1
SVT: Logica &
Wetenschapsfilosofie
Logica
De Logica = beoordeling van het menselijk redeneren; reeksen van uitspraken zijn ‘logisch’ als ze
opgebouwd zijn volgens strenge wetten
Een logica = deductief/ formeel systeem; specifieke manier om dat te doen
- Moderne logica: start eind 19e eeuw
- Normatieve studie: opstelling ideale regels van rationeel denken
- Formele aspecten: vormkernmerken, abstractie maken van inhoud
- Deductieve variant: welomschreven set van toegelaten denkstappen
1. Propositielogica (PL)
Basis van de logica
Regelsysteem
- Concreet taalgebruik
o formaliseren en abstraheren van de taal (inhoud)
- Herkennen en benoemen van logische structuren
Voorbeeld:
“Als het volgende week regent of sneeuwt, dan speel ik op de wii en kom ik niet naar de les.”
Onderlijnde woorden: bindwoorden; connectieven
Formaliseren: Inhoudelijke elementen achterwege laten (variabele inhoud):
“Als BOEM of BAM, dan KLETS en niet PATS”
Formule:
(p v q) (r & ~ s)
-> Haakjes dienen enkel voor duidelijkheid
De connectieven (PL)
voorgesteld als symbolen
Logische constanten; binden de zin aan elkaar
(a) implicatie: “als p, dan q”: p q
(b) conjunctie: “p en q”: p & q
(c) disjunctie: “p of q”: p V q
(d) gelijkwaardigheid: “p als en slechts als q”: p≡q
(e) negatie: “niet p”: ~ p
,2
Toegelaten taalafspraken
(OR= orientatie regel)
OR 1: p, q, r… => zinnen en afspraken van PL
OR 2: A (variabel) => willikeurige zin van PL, dan ook ~ A
-> waar of niet waar is niet van belang, de zin moet grammaticaal in orde zijn
OR 3: A en B zijn zinnen, dan ook A &B, A v B, A B, A ≡ B
OR 4: elke zin van PL voldoet aan OR 1, 2 en 3
Afspraken die voldoen aan alle 4 de OR; wff (woef) = well formed formula
Opbouw redeneringen
10 toegelaten primitieve, elementaire redeneerstappen
2 primitieve regels per connectief: Introductieregel (I)
Eliminatieregel (E)
Primitieve regels
- enkel op volledige formules toe te passen (geen deel)
1. Implicatie
( I) voorwaardelijk bewijs: subbewijs starten met A als hypothese, als B in dat subbewijs voorkomt ->
besluit tot A B
A (hypothese), …, B / A B
Specifieke vormverieisten: verticale streep die aangeeft tot hoever de hypothetische redenering
is, horizontale om die af te sluiten
( E) modus ponens (limiet instellen)
als A voorkomt in de loop van een redenering, en A B -> besluit tot B
A, A B / B
- Reïteratieregel (Reït): elke vorige bewijsregel mag in een subbewijs hernomen worden, ALS die
niet in een afgesloten hypothetische redenering staat
2. Conjunctie
(& I) Conjunctie: indien A en B voorkomen in de loop van een redenering -> besluit tot A & B
A, B / A & B
(& E) Simplificatie: indien A & B voorkomen in de loop van een redenering -> besluit tot A als B
A & B / A, B
- A en B: willikeurige zinnen van PL
- ‘/ ’ betekend ‘dus’
, 3
3. Disjunctie
(v I) Additie: als A voorkomt in de loop van een redenering, ofwel B -> besluit tot A v B
A / A v B en B / A v B
laat NIET toe A dan wel B af te leiden uit A v B
(v E) Dilemma: indien A v B voorkomt in de loop van een redenering, en zowel A C als B C -> besluit
tot C
A v B, A C, B C / C
“als twee alternatieven dezelfde gevolgen hebben, dan is het gevolg het geval”
4. Gelijkwaardigheid
(≡ I) : als A B in de loop van een redenering voorkomt, en B A -> besluit tot A ≡ B
A B, B A / A ≡ B
Enige manier om gelijkwaardigheid te bewijzen, is door beide implicaties te bewijzen
(≡ E) : als A ≡ B in de loop van een redenering voorkomt -> besluit tot A B en B A
A ≡ B / A B en A ≡ B / B A
Enige manier om gelijkwaardigheid te analyseren en zo die te gebruiken
5. Negatie
(~ I) reductio ad absurdum (bewijs uit het ongerijmde)
als A B in de loop van een redenering voorkomt en A ~ B -> besluit tot ~ A
A B, A ~ B / ~ A
Als je het tegendeel van twee uitspraken kan afleiden (tegenspraak), dan is de negatie van de
eerste uitspraak het geval
(~ E) dubbele negatie: als ~~ A in de loop van een redenering voorkomt -> besluit tot A
~~ A / A
Formeel bewijs:
- Begin met premissen (premisse; stelling vaarom je een redenering baseerd)
- Middenin zinnen die verantwoord worden via één van die regels
- Eindigend met de conclusie
Logisch afleidbaarheidsteken
Afleiden naar r
