Tentamen (uitwerkingen)
MAT1503 Assignment 5 (COMPLETE ANSWERS) 2024 - DUE 10 September 2024
- Vak
- Instelling
100% TRUSTED WORKINGS, EXPLANATIONS & SOLUTIONS
[Meer zien]Voorbeeld 3 van de 29 pagina's
Voorbeeld 3 van de 29 pagina's
In winkelwagen
In winkelwagen
Verkoper
Volgen
examexpert01
Ontvangen beoordelingen
Voorbeeld van de inhoud
MAT1503 Assignment 5(COMPLETE ANSWERS) 2024
- DUE 10 September 2024
100% GUARANTEED
,MAT1503 Assignment 5 (COMPLETE ANSWERS) 2024 -
DUE 10 September 2024
Question 1: 12 Marks (1.1) Let U and V be the planes
given by: (2) U : λx + 5y − 2λz − 3 = 0, V : −λx + y + 2z
+ 1 = 0. Determine for which value(s) of λ the planes U
and V are: (a) orthogonal, (2) (b) Parallel. (2) (1.2) Find an
equation for the plane that passes through the origin (0,
0, 0) and is parallel to the (3) plane −x + 3y − 2z = 6.
(1.3) Find the distance between the point (−1,−2, 0) and
the plane 3x − y + 4z = −2. (3)
Let's break down the problem into its individual parts and solve each one step by step.
Question 1.1
Given the planes:
U:λx+5y−2λz−3=0U : \lambda x + 5y - 2\lambda z - 3 = 0U:λx+5y−2λz−3=0
V:−λx+y+2z+1=0V : -\lambda x + y + 2z + 1 = 0V:−λx+y+2z+1=0
(a) Orthogonal Planes
Two planes are orthogonal if their normal vectors are orthogonal, i.e., the dot product of the
normal vectors equals zero.
The normal vector to plane UUU is nU=(λ,5,−2λ)\mathbf{n}_U = (\lambda, 5, -2\
lambda)nU=(λ,5,−2λ).
The normal vector to plane VVV is nV=(−λ,1,2)\mathbf{n}_V = (-\lambda, 1, 2)nV
=(−λ,1,2).
The dot product nU⋅nV\mathbf{n}_U \cdot \mathbf{n}_VnU⋅nV is:
nU⋅nV=λ(−λ)+5(1)+(−2λ)(2)\mathbf{n}_U \cdot \mathbf{n}_V = \lambda(-\lambda) + 5(1) + (-
2\lambda)(2)nU⋅nV=λ(−λ)+5(1)+(−2λ)(2) nU⋅nV=−λ2+5−4λ\mathbf{n}_U \cdot \mathbf{n}_V
= -\lambda^2 + 5 - 4\lambdanU⋅nV=−λ2+5−4λ
For the planes to be orthogonal:
−λ2−4λ+5=0-\lambda^2 - 4\lambda + 5 = 0−λ2−4λ+5=0
This is a quadratic equation. We can solve it using the quadratic formula:
, λ=−b±b2−4ac2a\lambda = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}λ=2a−b±b2−4ac
Here, a=−1a = -1a=−1, b=−4b = -4b=−4, and c=5c = 5c=5:
λ=4±(−4)2−4(−1)(5)2(−1)\lambda = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(-1)(5)}}{2(-1)}λ=2(−1)4±
(−4)2−4(−1)(5) λ=4±16+20−2\lambda = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 20}}{-2}λ=−24±16+20
λ=4±36−2=4±6−2\lambda = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{-2} = \frac{4 \pm 6}{-2}λ=−24±36=−24±6
Thus, the solutions are:
λ1=4+6−2=10−2=−5,λ2=4−6−2=−2−2=1\lambda_1 = \frac{4 + 6}{-2} = \frac{10}{-2} = -5, \
quad \lambda_2 = \frac{4 - 6}{-2} = \frac{-2}{-2} = 1λ1=−24+6=−210=−5,λ2=−24−6=−2−2=1
So, λ=−5\lambda = -5λ=−5 or λ=1\lambda = 1λ=1 for the planes to be orthogonal.
(b) Parallel Planes
Two planes are parallel if their normal vectors are parallel, i.e., they are scalar multiples of each
other.
For planes UUU and VVV to be parallel:
(λ,5,−2λ)=k(−λ,1,2)(\lambda, 5, -2\lambda) = k(-\lambda, 1, 2)(λ,5,−2λ)=k(−λ,1,2)
Comparing the components:
λ=−kλ,5=k,−2λ=2k\lambda = -k\lambda, \quad 5 = k, \quad -2\lambda = 2kλ=−kλ,5=k,−2λ=2k
For λ≠0\lambda \neq 0λ=0, the first equation gives k=−1k = -1k=−1. Substituting into the
second equation:
5=−1(Contradiction)5 = -1 \quad (\text{Contradiction})5=−1(Contradiction)
So, λ=0\lambda = 0λ=0. In this case:
nU=(0,5,0),nV=(0,1,2)\mathbf{n}_U = (0, 5, 0), \quad \mathbf{n}_V = (0, 1, 2)nU=(0,5,0),nV
=(0,1,2)
These vectors are not multiples of each other. Hence, the planes are never parallel for any value
of λ\lambdaλ.
Question 1.2
Find an equation for the plane that passes through the origin and is parallel to the plane
−x+3y−2z=6-x + 3y - 2z = 6−x+3y−2z=6.
Dit zijn jouw voordelen als je samenvattingen koopt bij Stuvia:
Bewezen kwaliteit door reviews
Studenten hebben al meer dan 850.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet jij zeker dat je de beste keuze maakt!
In een paar klikken geregeld
Geen gedoe — betaal gewoon eenmalig met iDeal, Bancontact of creditcard en je bent klaar. Geen abonnement nodig.
Focus op de essentie
Studenten maken samenvattingen voor studenten. Dat betekent: actuele inhoud waar jij écht wat aan hebt. Geen overbodige details!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper examexpert01. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €2,37. Je zit daarna nergens aan vast.
Is Stuvia te vertrouwen?
4,6 sterren op Google & Trustpilot (+1000 reviews)
Afgelopen 30 dagen zijn er 70113 samenvattingen verkocht
Opgericht in 2010, al 15 jaar dé plek om samenvattingen te kopen
Laatst bekeken door jou
Voordeelbundel ·
Samenvatting module A B C anesthesiemedewerker (Amstel Academie)
Tentamen (uitwerkingen) ·
Practice Exam 3 (Nucleic Acids - Biotechnology) Question and Answers
Tentamen (uitwerkingen) ·
RSK4802 Assignment 2 (COMPLETE ANSWERS) 2 2024 - DUE 28 October 2024
