Samenvatting

Samenvatting Differentiaalvergelijkingen (volledig + stappenplannen voor de oefeningen)

0 keer verkocht

Instelling
Universiteit Gent (UGent)

Samenvatting Differentiaalvergelijkingen 2de Bachelor Bio-Ingenieurswetenschappen UGent. Deze samenvatting bevat alle info van hfst 1-8 en is opgesteld als een soort handleiding om alle oefeningen en principes te begrijpen. De oplossingmethodes zijn telkens in blauw aangeduid en geven de methode we...

[Meer zien]

Voorbeeld 10 van de 33 pagina's

Bekijk voorbeeld

Geupload op 23 december 2024
Aantal pagina's 33
Geschreven in 2024/2025
Type Samenvatting

bio ingenieur
2de bachelor
stappenplannen
open boek
prof michiel stock
allesomvattend
ugent
differentiaalvergelijkingen
samenvatting

Volgen

GregTheBioEngineer Lid sinds 1 jaar 57 documenten verkocht

Hoofdstuk 1: inleiding
Zoeken naar functies als oplossing bij een DV (ipv getal/vector) = vergelijking waar minstens 1 afgeleide in voorkomt
- Geometrisch: bv functie waar de afgeleide voldoet aan…
- Dynamisch: bv zoek een functie waarvan de verandering beschreven wordt als…

Voorbeeld DV: F = ma → F = my” met F(t, y(t), y’(t)) → de plaats en snelheid
- t is de onafhankelijke variabele
- y is de afhankelijke variabele
Orde van een DV bepaald door hoogste graad van afleiding: y” = 2de orde
#begincondities/beginvoorwaarden = orde v.d. vergelijking
➔ Voor y”(t) = -g een 2de orde DV heb je:
o y’(t) = -gt + C1
o y(t) = -½gt² + C1t + C2
o Met C1 = y’(0) = v0 en C2 = y(0) = y0 de beginvoorwaarden

𝒅𝑸
= −𝒌𝑸 = veelvookromende DV van 1ste orde die niet met integratie op te lossen is
𝒅𝒕

𝑸(𝒕) = 𝑪𝒆−𝒌𝒕 = techniek om dit soort vetgelijking snel op te lossen

C hangt af van de beginvoorwaarde Q(0) = Q0 → 𝑸(𝒕) = 𝑸𝟎 𝒆−𝒌𝒕

Voorgaande zodanig belangrijk dat we het algemeen schrijven
𝒚′ = 𝝀𝒚

𝑶𝒑𝒍𝒐𝒔𝒔𝒊𝒏𝒈: 𝒚(𝒕) = 𝑪𝒆𝝀𝒕

N-de orde differentiaal
▪ y(n) = f(t, y, y’, y”, …., yn-1))
▪ Oplossing = y(t) die aan de DV voldoet over een gegeven t-interval
▪ Meest algemene vorm: G(t, y, y’, y”, …., yn)) = 0 (alles nr links geschreven)
t²sin(y”) + hln(y”) = 1

,Algemene oplossing: bevat arbitraire constanten zodat alle oplossingen bekomen kunnen worden

Richtingsveld = geeft beeld van wat de DV doet voor 1ste orde, hoe de DV zich gedraagt

Kan ook meerdere onafhankelijke variabelen → partiële
differentiaalvergelijkingen

