Samenvatting van het handboek Spanningen, vervormingen, verplaatsingen waarop prof. R. Passchyn zijn lessen op basseerd voor het onderdeel sterkteleer 2 binnen het vak simulatie van structuurelementen.
Samenvatting simulatie van structuurelementen Fien Smessaert 2019-2020
Inhoudstafel:
H1: Materiaalgedrag................................................................................................................................ 2
1.1 Trekproef ....................................................................................................................................... 2
1.2 Spanning rek-diagrammen ............................................................................................................ 3
1.3 Wet van Hooke .............................................................................................................................. 4
H2: De op extensie belaste staaf ............................................................................................................. 5
2.1 Het vezelmodel voor de staaf........................................................................................................ 5
2.2 De drie basisbetrekkingen ............................................................................................................. 5
2.3 Rekdiagram en normaalspanningsdiagram ................................................................................... 7
2.4 Normaalkrachtencentrum en staafas............................................................................................ 7
2.5 Wiskundige beschrijving van het extensieprobleem..................................................................... 8
2.6 Rekenvoorbeelden met betrekking tot lengteverandering en verplaatsing ................................. 8
2.7 Rekenvoorbeelden met betrekking tot de differentiaalvergelijking ............................................. 8
H3: Doorsnedegrootheden...................................................................................................................... 9
3.1 Lineaire oppervlaktemomenten, zwaartepunt en normaalkrachtencentrum .............................. 9
3.2 Kwadratische oppervlaktemomenten ......................................................................................... 10
3.3 Dunwandige doorsneden ............................................................................................................ 12
H4: De op buiging en extensie belaste staaf ......................................................................................... 12
4.1 Het vezelmodel voor de staaf...................................................................................................... 12
4.2 Rekdiagram en neutrale lijn ........................................................................................................ 12
4.3 De drie basisbetrekkingen ........................................................................................................... 13
4.4 Spanningsformule en spanningsdiagram .................................................................................... 16
4.5 Rekenvoorbeelden met betrekking tot de spanningsformule voor buiging met normaalkracht 18
4.6 Weerstandsmoment.................................................................................................................... 18
4.7 Rekenvoorbeelden met betrekking tot de spanningsformule voor buiging zonder
normaalkracht ................................................................................................................................... 18
4.8 Algemene spanningsformule betrokken op de hoofdrichtingen (niet kennen).......................... 20
4.9 Kern van de doorsnede ............................................................................................................... 20
4.10 Toepassingen kern van de doorsnede....................................................................................... 22
4.11 Wiskundige beschrijving van het probleem van buiging met extensie (niet kennen) .............. 24
4.12 Temperatuurinvloeden (niet kennen) ....................................................................................... 24
4.13 Kanttekeningen bij het vezelmodel en samenvatting formules (niet kennen) ......................... 25
H5: Schuifkrachten en – spanningen ten gevolge van dwarskracht ..................................................... 25
5.1 Schuifkrachten en – spanningen in langsrichting ........................................................................ 25
5.2 Voorbeelden met betrekking tot schuifkrachten en – spanningen in langsrichting ................... 27
, 5.3 Schuifspanningen in het vlak van de doorsnede ......................................................................... 27
5.4 Voorbeelden met betrekking tot het schuifspanningverloop in de doorsnede .......................... 28
5.5 Dwarskrachtencentrum (niet kennen) ........................................................................................ 30
5.6 Bijzondere gevallen van afschuiving (niet kennen) ..................................................................... 31
5.7 Samenvatting formules en regels ................................................................................................ 31
5.8 Overzicht oefeningen simulatie van structuurelementen .......................................................... 31
H1: Materiaalgedrag
1.1 Trekproef
Spanningen en vervormingen bepalen adhv. inzicht materiaalgedrag via experimenten.
We bestuderen voornamelijk lineair elastische materialen die WET VAN HOOKE volgen.
STERKTE STIJFHEID TAAIHEID
De weerstand die De weerstand tegen De mogelijkheid van
overwonnen moet worden vervorming vervorming alvorens breuk
om de samenhang van het optreedt
materiaal te breken
PRISMATISCHE STAAF: staaf met constante dwarsdoorsnede bv. balk, kolom
TREKPROEF: proefstaaf wordt in trekbank geplaast en langzaam uitgerekt tot staaf breekt. Bij
de aangebrachte verlenging ∆𝑙 registreert men de benodigde kracht F. Uiteinden van de
staaf worden verbreed uitgevoerd om breuk aan uiteinden te vermijden, men kijkt naar het
middelste gebied. Uitkomsten worden uitgezet op SPANNING-REKDIAGRAM
➢ VERVORMINGSGESTUURDE PROEF: men brengt verlenging aan en meet de nodige kracht
➢ BELASTINGSGESTUURDE PROEF: men laat belasting toenemen en meet lengteverandering
Gebieden in het kracht-verlenging diagram: afhankelijk van materiaal en afmetingen
LINEAIR-ELASTISCH GEBIED Evenredigheid tussen kracht F en verlenging ∆𝑙
Elastisch aangezien bij het wegnemen van belasting de staaf
terugveert naar oorspronkelijke lengte
PLASTISCH GEBIED/ VLOEIGEBIED Horizontaal traject met hobbels. Verlenging van staaf neem
toe bij gelijkblijvende belasting. “Vloeien” van materiaal.
