Samenvatting
Samenvatting WISKUNDE voor bedrijfskundigen II bewijzen
- Vak
- Wiskunde 2
- Instelling
- Universiteit Gent (UGent)
Uitgetypt document van alle te kennen bewijzen van Wiskunde 2 (Academiejaar ). Gegeven door prof. Philippe Carette.
[Meer zien]Voorbeeld 4 van de 13 pagina's
Voorbeeld 4 van de 13 pagina's
In winkelwagen4 beoordelingen
Door: manudewinter • 1 jaar geleden
Door: hwugent2debach • 3 jaar geleden
Door: caroplatteeuw • 3 jaar geleden
Door: elinever • 5 jaar geleden
Voorbeeld van de inhoud
.Wiskunde voor bedrijfskundigen II
Bewijzen
Handelswetenschappen
Academiejaar 2018-2019
,Bewijzen
1. Logistische groei ................................................................................................................................................. 1
𝑎 𝑏 𝑐
2. |0 𝑑 𝑒 | = 𝑎𝑑𝑓 ................................................................................................................................................ 2
0 0 𝑓
𝑎 0 0
3. |𝑏 𝑐 0| = 𝑎𝑐𝑓 ................................................................................................................................................. 2
𝑑 𝑒 𝑓
𝑎 𝑏 𝑎 𝑐
4. | |=| | .................................................................................................................................................. 2
𝑐 𝑑 𝑏 𝑑
𝑎 𝑏 𝑏 𝑎
5. | | = −| | .............................................................................................................................................. 3
𝑐 𝑑 𝑑 𝑐
𝑎 𝑏 𝜆𝑐 𝑎 𝑏 𝑐
6. |𝑑 𝑒 𝜆𝑓| = 𝜆 |𝑑 𝑒 𝑓 | ............................................................................................................................. 3
𝑒 ℎ 𝜆𝑖 𝑔 ℎ 𝑖
𝑎 𝑏 𝑎 𝑏
7. | |=| | ............................................................................................................................. 4
𝑐 + 𝜆𝑎 𝑑 + 𝜆𝑏 𝑐 𝑑
8. Stelling. 𝐴 heeft een inverse ⟹ 𝐴 regulier ( d.w.z. det(𝐴) ≠ 0) .................................................. 4
9. Stelling. Als 𝐵 en 𝐵′ inverse matrices zijn van 𝐴, dan 𝐵 = 𝐵′. ...................................................... 5
1
10. Als 𝐴 regulier is, dan is de matrix 𝐴−1 = det(𝐴) adj 𝐴 De enige inverse matrix van 𝐴............ 5
11. (𝐴𝐵)−1 = 𝐵−1 𝐴−1 ............................................................................................................................................... 6
1
12. (𝑟𝐴)−1 = 𝐴−1 ..................................................................................................................................................... 7
𝑟
13. (𝐴𝑇 )−1 = (𝐴−1 )𝑇 ................................................................................................................................................. 7
14. Karakteristieke vergelijking det(𝐴 − 𝜆𝐸𝑚 ) = 0. ................................................................................... 8
15. 𝐴𝑢 = 𝜆𝑢. ................................................................................................................................................................. 9
16. 𝐴𝑡 𝑣 = 𝑐1 𝜆1𝑡 𝑣1 + 𝑐2 𝜆𝑡2 𝑣2 + ⋯ + 𝑐𝑝 𝜆𝑡𝑝 𝑝 ................................................................................................ 10
d𝑓 (𝑥 ∗ ,𝑦 ∗ )
17. d𝑐
= 𝜆∗ ...................................................................................................................................................... 11
, Logistische groei
Bewijs
Punt van snelste aangroei
Uit D.V.
1 d𝑦 𝑦
= 𝑎 (1 − )
𝑦 d𝑡 𝑁
Volgt Buigpunt? Via tweede afgeleide → 𝑦 ′′ =? Stel = 0
d𝑦 𝑦 𝑌
= 𝑎 𝑦 (1 − ) 1. 𝑦 ′ = 𝑎 𝑦 (1 − ) 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑟𝑒𝑔𝑒𝑙
d𝑡 𝑁 𝑁
′
𝑌 ↑ 𝑌 1
2. 𝑦 ′′ = [𝑎 𝑦 (1 − )] ⇒ 𝑎 [𝑦 ′ (1 − ) + 𝑦 (− ) 𝑦′]
En dus ook (via de productregel) 𝑁 𝑁 𝑁
𝑌 𝑌
= 𝑎 𝑦 ′ [(1 − ) − ]
𝑁 𝑁
d2 𝑦 d𝑦 2𝑦 2𝑌
2
=𝑎 (1 − ) ′
= 𝑎 𝑦 (1 − )
d𝑡 d𝑡 𝑁 𝑁
↓ ↓ ↓
1. 2. 3.
