100% tevredenheidsgarantie Direct beschikbaar na betaling Zowel online als in PDF Je zit nergens aan vast
logo-home
Samenvatting Statistiek voor Psychologen, deel 2 €2,99   In winkelwagen

Samenvatting

Samenvatting Statistiek voor Psychologen, deel 2

1 beoordeling
 106 keer bekeken  2 keer verkocht

Statistiek voor psychologen deel 2 uitgeschreven in een overzichtelijk bestand vol uitleg tot en met het voorlaatste deel "parameterschatting" ("hypothesetoetsing" niet samengevat).

Voorbeeld 4 van de 13  pagina's

  • 3 oktober 2020
  • 13
  • 2019/2020
  • Samenvatting
Alle documenten voor dit vak (2)

1  beoordeling

review-writer-avatar

Door: buysheike • 3 jaar geleden

avatar-seller
evadecorte
STATISTIEK VOOR PSYCHOLOGEN DEEL 2
Inductieve statistiek: inferenties maken vanuit de gegevens (de steekproef) over eigenschappen van een populatie.
Het inductieve statistische proces bestaat uit de volgende 5 stappen:
1) STATISTISCH MODEL KIEZEN
2) KEUZE VAN (EEN) STATISTIEK(EN)
3) BEPALEN VD STEEKPROEVENVERDELING VD STATISTIEK(EN)
4) PARAMETERSCHATTING
of
5) HYPOTHESETOETSING


1) STATISTISCH MODEL KIEZEN
Eenvoudige modellen:
• Voor 1 discrete variabele:
BERNOULLI model
(Bernoulli-)toevalsvariabele X met twee mogelijke uitkomsten:
X (succes) = 1
X (mislukking) = 0

X ~ Bern (θ) (0 < θ < 1) θ = P(succes) in 1 TE

πx (1) = P(X=1) = θ ja / succes
πx (0) = P(X=0) =1– θ nee / mislukking
µx = θ en σx² = θ(1– θ) = θ – θ²
Bij n herhalingen van een Bernoulli-experiment: Xi iid (independent and identically distributed)
Bij de veronderstelling ∀ Xi’s ~ Bern(θ) geldt:
(1) eenzelfde waarde voor θ (stationariteit) → θ = P(succes) is constant
(2) en alle Xi’s zijn mutueel statistisch onafhankelijk

BINOMIAAL model
Toevalsvariabele Y:
# successen
in n beurten (Bern-exp)
discrete variabele

Y ~ Bin ( n , θ) (n ∈ N, n ≥ 1; θ ∈ ]0,1[ ) n = aantal beurten θ = P(succes) in 1 TE n ≥ 1

πy (k) = P(Y=k) = n! / [ k! (n-k)! ] θk (1– θ)n–k
µy = nθ en σy² = nθ(1– θ)
Bern(θ) = Bin( 1, θ)

GEOMETRISCH model
Toevalsvariabele Z:
wachttijd tot (het eerste) succes
in n beurten/dagen (uitgedrukt)
discrete variabele

Z ~ Geo (θ) ( 0 < θ < 1) θ = P(succes) per beurt/dag

πz (k) = P(Z=k) = (1–θ)k–1 θ met k = 1,2,3,… k ≥ 1

1 1−𝜃
µz = en σz² =
𝜃 𝜃2
Indien # beurten t.e.m. rde (bv. 2de, 3de, 4de,…) succes = Y dan:
𝑟
Y = X1 + … + Xr met Xi ~ Geo(θ) , µy = en σy² = r σx²
𝜃
POISSON model (Siméon Denis Poisson)
Toevalsvariabele X:
# successen
in een continu medium (bv. tijdspanne, oppervlakte,…)
discrete variabele + als benadering van Bin( n, θ ) wanneer n > 30 en θ heel klein

X ~ Poisson (λ) (λ > 0) λ = (verwacht) # succes per tijds- of ruimte-interval
𝜆𝑘
πx (k) = P(X=k) = ⅇ−𝜆
𝑘!
µx = λ en σx² = λ λ = nθ

,• Voor 1 continue variabele:
UNIFORM model
Toevalsvariabele X is uniform verdeeld op [ a , b ] met a , b ∈ ℝ en a < b als elke waarde van X binnen interval [ a , b ] een
gelijke kans heeft om voor te komen:
ϕX
X ~ U ( a , b) (a , b ∈ ℝ ; a < b)
1
ϕX (x) = voor a  x  b
𝑏−𝑎
0 anders
𝑎+𝑏 (𝑎−𝑏)2
µX = en σX² =
2 12
𝑑−𝑐
als X ~ U ( a , b) en [ c , d ]  [ a , b ] dan P(c  x  d) =
𝑏−𝑎

NORMAAL model (meest gebruikt)
Toevalsvariabele X is normaal verdeeld:
X ~ N ( µ , σ²) (σ > 0) (x ∈ ℝ)
1 1 𝑥−𝜇 2
𝑒 – 2( )
ϕX (x) = P(X=x) = 𝜎
√2π 
µx = µ en σx² = σ2

