Samenvatting
Samenvatting CURSUS - Financiën & Stochastiek door prof. Vanduffel S.
- Instelling
- Vrije Universiteit Brussel (VUB)
Samenvatting van 70 pagina's voor het vak Financiën & Stochastiek aan de VUB
[Meer zien]Voorbeeld 8 van de 70 pagina's
Voorbeeld 8 van de 70 pagina's
In winkelwagen1 beoordeling
Door: Jordymankasi • 3 jaar geleden
Voorbeeld van de inhoud
Table of ContentsIntroductie van derivatives ......................................................................................... 1
A. Kernwoorden. ................................................................................................................................... 1
B. Enkele kenmerken. ............................................................................................................................ 1
C. Analyse van derivaten. ....................................................................................................................... 2
D. Waardering van een derivaat. ............................................................................................................ 5
E. Gebruik van derivaten........................................................................................................................ 8
F. Waarom derivaten van belang zijn. ................................................................................................... 15
G. Calls en Puts. .................................................................................................................................. 15
Principes van optie pricing ..................................................................................... 19
A. Inleiding. ........................................................................................................................................ 19
B. Pricing a.d.h.v. een voorbeeld ........................................................................................................... 21
C. Theoretische analyse ........................................................................................................................ 23
D. Risk-neutral Pricing. ....................................................................................................................... 26
Monte Carlo Simulatie .......................................................................................... 30
A. Inleiding ......................................................................................................................................... 30
B. De nood aan numerieke methodes ..................................................................................................... 30
C. Het basisidee ................................................................................................................................... 31
D. Resultaten bij het generen van random getallen ................................................................................. 32
E. Illustraties ....................................................................................................................................... 34
Black-Scholes Formule .......................................................................................... 40
A. Inleiding ......................................................................................................................................... 40
B. Black-Scholes .................................................................................................................................. 40
C. Black-Scholes en Monte Carlo Simulatie ........................................................................................... 42
Optimale Investeringsstrategieën ............................................................................. 44
A. Motivering ...................................................................................................................................... 44
B. Probleemstelling .............................................................................................................................. 45
C. Markovitz’ “Mean-variance” Analyse ............................................................................................... 49
Effectisering / Securisatie ...................................................................................... 64
A. Principes van de Securisatie.............................................................................................................. 64
B. Samengevat .................................................................................................................................... 68
, Kevin De Moortel
2014
CURSUS
Financiën & Stochastiek
Introductie van derivatives
A. Kernwoorden.
Wat roept de term “derivatives” allemaal bij ons op?
§ “verzekering”; “speculatie”; “hedge funds”
§ “onderliggend goed” En dit in heel brede zin: aandelen, beursindex, rente, obligatie,
valuta, grondstoffen, temperaturen (denk aan wijnproducent),…
§ misbruik, fraude, complexiteit
§ off balance, intransparantie
§ leverage (= met weinig geld veel verdienen)
§ …
B. Enkele kenmerken.
a) Leverage. Met weinig inzet of inspanningen kunnen toch veel winsten behaald
worden, echter kan leverage ook gepaard gaan met grote verliezen. “There is no free
lunch!”
b) Complexiteit.
- Derivatives bestaan in geuren en kleuren: de creatie ervan is enkel gelimiteerd door
de creativiteit van het brein (aandeel, temperatuur, grondstoffen,…)
- Incentives (potentiele aanzet) tot misbruik en het plegen van fraude. Waarom is dit
zo? Wel, er is niemand die in staat is om de complexe structuren van derivaten te
Financiën & Stochastiek 1
, gaan waarderen. Dit geeft aanleiding aan sommige partijen om hiervan misbruik
te gaan maken.
Denk maar aan de bankensector en de ‘kapitaal gegarandeerde producten’. Klanten worden
een vast bedrag terug beloofd met een hogere opbrengst (rente) daarbovenop. Banken maken
hier toch winsten op aangezien zij de prijzen van onderliggende goederen laten stijgen (en
misbruik maken van de onwetendheid van de klant) en zo winst maken zonder dat je het als
klant beseft.