Autonome differentiaalvergelijkingen  ordinaire (met 1 onafhankelijke variabele t)
▪ 1ste orde: y’ = f(y) → y’ is een functie die niet van de tijd afhangt zoals ,f(t,y)
▪ Helling voor alle lijnsegmenten met zelfde y = gelijk
▪ Oplossing: y(t) = 𝜷 met 𝛽 het nulpunt van f(y) = 0
▪ Evenwichtsoplossing voor autonome DV
o Waar y = 𝜷 geldt dat f(𝜷) = 0 met 𝛽 een evenwichtspunt
o Waar je ook staat, als je met de tijd vordert (nr links bewegen
want is tijds onafhankelijk) zal je convergeren naar die
Waarde, hebt in dit voorbeeld er 2
▪ Y = 0 = stabiel → als je erop loopt blijf je erop
met kleinste afwijking ben je weg nr 2
▪ Y = 2 = onstabiel → convergeert hiernaar
▪ Y = 0 en 2 zijn hier de oplossingsvergelijkingen
o Dus autonome DV van 1ste orde heeft als vorm y’ = f(y) bv y² - 4y + 3
o Dan zoek je de nulpunten van f(y) → y(t) = 1 en y(t) = 3 → evenwichtspunten
o !!evenwichtspunten kan ook voor y’ = f(t,y) dus niet alleen voor autonome DV → punten zoeken waarvoor
y’ = 0 of dus f(t,y) = 0
▪ Stel y’ = -4(t - 2)(y² - 9)(y – 2t)
▪ F(t,y) = 0 voor y = +- 3 !!!!! niet y = 2t of t = 2 want t = tijd

Orde  Graad
▪ Orde = hoeveelste afgeleide staat erin7
▪ Graad = hoogste macht
Bv y'' + (y')3 = 5
 Orde = 2
 Graad = 3

Trillingen → enkel bij 2de orde (y”)

Beginvoorwaarden nodig om van algemene oplossing voer te gaan naar een unieke oplossing voor het beginwaardeprobleem
Van y” → y(t) voor oplossing twee keer integreren → 2 constanten → 2 beginvoorwaarden?

t is eigenlijk x maar noemen het t omdat we met tijd werken

,Hoofdstuk 2: 1ste orde differentiaalvergelijkingen P(t) = passief

G(t) = besturingsfunctie, actief
1ste orde DV: y’ + p(t)y = g(t)
Denk aan koffie vb
▪ Homogeen: g(t) = 0
▪ Niet homogeen: g(t) niet altijd 0
▪ Altijd maken dat y’ alleen staat → delen door shit bv
▪ Niet-lineair als niet te herleiden tot deze vorm

Unieke oplossing bestaat als de functie p(t) en g(t) in dat open interval continu zijn
➔ Discontinuïteiten bepalen voor p(t) en g(t) en de verschillende intervallen voor t opstellen, in die intervallen heb je
ene unieke oplossing + moet dan interval pakken waar de beginvoorwaarde bv t = 3 inzit

Oplossen van homogene 1ste orde DV:
- Vorm y’ + p(t)y = 0
- y’ = -p(t)y = gekende vorm
- Dit als je redeneert hoe je de vorm
van y’ krijgt → door eP(t) af te leiden
met P’(t) = p(t), maar er staat een -
dus nog – bij schrijven
- Oplossing
- Moet maal constante want als y
een oplossing is zal yc ook een zijn
- Vb 2 p 17, vb 3 p 18!! Slides
- Met beginvoorwaarde kan je C bepalen
om zo een unieke oplossing te bekomen

I. Dus altijd eerst intervallen opstellen, dan interval pakken met beginvoorwaarde in (t 0)
II. Primitieve zoeken en dan in formule
III. Hierna beginvoorwaarde invullen om van algemene oplossing met C → unieke oplossing

Integrerende factoren
▪ Om niet lineaire 1ste orde DV op te lossen
o Homogene DV:
 Integrerende factor:
 y' + p(t)y = 0 met factor vermenigvuldigen en uitwerken + beide leden integreren en naar y
schrijven
 Algemene oplossing:

o Niet-homogene DV:
 Integrerende factor:
 y' + p(t)y = g(t) met factor vermenigvuldigen en uitwerken + beide leden integreren en naar y
schrijven
 Algemene oplossing:
 !! = de particuliere oplossing van niet-homogene DV + algemene van homogene
 Als p en g constant zijn:

,Werkwijze voor niet lineaire op te lossen:
I. p(t) identificeren na y’ af te zonderen en P(t) zoeken
II. Integrerende factor opstellen
III. Beide leden maal de factor doen en zien als afgeleide van een product f’g + fg’ = (fg)’
IV. Dit integreren en oplossen naar y
V. Beginwaarde invullen om unieke oplossing te bekomen

Principe van vraagstukken: verandering = aanvoer – afvoer
→ zeker slides bekijken
 Mengen: zoutconcentratie
 Afkoelen
 Populatiedynamica
 Halfwaardetijd

1ste orde niet lineaire differentiaalvergelijkingen
Bestaan en uniciteit

Dus zo proberen schrijven om links en rechts telkens
een andere variabele te krijgen, dan integreren
Methode: scheiden van veranderlijken/variabelen
Te herkennen als vorm 𝒏(𝒚)𝒚’ + 𝒎(𝒕) = 𝟎 = scheidbare DV
▪ 2de term bevat enkel een onafhankelijke veranderlijke t = herschrijven om te scheiden
▪

▪ Je hebt ook niet scheidbare bv 𝑦’ = 2𝑡𝑦² + 1 waarop je de methode niet kan toepassen

I. Eerst kijken of het een scheidbare DV is, dan links ene prameter, rechts andere
II. Kijken of f(t,y) en de partieel afgeleide naar y van f(t,y) continu zijn → stelling 2.2
III. Scheidbare vorm opschrijven
IV. Beide leden integreren naar dt en 0 → C
V. Uitwerken naar y(t) en beginwaarde invullen om C te vinden en zo een unieke oplossing
VI. Komt dus neer op N(y) + M(t) = C (primitieven) dus N naar y integreren en M naar t
VII. Indien te moeilijk voor primitieven gewoon y’ als dy/dx schrijven, dx langs rechts zetten met alle x’en aan die kant en
alle y’s links, dan integreren en herschrijven naar y =

,Exacte of totale differentiaalvergelijkingen H(t,y)

Als een oplossing H(t,y) = C bestaat → H is een exacte DV
𝐌(𝐭, 𝐲) + 𝐍(𝐭, 𝐲)𝐲’ = 𝟎 is exact  voor alle (t,y) in IR
▪ Bv in 𝑦 + 𝑡 + 𝑡𝑦’ = 0 exacte DV herkennen
o M(t,y) = y + t
o N(t,y) = t
▪ Partieel afgeleide van M nr y = 1 en van N nr t = 1→ aan voorwaarde voldaan
Een scheidbare DV n(y)y’ + m(t) is exact aangezien
!!!opgelet, bij exacte zijn m en n in functie van (t,y)

Nagaan of functie exact is en het beginwaardeprobleem oplossen via H(t,y):
 In algemene vorm schrijven
 Dan kijken of of in de vorm van scheidbare DV → indien exact verder gaan
 Om H(t,y) nu te vinden vertrekken van of en integreren naar respectievelijk y of t
 Dan bekom je H(t,y) uit met een constante g(y) of g(t) afhankelijk van hoe je geïntegreerd hebt
 Nu moet je g(y) of g(t) vinden door vorige uitkomst partieel af te leiden naar de andere variabele en gelijkstellen
aan of om zo g(y) of g(t) te bepalen door uit te werken en erna nog eens te integreren zo
bekom je bv g(y) = y² + C1
Kies C1 = 0 om een impliciete uitdrukking te bekomen en je hebt H(t,y) = ____ die je gelijk kan stellen aan C en vul
beginvoorwaarde in om C te bepalen en los dan op naar y voor een expliciete oplossing
a. Voorbeeld 𝑠𝑖𝑛𝑦 + (2𝑦 + 𝑡𝑐𝑜𝑠)𝑦’ = 0
i. = 𝑠𝑖𝑛𝑦

