Dit is een formularium van statistiek, deel 2
Het bestaat uit 1,5 A4 waardoor er nog een beetje plek is om zelf dingen te noteren, bv. formules uit statistiek, deel 1
[Meer zien]
Laatste update van het document: 5 maanden geleden
MODELLEN PARAMETERSCHATTING HYPOTHESETOESTING Stappenplan type-1 fout:
Voor discrete variabele Puntschatting Stappenplan: tweezijdige en eenzijdige alternatieve hypothesen 1. Hypothesetoetser:
BERNOULLI: X~Bern(θ) → twee mogelijke uitkomsten Kwaliteit van de schatter 1. ℋ1 en ℋ) opstellen a) Kies toetsstatistiek
𝜃 = kans op succes met 0 < 𝜃 < 1 Zuiverheid: 𝐸[𝜃W% ]=θ 2. 𝛼 en n bepalen b) Bepaal steekproevenverdeling onder ℋ1
1- 𝜃 = kans op mislukking Asymptotisch zuiver: lim 𝐸X𝜃W% Y = 𝜃 3. Bepalen toetsstatistiek en steekproevenverdeling onder ℋ1 c) Beslissingsregel
%→0
µX = θ σX2 = 𝜃(1 − 𝜃) 4. Berekenen van ts
Nauwkeurigheid/betrouwbaarheid: 𝜎*D$ zo klein mogelijk
9 5. Verdachte waarden/staarten zoeken 2. Waarheid:
BINOMIAAL: Y~Bin(n, θ) → n iid herhalingen bernoulli-exp. Mean squared error: MSE = 𝐸 ZX𝜃W% − 𝜃Y [ = 𝜎D9 + (𝐸]𝜃W% ^ − 𝜃)² *$ 6. Beslissing via kritieke waarden of p-waarde a) Steekproevenverdeling onder ℋ1 en ware
- Independent: muteel statistisch onafhankelijk MSE is variantie van de schatter als deze zuiver is a) Kritieke waarde: steekproevenverdeling zijn identiek
- Identically distributed: identiek verdeeld = stationariteit Consistent: lim 𝑀𝑆𝐸 = 0 - Tweezijdig toetsen: b) P(type-1 fout) = 𝛼
% →0
Bern(θ) = Bin(1, θ) n ≠ steekproefgrootte - Zoek 𝑧)∗ en 𝑧)&
∗
- lim 𝜎D9 =0 )
0<Y<n Xi ~!!" 𝐵𝑒𝑟𝑛(𝜃) %→0 *$ ! !
T-toetsen
𝑛 - lim 𝐸X𝜃W%Y = 𝜃 - Kritisch gebied:
𝜋# (𝑦) = 𝑃(𝑌 = 𝑦) = 1 2 ∙ 𝜃 $ ∙ (1 − 𝜃)%&$ %→0 ∗
𝑧)& ∗
) ≤ ts of ts ≤ 𝑧)
1 steekproef op ZTW
𝑦 ! ! 6G&<"
µY=nθ σY = 𝑛 ∙ 𝜃 ∙ (1 − 𝜃)
2 - 𝜎6 gekend: z-toets: Z = =" ~ N(0,1)
ccc%
Steekproevenverdeling en statistiek 𝑋 - Eenzijdig toetsen: L
√%
∗
Voorwaarde: trekking ZTW → X’s iid - Zoek 𝑧)&K (rechts verdacht) of -
6G& <
𝜎6 ongekend: t-toets: T = M* " ~ 𝑡"OP%&) met
GEOMETRISCH: Z~Geo(θ) → tijd (discreet) tot eerste succes ccc /.…/6$ 𝑧K∗ (links verdacht) "N
𝑋% = % ! √%
𝜃 = kans op succes bij elk bernoulli-experiment %
- ∗
Kritisch gebied: 𝑧)&K ≤ ts )
𝜇6G$ = 𝜇6 → ##
𝑋##& is een (asymptotisch) zuivere schatter van 𝜇' 𝑆′6 = n ∑(𝑥! − 𝑋c)² en df = #vrijheidsgraden =
Z = [1, +∞]: oneindig bereik ! (rechts verdacht) of 𝑧K∗ ≥ ts %&)
="
𝜋' (𝑧) = 𝑃(𝑍 = 𝑧) = (1 − 𝜃)(&) ∙ 𝜃 𝜎6G9$ = → hoe groter n, hoe betrouwbaarder de schatter ##
𝑋##& b) p-waarde: #onafhankelijke observaties - #te schatten
%
) ()&*) !