- Moeilijk te waarderen. (Gekoppeld aan voorgaande, misbruik en fraude.)
Voorbeeld 1: het Enron schandaal. Enron gaf meer uit dan er binnenkwam en hield
verliezen uit de boeken, door schimmige constructies met honderden dochterondernemingen.
Toen het bedrijf uiteindelijk over de kop ging, bleek dat managers miljoenen in hun zak
stopten, accountants bewijsmateriaal vernietigd hadden, dat het bedrijf de
verkiezingscampagnes van vrijwel alle presidentskandidaten had gefinancierd en dat er
bijna duizend dochterondernemingen waren opgezet om belasting te ontduiken en de
boekhouding op te fleuren.
Voorbeeld 2: Griekenland schetste haar staatschuld mooier dan het was door het gebruik
van derivaten. (Goldman Sachs speelde hierin ook een aanzienlijke rol). Vroeg of laat valt
men toch door de mand, wanneer de kasstromen uiteindelijk vrij moeten komen.
- Intransparantie.
Zo leidde het gebruik van CDO’s (= collateralized debt obligation) tot een vertrouwenscrisis
op de financiële markten. In Amerika werden hypotheekleningen “uitgedeeld”. Echter
wanneer de vastgoedmarkt instort, slagen banken er niet in openstaande schulden terug te
betalen. Hierdoor vallen ook interbancaire transacties stil. Dit leidt tot een liquiditeitscrisis
en bijgevolg ook tot een pak faillissementen.
We kunnen besluiten dat de complexiteit van derivaten aan de oorzaak licht van pak
van problemen. Warren Buffet merkte het probleem al tijd voor de crisis op en
tekende het gegeven onder andere als: “een tikkende tijdbom”,
“waarderingsprobleem”, “mark to myth”, “weapon of mass destruction”.
c) Risk Management toepassingen. Derivaten kunnen gebruikt worden als
“verzekeringen” en dit dan ook op een positieve wijze.
C. Analyse van derivaten.
Definities.
Financiën & Stochastiek 2
,Een derivaat (afgeleid product) is een contract met toekomstige financiële consequenties die
afhangen (afgeleid zijn) van hetgeen er gebeurd met iets anders. Hierbij zijn de “financiële
consequenties” pay-offs en doelt men met “iets anders” op onderliggende basisproducten.
De pay-off van een derivaat is een functie van de evolutie van het onderliggende goed.
Voorbeelden.
Vb.1 – Beschouw een contract waarbij de tegenpartij mij na één maand het verschil betaalt
tussen de prijs van een vat olie en 90$ indien het verschil positief is. Is het verschil negatief,
betaal ik de tegenpartij.
Geef het probleem weer op een tijdslijn.
Sluiten contract Pay -off
t=0 t = 1 maand
Wat is de pay-off (standpunt van de koper)?
= (de prijs van een vat olie na één maand) – 90$
Gegeven dat de huidige prijs van een vat olie 100$ bedraagt, wat is de waarde van het derivaat?
= 100$ - 90$ = 10$. We merken op de het derivaat enkel afhankelijk is van het
onderliggende goed en NIET van verwachten. De prijs / waarde van een derivaat
wordt dus bepaald door replicatie van het onderliggende van hoe die in de markt ligt
genoteerd (merk op: dit is een must!).
Gegeven dat de huidige prijs van een vat olie nog steeds 100$ bedraagt, de prijs/waarde van het
derivaat constant blijft, de rente 0% bedraagt en de prijs van een vat olie na één maand 120$ is.
Hoeveel winst maak ik? Hoeveel winst maakt de tegenpartij? Wat besluit je hieruit?
Winst (mij) = opbrengst – kost = pay-off – prijs van derivaat = (120$ - 90$) – 10$ =
30$ - 10$ = 20$.
Winst (tegenpartij) = 20$ verlies (hetgeen hij mij moet betalen) = -20$.
Financiën & Stochastiek 3
, We merken hieruit op dat de som van beide winsten gelijk is aan nul, hetgeen
betekent dat we te maken hebben met een zero-sum transactie. De pay-off vanuit het
standpunt van de verkoper = - (pay-off vanuit standpunt van de koper).