ii. = 2𝑦 + 𝑡𝑐𝑜𝑠𝑦 → primitieve naar y: 𝐻(𝑡, 𝑦) = 𝑦² + 𝑡𝑠𝑖𝑛𝑦 + 𝑔(𝑡)
𝑑𝑔 𝑑𝑔
dan partiele afgeleide naar t geeft 𝑠𝑖𝑛𝑦 + 𝑑𝑡 = M(t,y) dus 𝑑𝑡 = 0 of g(t) = C1 na nog eens te
integreren
iii. 𝐻(𝑡, 𝑦) = 𝑦 2 + 𝑡𝑠𝑖𝑛𝑦 + 𝐶1 = 𝐶 en kies C1 = 0, nu met beginvoorwaarde C bepalen en
herschrijven naar y voor de oplossing
iv. Zie p48
v. In vele gevallen kan t door x zijn vervangen in het vraagstuk

,Logistisch populatiemodel

▪ P(t) > Pe → dP/dt < 0 → populatie neemt af
▪ P(t) < Pe → dP/dt > 0 → populatie stijgt
Oplossen door methode van scheiden van variabelen: 𝒏(𝒚)𝒚’ + 𝒎(𝒕) = 𝟎

Inzichten
▪ Als stelling 2.2 juist is → unieke oplossing gegarandeerd, indien niet weten we niets, kan nog steeds uniek zijn

▪ Autonome DV ➔ oplossen adhv scheiden van veranderlijken
▪ Niet-lineaire DV te herkennen bv aan y² of breuknotatie
▪ De beginvoorwaarden bepalen het aantal oplossingen → bv oef 2.9
▪ Indien je M(t,y) en N(t,y) moet bepalen, zorg ervoor dat je geen breuken krijgt om zo makkelijker de partiele te
kunnen berekenen en aantonen of het een exacte DV is
▪ De niet-homogene oplossing y(t) = parcticuliere oplossing + homogene oplossing

Hoofdstuk 3: 2de orde en hogere orde differentiaalvergelijkingen
2de orde: 𝑦” + 𝑝(𝑡)𝑦’ + 𝑞(𝑡)𝑦 = 𝑔(𝑡)
▪ Homogeen als g(t) = 0
▪ Nu 2 beginwaarden (analoog voor plaatsfunctie x(t) met x0 en v0)
▪ f(t, y, y’)
2 gekoppelde 1ste orde DV → gecombineerd tot 2de orde (analoog met integralen)

Dobberen van drijvend object →unieke oplossing:
2de orde lineaire DV oplossen

, ▪ Homogeen
o Karakteristieke vergelijking bepalen = 𝒂𝟏𝝀𝟐 + 𝒂𝟐𝝀 + 𝒂𝟑 = 0 met de a’s de coëfficiënten van de DV
o Deze oplossen en zo heb je je antwoorden Voor hoogste orde-term altijd zorgen
o y1 = C1*𝒆𝝀𝟏 𝒕 en y2 = C2*𝒆𝝀𝟐 𝒕 dat er 1 staat = standaardvorm
o Indien de 𝜆 complex zijn krijg je de vorm … → Euler + altijd 1st discontinuïteiten bepalen
▪ 𝜆1,2 van de vorm 𝛼 ± i𝛽
▪ 𝑦1(𝑡) = 𝑒 𝛼𝑡 (cos(𝛽𝑡) + 𝑖 sin(𝛽𝑡))
▪ 𝑦2(𝑡) = 𝑒 𝛼𝑡 (cos(𝛽𝑡) − 𝑖 sin(𝛽𝑡))
▪ 𝒚(𝒕) = 𝒆𝜶𝒕 (𝐀𝐜𝐨𝐬(𝜷𝒕) + 𝑩𝒔𝒊𝒏(𝜷𝒕)) (samenpakken van y1 en y2: i weg)
▪ Twee complexe wortels van de karakteristieke vergelijking resulteren altijd in
een fundamenteel stel oplossingen, en de Wronskiaan is nul aangezien
o y(t) = C1y1 + C2y2
o Deze functie nog eens afleiden naar y’(t) want voor 2de orde DV heb je een beginvoorwaarde voor y0 en y’0
(analoog met afstandsfunctie) om C1 en C2 te bepalen
▪ Dan beginvoorwaarden invullen voor unieke oplossing en het stelsel oplossen om C 1 en C2 te
bepalen
o Moet wel nog checken of y1(t) + y2(t) een fundamenteel stel oplossingen is = beteketn dat y(t) alle
oplossingen bevat
▪ Adhv Wronskiaan W(t)  W(t) ≠ 0 → lineair onafhankelijk