µZ= σZ2 = ccc% = =" dus lim 𝑀𝑆𝐸 = 0 → 𝑋
MSE 𝑋 #### - Tweezijdig toetsen: parameters
* *! & is een consistente schatter van 𝜇'
% % →0
- ts negatief: 2∙P(TS ≤ ts)
Eigenschappen:
POISSON: Y~Poisson(λ) → aantal successen in tijd of ruimte ! - ts positief: 2∙P(TS ≥ ts) Intervalschatting:
="
λ = verwacht aantal successen in gekozen eenheid met λ > 0 - Als X~N(𝜇6 , 𝜎69 ) dan is ccc
𝑋% ~N 9𝜇6 , : - Eenzijdig toetsen: -
=
𝜎6 gekend: niveau C BI voor 𝜇6 is 𝑥̅ ± 𝑧 ∗ ∙ "
% √%
Assumpties poissonmodel: - Als X≁N(𝜇6 , 𝜎69 ) dan centrale limietstelling: - Links verdacht: P(TS ≤ ts) *
Q"
- 𝜎6 ongekend: niveau C BI voor 𝜇6 is 𝑥̅ ± 𝑡 ∗ ∙ →
- Voorkomen van gebeurtenis in stukje tijd is onafhankelijk van 𝜎9 - Rechts verdacht: (TS ≥ ts) √%
voorkomen gebeurtenis in ander niet-overlappend stukje tijd
ccc% ≈ N g𝜇6 , 6 h
𝑋 foutenmarge is ongelijk voor verschillende
𝑛 - Kritisch gebied:
- Mate waarin gebeurtenis voorkomt binnen stukje tijd is steekproeven
Voorwaarde: - 𝑝 ≤ 𝛼 → ℋ1 verwerpen
proportioneel aan grootte van dat stukje: Yt ~Poisson (λt)
- Als n>30 → als n<30: enumeratief - 𝑝 > 𝛼 → ℋ1 aanvaarden
lim 9%: ∙ 𝜃 $ ∙ (1 − 𝜃)%&$ met 𝑛 ∙ 𝜃 = 𝜆 Significantietoetsing t-toets is idem als bij z-toets
%→ /0 $ - Als steekproeftrekking op ZTW
*→1
𝜆$ &2 - Gevolg centrale limietstelling: Link tussen toetsing en BI
𝜋# (𝑦) = 𝑃(𝑌 = 𝑦) = ∙𝑒 X~Bin(n,θ) → X≈N(nθ,nθ(1-θ)) Enkel bij tweezijdig toetsen: ts = hoeveel SD 𝑥̅ afwijkt van µ₀ Vergelijken van 2 gekoppelde paren (afhankelijke steekproeven)
𝑦! (6G&#G)&(<"&<#)
𝜇# = 𝜆 σY2 = 𝜆 Voorwaarde: - 𝜇6 − 𝜇# als 𝜎6&# gekend : Z =
="
+,#
+
- Als nθ ≥ 15 en n(1-θ) ≥ 15 BI: alle waarden die op basis van geobserveerde data niet
~ N(0,1)
Voor continue variabele - Als ZTL: N ≥ 20n significant verchillen van ware µ (6G&#
G)&(< &< )
- 𝜇6 − 𝜇# als 𝜎6&# ongekend= T = M* " #
EXPONENTIEEL: T~Expon(λ) → tijd (continu) tot eerste succes - Pas continuïteitscorrectie toe ",#N
√%
λ = verwacht aantal successen in gekozen eenheid met λ > 0 Power ~ 𝑡"OP%&)
Assumpties expontentieel model: zelfde als poissonmodel Continuïteitscorrectie: Soorten fouten
&2∙5 Binomiaalkans Via N met continuïteitscorrectie ℋ1 waar ℋ1 vals
𝜑 3 (𝑡) @𝜆 ∙ 𝑒 𝑎𝑙𝑠 𝑡 ≥ 0
Type-1 fout Correcte beslissing =
Vergelijken 2 onafhankelijke steekproeven
0 𝑎𝑙𝑠 𝑡 < 0 X=c c-0.5<X<c+0.5 ℋ1 Statistisch model: 𝑋c − 𝑌c~𝑁(𝜇6G&#G , 𝜎6G&#
9
G)
𝛷3 (𝑡) = 𝑃 (𝑇 ≤ 𝑡) = 1 − 𝑃(𝑇 > 𝑡) = 1 − 𝑃(𝑌 5 = 0) = 1 − 𝑒 &2∙5 X>c X>c+0.5 verwerpen power/ (6G&#G)&(<"&<#)
) ) onderscheidingsvermogen - 𝜎6 en 𝜎# gekend: Z = ~ N(0,1)
𝜇3 = σT2 = ! X<c X<c-0.5 -! - !
