1. H1: Kansrekenen
Nulhypothese: uitgaan van een parameter 0 komt overeen met een vermoeden van
onschuld; er is niets aan de hand, alle waarnemingen berusten op louter toeval, voorgesteld
door 𝐻0.
Om af te wegen tussen die nulhypothese en andere hypothesen moeten we kwantificeren
hoe “onwaarschijnlijk” die andere hypothese is, we spreken van de kans die beschrijft dat
het resultaat van een steekproef minstens even uitzonderlijk is als het geobserveerd
resultaat. We moeten om deze werkwijze te volgen 3 aspecten nader bepalen:
- Kwantitatieve maat van “ongewoonheid”: we moeten de observaties kunnen
samenvatten in een numerieke waarde die we als groot of klein, gewoon of
ongewoon kunnen zien. Dit is vooral een probleem uit de beschrijvende statistiek.
- Hoe we de toevallige processen van de nulhypothese moeten modelleren:
verschillende kansmodellen, we zullen er doorgaans de cursus verschillende
bespreken.
- Welke rekenregels zijn geldig: in hoofdstuk 1,2,4 zullen we ze afleiden.
1.1 Definities van de begrippen in een kansruimte
Deterministisch experiment ↔ Stochastisch experiment
Klassieke experimenten zoals in de natuurkunde waarbij we vaste wetten kunnen afleiden
die de uitkomst zal voorspellen in verdere situaties.
↔
De uitkomst van het experiment wordt door het toeval bepaald, we kunnen hiervoor
kanswetten opstellen die voortvloeien uit een wiskundige omschrijving. De uitkomst kunnen
we dus niet met zekerheid voorspellen.
We noemen de verzameling van alle mogelijke uitkomsten van een kansexperiment het
universum Ω, bv bij een worp van een dobbelsteen is het universum Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Elke deelverzameling 𝐴 van Ω noemen we een gebeurtenis, zo kunnen we zeggen “hoger
dan 4 op de dobbersteen” dan is 𝐴 = {5, 6}, we kunnen dan zeggen dat het universum de
Ω
verzameling is van alle mogelijke gebeurtenissen: 𝐴 ⊂ Ω of 𝐴 ∈ 2 . Ook Ω zelf is een
gebeurtenis, we noemen deze de zekere gebeurtenis aangezien ze zich 100% zal
voordoen. De onmogelijke gebeurtenis definiëren we als ⊘⊂ Ω en de enkelvoudige
gebeurtenis als #𝐴 = 1.
We bekijken 3 manieren om de kans te definiëren:
- Kans als relatieve frequentie: als we een experiment oneindig keer uitvoeren kijken
we dan hoe vaak het experiment geslaagd is relatief tot het aantal uitvoeringen:
𝑆(𝑛)
𝑃(𝐴) = lim 𝑛
, met 𝑛 het aantal uitvoeringen, 𝑆(𝑛) het aantal geslaagde
𝑛→∞
uitvoeringen (waarbij de gebeurtenis 𝐴 zich heeft voorgedaan) en 𝑃(𝐴) de kans op
het slagen van 𝐴.
, - Definitie van Laplace: we stellen de kans dat de gebeurtenis 𝐴 optreedt voor als:
#𝐴
𝑃(𝐴) = #Ω
, op voorwaarde dat alle gebeurtenissen 𝐴 enkelvoudig zijn en even
waarschijnlijk.
- Axiomatische benadering: Men heeft een wiskundige ruimte vastgesteld
waarbinnen we kunnen kansrekenen. Een kansruimte is een drietal van
Ω
uitkomstenverzameling Ω, gebeurtenisverzameling 𝐵 = 2 en kansfunctie 𝑃 dat
voldoet aan:
1. De kans is altijd groter dan of gelijk aan 0
2. De zekere gebeurtenis gebeurt altijd
3. (a) De kans op de vereniging van twee elkaar uitsluitende gebeurtenissen is de som
van de kansen van de individuele gebeurtenissen ⇒ somregel of additieregel.
3. (b) Als een rij gebeurtenis stilaan een limiet nadert is de bijbehorende kans de
overeenkomstige limietkans (zoals bij functies, als het argument 𝑥 nadert dan nadert
de functiewaarde ook 𝑓(𝑥)) ⇒ continuïteitsregel.
→ De somregel en de continuïteitsregel worden vaak samen genomen tot de regel van
aftelbare additiviteit.
1.2 Eigenschappen van een kansruimte
We bespreken verschillende eigenschappen van een kansruimte:
- De kans op de onmogelijke gebeurtenis is nul: 𝑃(⊘) = 0.