 Stelling van Abel: W(t) is ofwel 0, ofwel nooit 0 ∀ 𝑡 ∈ ]𝑎, 𝑏[
o Gevolg: je kan W(t0) in 1 punt berekenen in ]a,b[ om te belsissen of
{ y1 , y2} een fundamenteel stel zijn
o Probleem: een 𝜆 met multipliciteit 2
▪ Methode van de ordereductie → y2(t) = v(t)*y1(t)
▪ Hebt dus tweemaal zelfde 𝜆
▪ y1(t) = 𝑒 𝜆𝑡 → y2(t) = t𝑒 𝜆𝑡
▪ y(t) = C1*𝑒 𝜆𝑡 + C2*𝑡𝑒 𝜆𝑡 = (C1 + 𝑡C2)𝑒 𝜆𝑡
▪ De t wordt ingevoegd om toch nog een fundamenteel stel te bekomen
▪ Dus bij dubbele oplossing twee nog 1 keer maal t of x doen, indien multipliciteit 3 ook nog eens
maal t² of x² bij hogere ordes etc…

▪ Niet-homogeen
o Net zoals bij 1ste orde vergelijkingen is de algemene oplossing y(t) = yhomogeen + yparticulier
o De homogene bepaal je door de term rechts = 0
o De particuliere bepaal je door een probeerfunctie als je g(t) term te schrijven
= methode van onbepaalde coëfficiënten: zie verder, variatie van parameters vaak beter
▪ Voor 26sin(3t) pak je bv 𝑦𝑝 (𝑡) = 𝑎𝑠𝑖𝑛(3𝑡) + 𝑏𝑐𝑜𝑠(3𝑡)
▪ Deze functie afleiden naar 𝑦′𝑝 (𝑡) en 𝑦"𝑝 (𝑡) en invullen in de 2de orde DV
▪ Dan links en rechts vergelijken met een stelsel om a en b te bepalen en terug in te vullen in
𝑦𝑝 (𝑡), dan is 𝑦(𝑡) = 𝑦𝑝 (𝑡) + 𝑦ℎ𝑜𝑚𝑜𝑔𝑒𝑒𝑛 (𝑡)

Superpositieprincipe
➔ Zij y1 en y2 twee oplossingen van de homogene DV 𝑦" + 𝑝(𝑡)𝑦′ + 𝑞(𝑡)𝑦 = 0, dan is
𝒚(𝒕) = 𝒄𝟏𝒚𝟏 + 𝒄𝟐𝒚𝟐
➔ Geldt niet voor niet-homogene lineaire DV en niet lineaire DV
➔ Dit principe gebruiken om voor moeilijke niet-homogene 2de orde DV vergelijkingen → oef 3.7

, o “Suggereer een particuliere oplossing voor de DV”
▪ Stel eerst de karakteristieke vergelijking van de homogene variant op van de DV met g(t) dus = 0
→ je krijgt yc(t)
▪ Identificeer de g(t) term rechts
▪ Bekijk term per term en doe volgens methode van de onbepaalde coëfficiënten

