Heldere uitgetypte samenvatting van alle hoorcolleges gegeven door prof. Philippe Carette in het academiejaar , inclusief alle bewijzen. In deze samenvatting komt de theorie van Wiskunde 2 aan bod.
In het oorspronkelijk document zaten er fouten. Deze zijn gecorrigeerd en het document is geüpdatet.
Bepaalde integraal
Definitie
Interpretatie: oppervlakte
Belangrijkste eigenschappen
Economische toepassing: consumenten- en producentensurplus
Oneigenlijke integralen
Definities
Voorbeelden
Convergentie en divergentie
Bepaalde integraal
Bij een bepaalde integraal ga je de
oppervlakte berekenen van gebieden die
begrensd zijn door rechten /functies /
curves / grafieken…
Definitie 𝑎 = ondergrens / 𝑏 = bovengrens
Zij 𝑓 continu op [ 𝑎, 𝑏 ], dan
𝑏 𝑏 = altijd een getal als uitkomst → geen 𝑥-waarde
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = [ 𝐹(𝑥) ] = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) → geen functie
𝑎 𝑎
Waarbij 𝐹 een primitieve functie is van 𝑓 op ] 𝑎, 𝑏 [.
𝑎𝑙𝑠
𝐹 is een primitieve van 𝑓 ⇔ 𝐹 ′ = 𝑓
1
, Voorbeeld
1 1
∫ (2𝑥 + 1) 𝑑𝑥 = [ 𝑥 2 + 𝑥 ] = (12 + 1) − (02 + 0) = 2 (bij moeilijke functies kan men dus gebruik
0 0 maken van P.I. of substitutiemethode.
𝑓 𝐹 𝐹(1) 𝐹(0)
Opmerking
Men mag de integratieconstante weglaten bij het vinden van 𝐹(𝑥).
[𝑥 2 + 𝑥 + 𝐶]10 = 𝐹(1) − 𝐹(0) = (12 + 1 + 𝐶) − (02 + 0 + 𝐶) +𝐶 − (+𝐶) = 0
⟶ 𝐶 valt weg
⟶ indien je ze wel schrijft, geen probleem. Hiervoor zullen geen
punten voor worden afgetrokken.
Oppervlakte als 𝑓 positief op [ 𝑎, 𝑏 ]
𝑏
𝐴 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑎
Oefening
Bereken de oppervlakte van het vlakdeel begrensd door de grafiek van 𝑦 = 2𝑥 + 1, de 𝑋-as, de
𝑌-as en de rechte 𝑥 = 1.
1+3
1. oppervlakte = ( )∙1=2
2
1
2. de bepaalde integraal: oppervlakte = ∫ (2𝑥 + 1) 𝑑𝑥
0
1
= [ 𝑥 2 + 𝑥 ]0
= (12 + 1) − (02 + 0)
=2−0=2
𝑏1 + 𝑏2
De oppervlakte (een trapezium) heeft als formule ∙ℎ
2
OF
De oppervlakte van een rechthoek + driehoek
2
, Opgelet!
Opmerking: wanneer een functie over een (gedeeltelijk) negatief oppervlakte beschikt, zoals
hieronder, moet je de positieve oppervlakte splitsen met de negatieve oppervlakte. Bij het negatief
oppervlak moet je als volgt een minteken ervoor plaatsen. Achteraf sommeren we de twee
oppervlaktes om de totale oppervlakte te weten.
… …
Het basisidee is: oppervlakte tussen twee grafieken: [∫ boven 𝑓 − ∫ onder 𝑓 ]
… …
𝑨𝟏
= −
𝑎 𝑐 𝑎 𝑐 𝑎 𝑐
𝑐 𝑐
𝐴1 = ∫ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 − ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑎 𝑎
𝑨𝟐
= −
𝑐 𝑏 𝑐 𝑏 𝑐 𝑏
𝑏 𝑏
𝐴2 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 − ∫ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥
𝑐 𝑐
4
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
√ Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, Bancontact of creditcard voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper nicolasdewulf. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €8,49. Je zit daarna nergens aan vast.