- Complementregel: Het complement van een gebeurtenis 𝐴: 𝐴 ∪ 𝐴' = Ω met:
𝐴 ∩ 𝐴' =⊘ ⇒ ∀𝐴 ⊂ Ω: 𝑃(𝐴') = 1 − 𝑃(𝐴) (Gevolg: ∀𝐴 ⊂ Ω: 0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1, logisch,
zie eerste axioma).
- Verschilregel: ∀𝐴, 𝐵 ⊂ Ω: 𝑃(𝐴\𝐵) = 𝑃(𝐴) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵).
- Wet van Boole (algemenere somregel): deze regel is in feite de somregel voor
gebeurtenissen die niet elkaar uitsluiten:
∀𝐴, 𝐵 ⊂ Ω: 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵), we zien bijgevolg ook dat:
∀𝐴, 𝐵 ⊂ Ω: 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) ≤ 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵), dit wordt weleens de ongelijkheid van Boole
genoemd.
- Eindige en aftelbare somregel: op voorwaarde dat alle 𝐴𝑖’s onderling disjunct zijn
𝑛/∞ 𝑛/∞
kunne we stellen dat: 𝑃( ∑ 𝐴𝑖) = ∑ 𝑃(𝐴𝑖), deze regel is erg krachtig en zou de
𝑖=1 𝑖=1
derde axioma kunnen vervangen (𝑛/∞ betekent 𝑛 of ∞, we kunnen de formule
namelijk eindig en oneindig gebruiken).
, - Uitbreiding wet van Boole: ik ga voor de eenvoud deze uitbreiding illustreren door
𝑛
een voorbeeld in plaats van theorie. 𝑃( ⋃ 𝐴𝑖), in de wet van Boole hierboven zouden
𝑖=1
2
we 𝐵 kunnen vervangen door 𝐴2 dan zouden we kunnen schrijven dat: 𝑃( ⋃ 𝐴𝑖), dit is
𝑖=1
dat gelijk aan wat we hierboven reeds definieerden. Nu als we bv 𝑛 = 3 nemen (met
dan 𝐴2 = 𝐵 en 𝐴3 = 𝐶 voor de eenvoud):
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) + 𝑃(𝐶) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐶) − 𝑃(𝐵 ∩ 𝐶)
− 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶). Ook hier kunnen we de ongelijkheid van Boole stellen:
𝑛 𝑛
𝑃( ⋃ 𝐴𝑖) ≤ ∑ 𝑃(𝐴𝑖).
𝑖=1 𝑖=1
- Partiële ordening: Als 𝐴 een deelverzameling is van 𝐵 dan is de kans op 𝐴 kleiner
dan of gelijk aan die van 𝐵: ∀𝐴, 𝐵 ⊂ Ω: 𝐴 ⊂ 𝐵 ⇒ 𝑃(𝐴) ≤ 𝑃(𝐵).
- Opbouw van eindige kansruimten: we zien dat bij eindige uitkomstenverzameling
Ω, met #Ω = 𝑛, dat de kans van een gebeurtenis volledig afhangt van de
#𝐴
enkelvoudige gebeurtenissen waaruit die oplossing gebouwd is: 𝑃(𝐴) = ∑ 𝑃(ω𝑖). De
𝑖=1
axioma’s zijn hier dan niet nodig. Opmerking: toch zijn axioma’s soms nodig.
Bijvoorbeeld, een dartsspel. Het is onmogelijk alle mogelijke uitkomsten (posities van
het pijltje op het bord) individueel te beschrijven en er een kans aan toe te kennen
(vb van een niet-eindige kansruimte).
- Opmerkingen: soms is het handig om algemene stellingen vanuit de
verzamelingenleer te gebruiken bv de wetten van Morgan: (𝐴 ∩ 𝐵)' = 𝐴' ∪ 𝐵' en
(𝐴 ∪ 𝐵)' = 𝐴' ∩ 𝐵'. Zo kunnen we de ongelijkheid van Boole herschrijven tot de
∞ ∞
ongelijkheid van Bonferroni: 𝑃( ⋂ 𝐴𝑖) ≤ 1 − ∑ 𝑃(𝐴'𝑖).
𝑖=1 𝑖=1
1.3 Uniforme kansruimten
Een kansfunctie is op een universum uniform indien de kansen op alle enkelvoudige
gebeurtenissen gelijk zijn, dus als: ∀𝐴, 𝐵 ⊂ Ω: #𝐴 = 1 = #𝐵 ⇒ 𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐵).
Eigenschappen:
1
- Als #𝐴 = 1, dan is 𝑃(𝐴) = #Ω
.
#𝐴
- Kansregel van Laplace: voor uniforme verdelingen geldt: ∀𝐴 ⊂ Ω: 𝑃(𝐴) = #Ω
.