VERSTEVIGINGSGEBIED Wanneer vervorming erg groot wordt kan na het vloeien de
kracht opnieuw toenoemen.
INSNOERINGSSGEBIED Plaatselijke insnoering. Belasting neemt af bij toenemende
verlenging tot breuk.
Door breken valt belasting weg en veert staaf een stukje
elastisch terug. ( // retourkromme). Staaf vertoont ook
blijvende/ plastische verlenging
,➢ Voor 2 x lange staaf bij zelfde kracht, verlenging ∆𝑙 2x zo groot.
➢ Voor 2 x zo grote doorsnede bij zelfde verlenging, nodige kracht 2x zo groot.
BESLUIT: Invoeren van formules om invloed staafafmetingen (staaflengte en dwarsdoorsnede)
te elimeneren door kracht-verlenging diagram om te zetten in spanning-rek-diagram.
∆𝑙 𝑣𝑒𝑟𝑙𝑒𝑛𝑔𝑖𝑛𝑔
REK / SPECIFIEKE LENGTEVERANDERING: 𝜀 = = [dimensieloos] (STUIK =
𝑙 𝑜𝑜𝑟𝑠𝑝𝑟𝑜𝑛𝑘𝑒𝑙𝑖𝑗𝑘𝑒 𝑙𝑒𝑛𝑔𝑡𝑒
verkorting)
(GEMIDDELDE) NORMAALSPANNING: indien homogene doorsnede dan is de normaalspanning tgv. de
trekkracht over de doorsnede constant.
𝐹
𝜎= = [N/m²]
𝐴
Andere factoren die invloed hebben op experimenten:
➢ Snelheid van belasten
➢ Temperatuurgevoeligheid
➢ Vochtigheid
1.2 Spanning rek-diagrammen
ELASTISCH GEBIED: hier is er een lineair verband tussen spanning σ en rek 𝜀
DIAGRAM:
𝑓𝑦 Vloeigrens
𝑓𝑡 Treksterkte
𝜀𝑦 Vloeirek: rek waarbij vloeitraject begint
𝜀𝑣𝑙 Rek aan het einde van het vloeitraject
𝜀𝑡 Rek horend bij treksterkte 𝑓𝑡
𝜀𝑢 Breukrek: rek waarbij breuk optreedt
STERKTEWAARDEN in het spanning-rek diagram duidt men in voorschriften
aan met letter 𝑓 ipv. σ
ELASTICITEITSMODULUS E: weerstand (stijfheid) van materiaal tegen vervorming door
lengteverandering. Materiaalconstante, komt overeen met helling van lineair-elastische tak.
𝜌
𝐸=
𝜀
OPMERKINGEN:
➢ Een STIJF materiaal heeft een GROTERE E-MODULUS dan een SLAP materiaal.
➢ Een STUG materiaal heeft een HOGERE VLOEIGRENS 𝑓𝑦 dan een WEEK materiaal
➢ Een STERK materiaal heeft een HOGERE TREKSTERKTE 𝑓𝑡 dan een ZWAK materiaal
➢ Een TAAI materiaal (bv. meeste metalen staal aluminium, ...) heeft een GROTERE BREUKREK 𝜀𝑢
dan een BROS materiaal
METALEN: taai materiaal (bv. staal, aluminium, ...):
,TREKSTERKTE 𝑓𝑡 is groter dan spanning waarbij breuk optreedt. Bij metalen is het spannings-rek
diagram voor druk meestal gelijk aan dat voor trek en is de druksterkte 𝑓′𝑐 even groot als de
treksterkte 𝑓𝑡
BROS MATERIAAL: materialen waarbij bij geringe rek reeds breuk optreedt. bv. beton en steen →
druksterkte meestal groter dan treksterkte, gietijzer, glas
STAAL FE 360: ➢ Vrij lage treksterkte kan verhoogt worden door toevoegen
𝑁
➢ 𝑓𝑡 = 360 𝑚𝑚2 van LEGERINGSELEMENTEN
𝑁 ➢ Alle staalsoorten hebben dezelfde E
➢ 𝑓𝑦 = 235 𝑚𝑚2
➢ Bij toenemende sterkte neemt taaiheid af (→hogere
➢ 𝐸 = 210 𝐺𝑃𝑎 treksterkte 𝑓𝑡 des te kleiner breukrek 𝜀𝑢 )
➢ Vanaf Fe 600 GEEN VLOEITRAJECT (𝑓𝑦 = 0,2%𝑟𝑒𝑘𝑔𝑟𝑒𝑛𝑠 𝑓0,2 → spanning
waarbij na het wegnemen van belasting nog een blijvende
rek van 0,2% resteert) meer maar geleidelijke overgang
lineair-elastisch gebied naar verstevigingsgebied
ALUMINIUM: ➢ Taai materiaal → grote vervormingen ondergaan voor breuk
➢ E = 70 GPa ➢ Geen duidelijke vloeigrens → 𝑓𝑦 = 0,2%𝑟𝑒𝑘𝑔𝑟𝑒𝑛𝑠 𝑓0,2
➢ 3 x zo slap als staal → maar ook legeringen mogelijk
RUBBER: ➢ Tot zeer grote rekken (10 – 20 %) lineair verband tussen