▪ Probeer vorm te herschrijven zodat het in de tabel past: 3t = 𝑒 𝑡𝑙𝑛3
▪ yp(t) = alle termen herschreven met vorm rechts uit tabel
▪ !!MAAR indien een term overlap vertoond met yc(t) = de oplossing van de homogene variant van de
2de orde DV met g(t) = 0 moet je nog maal t doen om zo lineair onafhankelijke oplossingen te
waarborgen
▪ Als er na vermenigvuldigen met t weer overlap is maal t² doen
▪ Nog handige truc uit formule van Euler afgeleidt:
▪ E
▪ E
▪ Hiermee kan je sin𝛽t bv herschrijven in g(t) en krijg iets van de vomr A𝑒 𝛽𝑡 + B𝑒 −𝛽𝑡 = Asin2t +
Bcos2t → p103 vb 3 + p106 vb 6

Amplitude en fase
▪ Algemene oplossing =
▪ Met amplitude = 𝑅𝑒 𝛼𝑡
▪ Fasehoek, faseverschuiving, fase = 𝛿

,Algemene oplossing van lineaire niet-homogene DV (soort van herhaling + nog wat verdieping)
= algemene oplossing homogene DV (yc) + particuliere oplossing niet-homogene DV (yp)
en c1 en c2 bepaal je door de beginwaarden uit de gegeven niet-homogene DV

Methode van de variatie van de parameters
▪ Methode van de onbepaalde coëfficiënten heeft tekort als g(t) een ln, t in de noemer, vierkantwortel,… heeft dan
schakelen we over naar deze methode
▪ Beschouw y1 en y2 als een fundamentele set met yc(t) = c1y1(t) + c2y2(t)
▪ Nu vervangen we c1 en c2 respectievelijk door de functies u1(t) en u2(t) en zien de vorm van de particuliere oplossing
als volgt: yp(t) = u1(t)y1(t) + u2(t) y2(t)
▪ Bepaal y’p en y”p en dan substitueren en na herschrijvingen en door de aanname dat y1 en y2 een fundamentele set
zijn kom je het volgende uit
▪ Dit is een theoretische afleiding hierboven
met als resultaat dat
▪ Concreet in oefening
I. Bepaal de complementaire oplossing (homogene oplossing) → bepaling y1 en y2
II. Bepaal de afgeleide van die twee en vul volgende in:
III. Bepaal W(t) en vul g(t) in
IV. Nu kan je u’1(t) en u’2(t) bepalen en integreren
V. Laat de constanten achterwege en vul in yp(t) vergelijking in
VI. Indien begincondities gegeven nog y’p bepalen om constanten te bepalen en zo een unieke
oplossing te bekomen
Bevindingen
▪ Voor hoogste orde term altijd 1
▪ Stel y” + 4y = 0
o Karakteristieke vergelijking = 𝜆² + 4 !!!niet 4𝜆 want dat zou voor een y’-term zijn
▪ Oplossing van homogene vergelijk: yC = ___ = complementaire oplossing
▪ Karakteristieke vergelijking P(𝜆) = ____
▪ Bij een niet-homogene lineaire vergelijking moet je dus de methode van de onbepaalde coëfficiënten toepassen, 1ste de
homogene oplossing bepalen (RL = 0 stellen) om overlap te zien in de particulioere oplossing dan uiteindelijk en maal t, t², …
te doen
▪ Je kan altijd checken of de particuliere oplossing van de niet-homogene DV klopt door yp’ en yp” te bepalen en dit in de 2de orde
DV in te vullen, je moet je RL uitkomen = g(t)
▪ Voor methode van de onbepaalde coëfficiënten: kan enkel gebruiken als in het rechterlid iets staat met een veelterm, een
exponentiele en iets staat met sin en cos, bij een ln, t in de noemer, vierkantswortel bv niet
▪ Orde reductie gebruiken als je een van de twee van het fundamentele stel te kort hebt, je kan met de som en product regels
werken met lambda om het tweede nulpunt te bepalen  de DV constante coëfficiënten heeft dus bv niet 𝑦” + 𝑡²𝑦’ +
4𝑡 = 0
▪ Standaardvorm van DV = coëfficiënt 1 voor hoogste orde term
▪ Voor de karakteristieke vergelijking kijken naar hoeveel accenten er staan voor welke graad lambda moet hebben om zo geen
lambda aan y te geven ipv y’
▪ Algemene oplossing = lineaire combo van een lineair onafhankelijke/fundamentele set zodat het alle oplossingen in ]a,b[
omvat