Productregel voor geordende 𝑘-tallen: als #Ω te groot is om alle mogelijke mogelijkheden op
te noemen hebben we een formule om de hoeveelheid te berekenen: het aantal elementen
𝑘
in een productverzameling: #(Ω1 × Ω2 × Ω3) = #Ω1. #Ω2. #Ω3 ⇒ algemener: #Ω = ∏ #Ω𝑖 (bv
𝑖=1
Schubert: 15 strijkkwartetten, Mozart: 27 concerto's, Beethoven: 9 symfonieën. Als een
klassieke radiozender eerst Schubert wil laten horen, gevolgd door Beethoven en daarna
Mozart, op hoeveel manieren kunnen zij dat doen? Er zijn 15. 27. 9 mogelijke manieren).
, Permutatie: Ω bevat 𝑛 elementen en 𝐴 ook, we willen weten op hoeveel manieren we de
elementen uit 𝐴 kunnen rangschikken (elke mogelijke volgorde behoort tot Ω), we zoeken
dus #Ω. We zien dan dat #Ω = 𝑛!.
Variatie: we willen een combinatie maken van 𝑘(≤ 𝑛) elementen van de 𝑛 “opties”. Elke
optie mag hier slechts één keer voorkomen (dus zonder teruglegging). We vinden dan dat:
𝑛!
𝑉𝑘,𝑛 = (𝑛−𝑘)!
.
Herhalingsvariatie: een variatie met teruglegging, wat betekent dat één optie meerdere
𝑘
keren mag voorkomen. We vinden dat 𝑛 herhalingsvariaties mogelijk zijn van 𝑘 elementen
uit een groep van 𝑛, hierbij kan 𝑘 groter zijn dan 𝑛 (bv getallen van meer dan 11 cijfers
waarvan de cijfers tussen 0 en 9 liggen).
Combinatie: de volgorde van de selectie is niet van belang (bv wie speelt in ploeg 𝐴 of in
ploeg 𝐵), we spreken van een ongeordende deelverzameling van grootte 𝑘. We stellen
𝑛! 𝑛
𝐶𝑛,𝑘 = 𝑘!(𝑛−𝑘)!
(= ( 𝑘 )) (laatste is geen breuk, kon niet anders noteren, gewoon boven
elkaar).
Zie enkele voorbeelden p 17-18.
1.4 Voorwaardelijke kans
Voorwaardelijke kans: we bekijken de kans dat 𝐵 gebeurt op voorwaarde dat 𝐴 ook gebeurt
𝑃(𝐴∩𝐵)
(of gebeurd is): 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴). 𝑃(𝐵|𝐴) ⇒𝑃(𝐵|𝐴) = 𝑃𝐴(𝐵) = 𝑃(𝐴)
, met 𝑃(𝐵|𝐴) de kans
op 𝐵 als we weten dat 𝐴 gebeurd is.
Ontbindingsregel - wet van totale kans: een alternatieve manier om de kans op 𝐴 te
berekenen, we kijken naar alle mogelijke gevallen waarin 𝐴 voorkomt:
𝑛
𝑃(𝐴) = ∑ 𝑃(𝐵𝑖)𝑃(𝐴|𝐵𝑖).
𝑖=1
Regel van Bayes: een eenvoudigere manier om voorwaardelijke kansen te berekenen dan
𝑃(𝑇|𝐴𝑖)𝑃(𝐴𝑖)
met de definitie: 𝑃(𝐴𝑖|𝑇) = 𝑛 . We noemen de voorwaardelijke kans 𝑃(𝐴|𝑇) vaak
∑ 𝑃(𝑇|𝐴𝑗)𝑃(𝐴𝑗)
𝑗=𝑖
de a posteriori kans, aangezien we kijken wat de kans is dat 𝐴 zich effectief voordoet na
een test 𝑇 (bv de kans dat iemand die positief test ook werkelijk ziek is). We stellen ook dat
𝑛
∑ 𝑃(𝐴𝑖|𝑇) = 1, bekijk voorbeeld onderaan pagina 24!!!
𝑖=1
Kettingregel: We kunnen nu
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) = 𝑃((𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶)) = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵). 𝑃(𝐶|(𝐴 ∩ 𝐵)) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵|𝐴)𝑃(𝐶|(𝐴 ∩ 𝐵)),
𝑛 𝑛 𝑖−1
oftwel voor 𝑛-gebeurtenissen: 𝑃( ⋂ 𝐴𝑖) = ∏ 𝑃(𝐴𝑖| ⋂ 𝐴𝑗).
𝑖=1 𝑖=1 𝑗=1