! Bijzonder lid van deze familie:
STANDAARDNORMAAL model

Y ~ N ( 0 , 1)
µx = 0 en σx² = 1


Y(yi) = P(Y yi)
• P( a < X < b | X ~ N (µ, σ²)) = P( ζx(a) < ζx < ζx(b) ) = [  (ζx(b)) –  (ζx(a)) ] → tabellenboekje
• P( X < a) = 0.90  (X = a) = 0.90  a = X.90 = .90-kwantiel van stand.norm.verd  Z-score van a

Lineaire transformatie:
Als Y= aX + b , dan Y ~ N ( aµ + b , a² σ²) als X norm.verd., dan lineaire transformatie Y ook norm.verd.
1 −𝜇𝑥
a= ; b= x = Z–1(z) = µx + zσx
𝜎𝑥 𝜎𝑥

EXPONENTIEEL model
Toevalsvariabele T:
wachttijd (in intervaleenheden) tot (het eerste) succes
in een continu medium
continue variabele

T ~ Expon (λ) λ = (verwacht) # succes per eenheid

ϕT (t) = λ * e–λt als t ≥ 0

0 als t < 0
1 1 𝟏
µT = en σT² = 2 µ = gem wachttijd tot 1ste succes σT = = µT
𝜆 𝜆 𝝀

T (t) = P(T t) = 1 – e–λt als t ≥ 0 ea = 0.5  a = ln (0.5)

0 als t < 0



# successen wachttijd tot 1ste succes
discreet medium Bin(dTV) Geo(dTV)
(quasi-)continu medium Poisson(dTV) Expon(cTV)

,• Voor meerdere variabelen: Notaties:
2 toevalsvariabelen X en Y → bivariate gegevens: X ~ Bin(n, θ1) , Y ~ Bin(n, θ2)
→ Mogelijkheden: X ~ Geo(θ1) , Y ~ Geo(θ2)
o X en Y discreet
X ~ Poisson(λ1) , Y ~ Poisson(λ2)
o X en Y continu
X ~ U(a, b) , Y ~ U(c, d)
o (X discreet en Y continu)
T ~ Expon(λ1) , W ~ Expon(λ2)
→ Statistisch model:
X ~ N( µ1 , σ²1), Y ~ N( µ2 , σ²2)
o Discreet:
πX,Y (x, y) = P ( {  | (X,Y)() = (x, y) } ) = gezamenlijke kansmassafunctie

o Continu:
ϕX,Y (x, y) = P ( a  x  b en c  x  d ) = gezamenlijke dichtheidsfunctie

→ Soms beperkt men zich tot het formuleren van een conditioneel model:
o Discreet:
πX,Y (x, y) = π X| Y= yj (x) * πY (yj) = π Y| X= xj (y) * πX (xj) = conditionele kansmassafunctie
o Continu:
ϕX,Y (x, y) = ϕX| Y= yj (x) * ϕY (yj) =ϕY| X= xj (y) * ϕX (xj) = conditionele dichtheidsfunctie


→ Bijzonder geval: Als X en Y statistisch onafhankelijk:
o Discreet:
πX,Y (x, y) = π X (x) * πY (y)
o Continu:
ϕX,Y (x, y) = ϕX (x) * ϕY (y)
o Cumulatieve verdelingsfunctie:
X,Y (x, y) = P ( {  | X()  x en Y()  y } )
 X,Y (x, y) = X (xj) * Y (yj ’)
→ Dus twee opties:
o Een onafhankelijk bivariaat normaalmodel:
−1
1 (𝜁𝑥 )2
ϕX (x) = ⋅𝑒 2 onafhankelijk
√2𝜋⋅𝜎
−1 2
1 (𝜁𝑦 )
ϕY (y) = ⋅𝑒 2
√2𝜋⋅𝜎


en omdat ϕX,Y (x, y) = ϕX (x) * ϕY (y)
−1
1 [(𝜁𝑥 )2 +(𝜁𝑦 )2 ]
daarom  ϕX,Y (x, y) = 2⋅𝜋∙𝜎 ⋅𝑒 2
1 ∙𝜎2


met X ~ N (µ1, σ²1) en Y ~ N (µ2, σ²2) en X, Y onafhankelijk

o Een afhankelijk bivariaat normaalmodel:
Hierbij is de correlatie niet 0 ( XY  0 )
−1 2𝜌∙(𝑥−µ1 )∙(𝑦−µ2 )
1 [(𝜁𝑥 )2 +(𝜁𝑦 )2 − ]
 ϕX,Y (x, y) = 2⋅𝜋∙𝜎 2)
⋅𝑒 2(1−𝜌)2 𝜎1 ∙𝜎2
1 ∙𝜎2 (1−𝜌


Hierbij is  de correlatie XY
Men kan dit noteren als: (X, Y) ~ N ( µ1, µ2 ; σ²1 , σ²2 ,  ) ! andere notatie
De conditionele verdeling van Y hangt af van X
afhankelijk