, Hogere orde lineaire homogene DV
n-begincondities voor n-orde (2de orde was 2 condities met 3 termen in de DV)

Als iedere oplossing y(t) over ]a,b[ een lineaire combinatie is van y1(t), y2(t), y3(t),…, yn(t), dan vormen ze en fundamenteel stel
oplossingen en dan is volgende oplossing de algemene oplossing

Als de wronskiaan = determinant, n-lineair onafhankelijke oplossingen bevat zal de determinant W(t) ≠ 0 zodat het
fundamentele stel een algemene oplossing vormt → algemene oplossing
▪ Probleem als W(t) = 0 → nieuwe methode proberen, fout zoeken want dan heb je een stel lineair afhankelijke
oplossingen en kan je de ene als combo van de andere schrijven
▪ Ook stelling van Abel geldt hier

Niet-singulier → determinant ≠ 0

Hogere orde homogene DV met constante coëfficiënten
Je kan opnieuw een karakteristieke vergelijking opstellen, zorg dat de DV in de standaardvorm staat
▪ n wortels voor een n-de orde DV (met y(n))
▪ Reële wortels: 𝒆𝝀𝒕 -vorm en t bijzetten bij multipliciteit
▪ Complexe wortels: 𝒆𝜶𝒕 𝐜𝐨𝐬(𝜷𝒕) 𝒆𝒏 𝒆𝜶𝒕 𝒔𝒊𝒏(𝜷𝒕)) voor 𝛼 ± 𝑖𝛽, ook maal t bij multipliciteit
▪ Zo y1, y2, …, yn-1 bepalen en dan allemaal n-1 keer afleiden om in de Wronskiaan te steken en kijken of je een
onafhankelijke set oplossingen hebt om dan de algemene oplossing met c’s op te stellen

Hogere orde lineaire niet-homogene DV
▪ Algemene oplossing = homogene + particuliere
▪ Methode van onbepaalde coëfficiënten en variatie van parameters toepassen op g(t) voor yP

Dit zijn jouw voordelen als je samenvattingen koopt bij Stuvia:

Bewezen kwaliteit door reviews

Studenten hebben al meer dan 850.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet jij zeker dat je de beste keuze maakt!

In een paar klikken geregeld

Geen gedoe — betaal gewoon eenmalig met iDeal, Bancontact of creditcard en je bent klaar. Geen abonnement nodig.

Focus op de essentie

Studenten maken samenvattingen voor studenten. Dat betekent: actuele inhoud waar jij écht wat aan hebt. Geen overbodige details!

Veelgestelde vragen

Wat krijg ik als ik dit document koop?

Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.

Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?

Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.

Van wie koop ik deze samenvatting?

Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper GregTheBioEngineer. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.

Zit ik meteen vast aan een abonnement?

Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €7,46. Je zit daarna nergens aan vast.

Is Stuvia te vertrouwen?

4,6 sterren op Google & Trustpilot (+1000 reviews)

Afgelopen 30 dagen zijn er 64257 samenvattingen verkocht

Opgericht in 2010, al 15 jaar dé plek om samenvattingen te kopen

Start met verkopen

Samenvatting

Samenvatting Differentiaalvergelijkingen (volledig + stappenplannen voor de oefeningen)

Document informatie

Onderwerpen

Geschreven voor

Verkoper

Ontvangen beoordelingen

Voorbeeld van de inhoud