2 2 R "/ #
X≥c X>c-0.5 ℋ1 Correcte Type-2 fout $" $#
X≤c X<c+0.5 aanvaarden beslissing - 𝜎6 en 𝜎# ongekend:
UNIFORM: X~U(a,b) met a < b
1 - Niets bekend over 𝜎6 en 𝜎# :
𝜑6 (𝑥) L𝑏 − 𝑎 𝑎𝑙𝑠 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 Intervalschatting Formules:
𝑇=
(6G&#G)&(<"&<#)
≈ 𝑡"OPS
0 𝑎𝑙𝑠 𝑎𝑛𝑑𝑒𝑟𝑠 X waarbij X~N(𝜇6 , 𝜎69 ) of n>30 met gekende variantie → BI of - P(type-2 fout) = P(aanvaarden | ℋ1 vals) * !* !
R. "/. #
𝜇6 =
7/8
σX2 =
(7&8)²
confidence level voor µX met niveau C: - Power/OV = P(verwerpen | ℋ1 vals) $" $#
9 )9 !
! *!
= = - Power + P(type-2 fout) = 1 /* / 1
OG = 𝑋c − 𝑧 ∗ ∙ " BG = 𝑋c + 𝑧 ∗ ∙ " T$ 0 / $ U
" #
√% √%
NORMAAL: X~N(𝜇6 , σX2 ) 𝑧 ∗ > 0 zo gekozen dat C kans is dat een standaardnormaal met k = ! ! ! !
) 6&<" ! verdeelde toevalsvariabele een waarde aanneemt tussen −𝑧 ∗ en 𝑧 ∗
Stappenplan: type-2 fout en power % .*0
/
%
T
.*1
U
1 & ; > $",%V $" W $#,% $#
𝜑6 (𝑥) = ∙ 𝑒 9 =" 1. Hypothesetoetser:
√2 ∙ 𝜋 ∙ 𝜎6 → Satterthwaitebenadering
)&J a) Kies toetsstatistiek
Kwantielen = - 𝜎6 = 𝜎# : homoscedasticiteit
9
="
b) Bepaal steekproevenverdeling onder ℋ1
BIVARIAAT NORMAALMODEL: (X,Y)~N(𝜇6 ,𝜇# ; σX2,σY2, 𝜌6# ) (6G&#G)&(<"&<#)
Foutenmarge: m = 𝑧 ∗ ∙ → daalt bij grotere n, kleinere 𝜎' , kleinere C c) Beslissingsregel 𝑇= ~ 𝑡"OP%"/%#&9
√% % %
𝜑6,# (𝑥, 𝑦) =X$ /$
" #
) B&<" ! $&<# ! 9@"#(B&<")($&<#) met pooled estimator:
1 & ! A; > /; = > & C Andere OG en BG: zie tabellenboekje of toetsstatistiek 2. Waarheid:
= ∙ 𝑒 9()&@"#) =" # ="=#
!
(%"&))∙Q* 0/(%#&))∙Q* 1
!
9
2𝜋𝜎6 𝜎# T1 − 𝜌6# uitwerken naar parameter a) Bepaal ware steekproevenverdeling 𝜎9 =
%"/%#&9
b) Bereken gevraagde → gebruik ware gegevens
Keuze model Intervalschatting:
Continu: normaalmodel, exponentieel, uniform - 𝜎6 en 𝜎# gekend: niveau C BI voor 𝜇6 − 𝜇# is
Discreet: ! !
=" =#
- Eindig waardegebied: bernoulli, binomiaal 𝑥̅ − 𝑦c ± 𝑧 ∗ ∙ n +
%" %#
- Oneindig waardegebied: geometrisch, poisson - 𝜎6 en 𝜎# ongekend: niveau C BI voor 𝜇6 − 𝜇#
is 𝑥̅ − 𝑦c ± 𝑡 ∗ ∙ 𝑆𝐸 met SE = onder de breukstreep
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
√ Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, Bancontact of creditcard voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper emilievanhecke. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €3,49. Je zit daarna nergens aan vast.