, Complexe modellen:
• MENGSEL modellen:
o Totale populatie = som van meerdere deelpopulaties m.b.t. 1 variabele (niet bivariaat!!)
o 3 criteria:
1. Onderzoekseenheden behoren tot verschillende deelpopulaties
2. Geen kennis over wie tot welke groep behoort (latent lidmaatschap)
3. Subpopulaties vertonen geen overlap

o πX (x) of ϕX (x) voor totale groep = optelling deelgroepen
MAAR: Gewichten toekennen!
▪ Naargelang de grootte van de deelgroepen
▪ Die grootte duiden we aan met de parameters λ en λ’
met λ + λ’ = 1
Bv: Bij normaalverdeling:

X ~ λ  N (µ1, σ²1) + (1 – λ)  N (µ2, σ²2)

of ϕX = λ ϕX(1) + (1 – λ) ϕ X (2)
−1 2 −1
1 (𝜁 ) 1 (𝜁𝑥 )2
 ϕX (x) = λ  2 ⋅ 𝑒 2 𝑥 + (1 – λ)  2 ⋅𝑒 2
√2𝜋⋅𝜎 √2𝜋⋅𝜎2
1

𝑥 – µ1 𝑥 – µ2
met x = en x =
𝜎12 𝜎22

o Als λ = 0 dan wordt dit een gewoon normaalmodel
Dus: de familie van de normaalmodellen is een deelfamilie van een mengselmodel waarvan de componentmodellen
normaal verdeeld zijn.
Gewoon model  mengselmodel
o Men kan ook meer dan twee componentmodellen hebben
Bv: πX = λ1  π X (1) + λ2  π X (2) + (1 – λ1 – λ2)  π X (3)
o Men kan ook mengselmodellen hebben met meerdere variabelen (= multivariate mengselmodellen)
Bv: πX,Y = λ1  π X,Y (1) + λ2  π X,Y (2) + (1 – λ1 – λ2)  π X,Y (3)

• REGRESSIE modellen:
Enkelvoudig lineair regressiemodel:
o Twee toevalsvariabelen X en Y met een correlatie ertussen
 Bivariate gegevens: (x1, y1) , (x2, y2) , … , (xn, yn)
Bv: X: hoe frustrerend een situatie is voor ons individu
Y: de mate van agressie in de situatie van ons individu
o We kunnen (y1, y2, …, yn) opvatten als realisaties van de statistisch onafhankelijke toevalsvariabelen Y 1, Y2, …, Yn
o Maar we nemen niet aan dat deze toevalsvariabelen identiek verdeeld zijn
 ϕY1 (1)  ϕY2 (1)  …  ϕYn (1) want plausibel dat hoe frustrerender situatie, hoe meer agressief gedrag
o Er is een correlatie XY tussen X en Y X = predictor ; Y = criterium
Als XY positief : de verwachte waarde van Yi is groter naarmate x i groter is
Als XY negatief : de verwachte waarde van Yi is kleiner naarmate x i groter is (of omgekeerd)

o In het geval van positieve correlatie: 𝑌|𝑋=𝑥𝑗 ~ 𝑁 (𝛽0 + 𝛽1 𝑥𝑗 , 𝜎 2 )
−1 ( 𝑦 − 𝛽0 + 𝛽1 𝑥𝑗 ) 2
1 [ ]
met ϕY|X = xj (y) = ⋅𝑒 2 𝜎
√2𝜋 𝜎
3 parameters: 0 , 1 ,  = conditioneel model van het criterium, gegeven een bepaalde predictor-waarde ;
doet enkel uitspraken over conditionele verdeling YX, niet over bivariate verdeling!!

Andere notatie: Yi = 0 + 1 x i + E i met E i iid ~ N ( 0, 2 )
0 = intercept = snijpunt met de y-as = basisniveau van Y
1 = richtingscoëfficiënt = stijging in Yi per eenheid omhoog in X i = “gevoeligheid”
E i’s = (niet rechtstreeks geobserveerde) foutenvariabelen
= stukje Yi dat je niet kan modelleren als je X i kent
 = mate waarin Y fluctueert ten gevolge van toevalsfactoren

Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:

√  	Verzekerd van kwaliteit door reviews

√ Verzekerd van kwaliteit door reviews

Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!

Snel en makkelijk kopen

Snel en makkelijk kopen

Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, Bancontact of creditcard voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.

Focus op de essentie

Focus op de essentie

Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!

Veelgestelde vragen

Wat krijg ik als ik dit document koop?

Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.

Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?

Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.

Van wie koop ik deze samenvatting?

Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper evadecorte. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.

Zit ik meteen vast aan een abonnement?

Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €2,99. Je zit daarna nergens aan vast.

Is Stuvia te vertrouwen?

4,6 sterren op Google & Trustpilot (+1000 reviews)

Afgelopen 30 dagen zijn er 64438 samenvattingen verkocht

Opgericht in 2010, al 14 jaar dé plek om samenvattingen te kopen

Start met verkopen
€2,99  2x  verkocht
  • (1)
  Kopen