Overig
MAT3701 Assignment 2 Complete Solutions UNISA 2024 Due date 16 August 2024 LINEAR ALGEBRA NEW
- Vak
- Instelling
MAT3701 Assignment 2 Complete Solutions UNISA 2024 Due date 16 August 2024 LINEAR ALGEBRA NEW
[Meer zien]Voorbeeld 3 van de 24 pagina's
Voorbeeld 3 van de 24 pagina's
In winkelwagen
In winkelwagen
1 beoordeling
Door: moipatimokoena • 3 maanden geleden
Verkoper
VolgenTutorMaster0820448712
Ontvangen beoordelingen
Voorbeeld van de inhoud
MAT3701ASSIGNMENT 2
FULL SOLUTIONS
Due date: 16 August 2024, Friday.
Complete Solutions
LINEAR ALGEBRA
UNISA
2024
,SOLUTION:
We are given ||T(x)|| = ||x||, for all x.
We know <x,x> = 0 if and only if x = 0 and <T(x), T(x)> = 0 if and only if T(x) = 0.
Therefore, T(x) = 0 if and only if x = 0.
So N(T) = {0} and therefore, T is one to one.
SOLUTION
To prove that ∣∣⋅∣∣ defined by ∣∣(a,b)∣∣=max{∣a∣,∣b∣} is a norm on R2, we need to verify that
it satisfies the three properties of a norm:
1. Non-negativity and definiteness:
∣∣(a,b)∣ ∣≥0 and ∣∣(a,b)∣∣=0 ⟺ (a,b)=(0,0)
2. Homogeneity (or absolute scalability):
∣∣c⋅(a,b)∣∣=∣c∣⋅∣∣(a,b)∣∣for allc∈R
3. Triangle inequality:
, ∣∣(a1,b1)+(a2,b2)∣∣ ≤ ∣∣(a1,b1)∣∣ + ∣∣(a2,b2)∣∣
Let's verify each property step by step.
1. Non-negativity and Definiteness
For any (a,b)∈R2:
• Non-negativity: ∣∣(a,b)∣∣=max{∣a∣,∣b∣} ≥ 0 because the absolute values of real
numbers are always non-negative.
• Definiteness:
o If (a,b)=(0,0), then ∣∣(0,0)∣∣=max{∣0∣,∣0∣} = 0.
o Conversely, if ∣∣(a,b)∣∣=0, then max{∣a∣,∣b∣}=0 implies that
both ∣a∣=0 and ∣b∣=0, hence a=0 and b=0. Thus, (a,b)=(0,0).
2. Homogeneity
For any (a,b)∈R2 and c∈R:
∣∣c⋅(a,b)∣∣=∣∣(ca,cb)∣∣=max{∣ca∣,∣cb∣}=∣c∣⋅max{∣a∣,∣b∣}=∣c∣⋅∣∣(a,b)∣∣
3. Triangle Inequality
For any (a1,b1) and (a2,b2)∈R2:
∣∣(a1,b1)+(a2,b2)∣∣=∣∣(a1+a2,b1+b2)∣∣=max{∣a1+a2∣,∣b1+b2∣}
We need to show that:
max{∣a1+a2∣,∣b1+b2∣}≤max{∣a1∣,∣b1∣}+max{∣a2∣,∣b2∣}
Consider the two cases for the maximum of ∣a1+a2∣ and ∣b1+b2∣:
1. If ∣a1+a2∣≤max{∣a1∣,∣a2∣}:
∣a1+a2∣≤∣a1∣+∣a2∣≤max{∣a1∣,∣b1∣}+max{∣a2∣,∣b2∣}
2. If ∣b1+b2∣≤max{∣b1∣,∣b2∣}:
∣b1+b2∣≤∣b1∣+∣b2∣≤max{∣a1∣,∣b1∣}+max{∣a2∣,∣b2∣}
Thus, in both cases, we have:
max{∣a1+a2∣,∣b1+b2∣}≤max{∣a1∣,∣b1∣}+max{∣a2∣,∣b2∣}
Therefore, the triangle inequality holds.
Since all three properties are satisfied, ∣∣⋅∣∣=max{∣a∣,∣b∣} is indeed a norm on R2.
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
√ Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, Bancontact of creditcard voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper TutorMaster0820448712. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €13,65. Je zit daarna nergens aan vast.
Is Stuvia te vertrouwen?
4,6 sterren op Google & Trustpilot (+1000 reviews)
Afgelopen 30 dagen zijn er 72042 samenvattingen verkocht
Opgericht in 2010, al 14 jaar dé plek om samenvattingen te kopen