Gaat het hier om een speculatief of verzekeringsderivaat?
Dit hangt steeds af van de context. Het zal gaan om een speculatief derivaat indien
de koper het aanschaft enkel met de bedoeling winst te maken, maar niets met olie
eigenlijk te maken heeft. Indien het gaat om luchtvaartmaatschappijen die het
derivaat aangaan kan het beschouwd worden als verzekeringsproduct. Bijgevolg
dient men steeds rekening te houden met het feit dat met eenzelfde goed
verschillende doelen kunnen gepaard gaan.
Vb.2 – Ik sluit een contract af waarbij ik mik op een stijging van het aandeel KBC. Als de
prijs van het aandeel groter is dan €45 na 1 jaar, dan krijg ik het verschil tussen de prijs van
het aandeel KBC (na 1 jaar) en €45. Anders krijg ik niets.
Wat is mijn pay-off?
= MAX ( als prijs aandeel KBC > €45 ; als prijs aandeel KBC < €45 )
= MAX ( prijs aandeel KBC na 1 jaar - €45 , 0 )
Wat kunnen we merken aan bovenstaande pay-off?
Het waarderen en repliceren is meteen een pak moeilijker, hierdoor zal het nodig
blijken om de meesten problemen te gaan vereenvoudigen. (zie later)
Derivaten zijn “gokjes”?
Indien het onderliggende goed van een derivaat in “goede richting” beweegt dan maak je
(potentieel veel) winst, meestal omwille van het hefboomeffect. In zeker zin zijn derivaten
dus “gokjes”. Echter, hun gebruik ervan is niet beperkt tot enkel speculatie. zoals reeds
vermeld. Ze kunnen ook optreden als verzekering.
Vb. autoverzekering. – Beschouw volgend contract. Als ik een auto-ongeval heb zal ik
hiervoor vergoed worden. Dus: ik word een vergoeding betaald indien iemand anders door
mijn fout schade heeft geleden in een auto-ongeval. Neem de tijdsduur gelijk aan een jaar.
Wat is opmerkelijk aan de pay-off?
Financiën & Stochastiek 4
, De pay-off is hier een functie van mijn rijgedrag. Bijgevolg is de onderliggende:
‘rijgedrag’ heel moeilijk te waarderen. Dit contract is een typische BA
autoverzekering (verplicht!), maar is technisch gezien gewoon een derivaat.
D. Waardering van een derivaat.
Intuïtieve aanpak.
Noem de pay-off van een derivaat ‘X’ (want zijn eigenlijk kans variabelen). Hoe kan X nu
worden gewaardeerd?
Vb.1: Intuïtief – Beschouw X = 100 als de zon schijnt op 15/03/14 en X = 0 als de zon die
dag niet schijnt.
Formuleer het probleem.
100 als de zon schijnt op 15/03/14
X=
0 als de zon niet schijnt op 15/03/14
Wat is de prijs van X?
𝐸(𝑋) 100 ∗ 𝑝 + 0 ∗ (1 − 𝑝) 100𝑝
= = =
1+𝑖 1+𝑖 1+𝑖
met p = “kans dat de zon schijnt op 15/03/14” en i = “verdisconteringsvoet1”. Deze
verdisconteringsvoet is meestal groter dan de risk free rate2.
Opmerking: voor verzekeringen voor auto en brand bijvoorbeeld zal je
vanzelfsprekend een hogere prijs willen betalen, immers heb je meteen geld nodig bij
het ongeluk. De verzekeraar biedt je dit dan aan.
Is deze prijs uniek?
1
Een verdisconteringsvoet: huidige waarde van toekomstige kasstromen te calculeren op
basis van een bepaalde rendementsverwachting. Vaak wordt hier de WACC voor gebruikt.
2
De theoretische rate of return op een investering zonder risico.
Financiën & Stochastiek 5
, Neen, immers ‘p’ en ‘i’ zijn subjectief bepaald en zijn op zich niet uniek. Bijgevolg
kan de prijs van X ook niet uniek zijn.