Wanneer is het buigpunt nu nul?
1. 𝑎 kan niet 0 zijn. Het is een evenredigheidsconstante
2. 𝑑𝑦/𝑑𝑡 is een functie en de afgeleide kan nooit 0 zijn want de functie stijgt altijd (zie grafiek)
3. Blijft over, dus
2𝑌 𝑁
1− =0 ⟺ 𝑦=
𝑁 2
Nuttige eigenschappen
1. Zijn alle elementen onder (boven) de hoofddiagonaal gelijk aan nul, dan is de determinant
gelijk aan het product van de elementen op de hoofddiagonaal.
2. Een determinant verandert niet als men het onderliggend getallenschema transponeert
(d.w.z. eerste rij wordt eerste kolom, tweede rij wordt tweede kolom enz.)
3. Als men 2 rijen (kolommen) onderling van plaats verwisselt, wijzigt de determinant van
teken.
Gevolg: Een determinant met twee identieke rijen (kolommen) is steeds gelijk aan nul.
4. Als men elk element van één rij (kolom) vermenigvuldigt met eenzelfde getal 𝜆, dan wordt
de volledige determinant met dit getal 𝜆 vermenigvuldigd.
5. Als men bij een rij (kolom) een veelvoud van een andere rij (kolom) optelt, dan verandert de
determinant niet.
1
, Eigenschap 1
Zijn alle elementen onder (boven) de hoofddiagonaal gelijk aan nul, dan is de determinant gelijk
aan het product van de elementen op de hoofddiagonaal.
Voorbeelden
𝑎 𝑏 𝑐
Bewijs
|0 𝑑 𝑒 | = 𝑎𝑑𝑓
0 0 𝑓
Bewijs: ⟶ ontwikkel rij 3
𝑎 𝑏 𝑐
|0 𝑑 𝑒 | = 0 ∙ 𝐴31 + 0 ∙ 𝐴32 + 𝑓 ∙ 𝐴33 ⟶ |𝑎 𝑏
| = 𝑎𝑑 − 0𝑏 = 𝑎𝑑 ⟶ 𝑓 ∙ 𝑎𝑑 = 𝑎𝑑𝑓
0 0 𝑓 0 𝑑
𝑎 0 0
|𝑏 𝑐 0| = 𝑎𝑐𝑓
Bewijs
𝑑 𝑒 𝑓
Bewijs: ⟶ ontwikkel kolom 3
𝑎 0 0
|𝑏 𝑐 0| = 0 ∙ 𝐴13 + 0 ∙ 𝐴23 + 𝑓 ∙ 𝐴33 ⟶ |𝑎 0
| = 𝑎𝑐 − 0𝑏 = 𝑎𝑐 ⟶ 𝑓 ∙ 𝑎𝑐 = 𝑎𝑐𝑓
𝑑 𝑒 𝑓 𝑏 𝑐
Deze eigenschap zegt specifiek dat dit enkel werkt met de hoofddiagonaal. (van linksboven naar
rechtsonder). Wat indien met de nevendiagonaal? (van rechtsboven naar linksonder).
0 0 3 ≠
Vb: |0 2 5| ≠ 1 ∙ 2 ∙ 3 = 6
1 −2 6
0 3
Kolom 1: = 0 ∙ 𝐴11 + 0 ∙ 𝐴21 + 1 ∙ 𝐴31 = 1 ∙ 𝐴31 = 1 ∙ | | = −6
2 5
Eigenschap 2
Een determinant verandert niet als men het onderliggend getallenschema transponeert (d.w.z.
eerste rij wordt eerste kolom, tweede rij wordt tweede kolom enz.)
Transponeren = je wisselt rijen met kolommen en kolommen met rijen.
Voorbeeld
𝑎 𝑏 𝑎 𝑐
| |=| |
𝑐 𝑑 𝑏 𝑑
Bewijs Bewijs:
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 = 𝑎𝑑 − 𝑐𝑏
Bij andere ordes geldt dit ook, maar enkel van deze orde moet je het bewijs kennen.
2
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
√ Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, Bancontact of creditcard voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper nicolasdewulf. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €2,99. Je zit daarna nergens aan vast.
Is Stuvia te vertrouwen?
4,6 sterren op Google & Trustpilot (+1000 reviews)
Afgelopen 30 dagen zijn er 53068 samenvattingen verkocht
Opgericht in 2010, al 14 jaar dé plek om samenvattingen te kopen