D en een inverteerbare matrix P
bestaat zodat A = PDP-1 een lineair onafhankelijke verzameling bestaat die n eigenvectoren van A bevat
▪ Diagonaalmatrix D bestaat uit de eigenwaarden van A op de hoofddiagonaal, de rest is 0
▪ Inverse matrix P bestaat uit de lineaire onafhankelijke eigenvectoren van A
=> de eigenvectoren zijn onafhankelijk want P is inverteerbaar
Ga na of A diagonaliseerbaar is:
▪ Bereken de eigenwaarden
▪ Bereken de eigenvectoren (eigenruimte berekenen)
▪ Stel P en D op !!!let op: de eigenvector in kolom 1 van P komt overeen met het eerste element op de
diagonaal van D enzo verder, eigenwaarden moeten hier niet van groot naar klein
▪ A = PDP-1 → AP = PD als P inverteerbaar is heb je A = PDP-1 AP = PD
▪ Of korter, heb je allemaal verschillende eigenwaarden? Is 𝛼 = 𝛾 voor alle eigenwaarden
Als je twee dezelfde eigenwaarden hebt zal je niet n eigenvectoren hebben bij n verschillende eigenwaarden
Zal niet diagonaliseerbaar zijn want je zal geen lineair onafhankelijke verzameling eigenvectoren
hebben, dus P zal ook niet inverteerbaar zijn
Is niet hetzelfde als twee eigenvectoren binnen eigenruimte van een eigenwaarde hebben
Machten van matrices
Indien A diagonaliseerbaar is: Ak = PDkP-1
Aangezien D een diagonaalmatrix is (enkele elementen op de diagonaal) mag je elk element afzonderlijk tot die
macht doen op de hoofddiagonaal
Discrete dynamische systemen
Het beschrijft een verandering in een biologisch, fysisch of chemisch proces doorheen discrete tijdstappen
𝑥⃗ 0 = starttoestand van de variabelen en met A = overgangsmatrix
𝑥⃗ 1 = A𝑥⃗ 0
𝑥⃗ 2 = A𝑥⃗ 1 = A²𝑥⃗ 0
⃗⃗k = Ak𝒙
𝒙 ⃗⃗0
Indien A ook diagonaliseerbaar is
Hebt n lineair onafhankelijke eigenvectoren die samen een basis voor IRn vormen 𝒙
⃗⃗k = Ak𝒙
⃗⃗0 = PDkP-1𝒙
⃗⃗0
Elke 𝑥⃗ 0, element van IR kan als een lineaire combo ervan geschreven worden
n
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
√ Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, Bancontact of creditcard voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper BioIngenieur. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €2,99. Je zit daarna nergens aan vast.