Alternatieve (betere) aanpak = Risk Neutral Pricing (RNP).
Vb.2: RNP – Beschouw X =100 als de Bel20 stijgt tussen nu en 15/03/14 en X = 0 als de
Bel20 daalt tussen nu en 15/03/14.
Formuleer het probleem.
100 als Bel20 stijgt tussen nu en 15/03/14
X=
0 als Bel20 daalt tussen nu en 15/03/14
Wat is de prijs van X?
!""!∗
De prijs van X als !!!∗
is nu volledig verkeerd! We zullen zien dat de prijs van X
gegeven wordt door
100 ∗ 𝑞
=
1+𝑟
met q = “de zogenaamde risico neutrale kans”. Deze is niet subjectief en is uniek
bepaald door de marktcondities en heeft niets te maken met p*. En met r = “de risk
free rate”. Dit komt overeen met de rente op de schatkistcertificaten. Het is duidelijk
dat hier de intuïtieve aanpak NIET mag worden gehanteerd.
Bij deze prijszetting is wel vereist dat het onderliggend goed verhandelbaar is en
geprijsd is in de markt.
Intermediat Review.
Wat is een derivaat? Pay-off X = f (evolutie onderliggende).
Waardering van een derivaat?
- klassieke / intuïtieve !(!)
Prijs X = !!! met “E” wordt berekend met
aanpak
subjectieve kansen en “i” is de vereiste return.
De intuïtie is fout als de onderliggende
genoteerd is in de markt en verhandelbaar is.
Financiën & Stochastiek 6
, - risk neutral pricing ! ∗ (!)
Prijs X = !!! met “E*” wordt berekend
m.b.v. risico neutrale kansen (uit de markt) en
“r” is de risicovrije rentevoet.
Indien onderliggende niet in de markt
verhandelbaar is, dan is RNP verkeerd.
Risk Neutral Pricing is nauw verbonden met de constructie van replicating portfolio’s. Hetgeen
de bedoeling heeft om op zoek te gaan naar “iets” dat exact hetzelfde doet en de waarde
hiervan dan te gebruiken om de huidige derivaat te gaan waarderen. Neem als voorbeeld dat
men een bakker binnengaat om de prijs van een wit brood te gaan bekijken. Echter is de prijs onbekend.
Men kan dan bij een andere bakker de prijs voor eenzelfde brood gaan bekijken en zo een waarde
plakken op het brood van de eerste bakker.
Replicating portfolio tracht dus een pay-off X te repliceren a.d.h.v. andere markt-
instrumenten die wel een gekende prijs hebben. Bijgevolg is dan de prijs van X = prijs van
het gerepliceerde portfolio.
De wisselwerking tussen RNP en replicating portfolio is tweezijdig.
Vb.: replicating portfolio and RNP – Neem een contract waar men mikt op een beursstijging.
De pay-off wordt gegeven door: pay-off X = Max( prijs Ageas na 1 jaar – K ; 0 ). Men
neemt als strike K gelijk aan nul.
Hoe zou je deze pay-off repliceren?
Je kan deze pay-off repliceren door een aandeel Ageas te kopen. Na 1 jaar is de prijs
van deze replicating portfolio precies gelijk aan de pay-off X. Dus is de prijs
(vandaag) van X precies gelijk aan de prijs van een aandeel Ageas vandaag.
Hoe zou je dit uitwerken via RNP?
! ∗ (!)
Via RNP is de prijs van X vandaag = !!!
en is
E*(X) = (prijs van Ageas vandaag) x (1+r). We zullen later zien waarom dit zo is.
We kunnen wel reeds zeggen dat de factor (1+r) kenmerkend is aan risk neutral
probabilities.
RNP of replicating portfolio?
Financiën & Stochastiek 7
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
√ Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, Bancontact of creditcard voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper Kdemoort. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €5,49. Je zit daarna nergens aan vast.
Is Stuvia te vertrouwen?
4,6 sterren op Google & Trustpilot (+1000 reviews)
Afgelopen 30 dagen zijn er 64438 samenvattingen verkocht
Opgericht in 2010, al 14 jaar dé plek om samenvattingen te kopen