spanning en rek
➢ Hard rubber
➢ Zacht rubber → breukrek tot 800 % met vlak voor breuk een
grote toename in stijfheid
GLAS: ➢ Ideaal bros materiaal
➢ Hoe dunner het glas, hoe sterker
➢ Lineair elastisch tot breuk → geen plastisch gebied met
versteviging
➢ Treksterkte glasvezel tot 100 x hoger dan plaatglas
BETON: ➢ Grote druksterkte, kleine treksterkte
➢ 6 – 8 x zo slap als staal
HOUT: ➢ Anisotroop materiaal → afhankelijk van vezelrichting maar
ook vochtigheid en belastingssnelheid
➢ Trek → bros en breekt plotseling
➢ Druk → vrij taak vezels plooien maar weerstand blijft
1.3 Wet van Hooke
𝜎 − 𝜀-DIAGRAM VAN ELASTISCH-PLASTISCH MATERIAAL → indien voldoende lang vloeitraject, bv. taai
staal Fe 360
UITERSTE GRENSTOESTANDEN (UGT): BRUIKBAARHEIDSGRENSTOESTANDEN (BGT):
Constructie bezwijkt Constructie functioneer niet meer doelmatig
Bv. verlies van evenwicht of draagkracht Bv. door trillingen, scheurvorming, te grote
vervormingen
Materiaal tot uiterste belast Vervormingen nog klein genoeg voor lineair-
Voor taaie materialen tot ver in het plastische elastische tak in 𝜎 − 𝜀-diagram
gebied
, Bezwijkbelasting berekenen → PLASTICITEITSLEER Berekeningen → LINEAIRE ELASTICITEITSTHEORIE
→ star-plastisch materiaal volgens
𝜎 = 𝐸𝜀 → eenvoudigste vorm wet van Hooke
(weergave van experimenteel gevonden
resultaten)
o Benadering goed voor metalen in elastische
traject
o hout indien niet te grote krachten
Eventuele tijdsafhankelijke invloeden
corrigeren met KRUIPFACTOR
o Beton minder goed ( verschil trek en druk)
maar wordt wel gebruikt waarbij
correctiefactor in E zit verwerkt
H2: De op extensie belaste staaf
2.1 Het vezelmodel voor de staaf
EXTENSIE: rechte staaf blijft na vervormen recht
VEZELMODEL: fysisch model waarbij ...
➢ We stellen dat materiaal opgebouwd is uit VEEL // VEZELS IN LENGTERICHTING (volgens de x-as,
staafas). LIMIET nemen waardoor de oppervlakte ∆𝐴 van een vezel tot nul nadert.
➢ Afstand ∆𝑥 tussen opeenvolgende doorsnede nadert tot nul en vlakke doorsneden blijven
loodrecht op de vezels staan → HYPOTHESE VAN BERNOULLI
➢ HOMOGENE staafdoorsnede
➢ Gedraagt zich LINEAIR-ELASTISCH en volgt wet van Hooke (𝜎 = 𝐸𝜀 , waarbij E dus over hele
materiaal gelijk blijft > < inhomogeen)
2.2 De drie basisbetrekkingen
1. EVENWICHTSBETREKKINGEN / STATISCHE BETREKKINGEN: verband belasting (door uitwendige krachten)
en snedekrachten. Volgen uit het evenwicht.
2. CONSTITUTIEVE BETREKKINGEN: verband tussen snedekrachten en bijhorende vervormignen. Volgen
uit (lineair-elastische) materiaalgedrag KINEMATISCHE BETREKKINGEN: verband tussen vervormingen
en verplaatsingen. Volgen uit blijvende samenhang, onafhankelijk van materiaalgedrag
→ direct verband kunnen leggen tussen belasting en verplaatsingen
3. KINEMATISCHE BETREKKING: verband vervorming en verplaatsing (voor een op extensie belaste
staaf). Volgen uit blijvende samenhang, onafhankelijk van materiaalgedrag.
∆𝑙 𝑣𝑒𝑟𝑙𝑒𝑛𝑔𝑖𝑛𝑔
REK (IN AFZONDERLIJKE VEZELS): 𝜀= =
𝑙 𝑜𝑜𝑟𝑠𝑝𝑟𝑜𝑛𝑘𝑒𝑙𝑖𝑗𝑘𝑒 𝑙𝑒𝑛𝑔𝑡𝑒
Stel klein stukje lengte ∆𝑥 vervormt door EXTENSIE begrens door doorsnede a en b:
➢ a verplaatst in x-richting over afstand 𝑢
➢ b verplaatst in x-richting over een afstand + 𝑢 + ∆𝑢
∆𝑙 ∆𝑢
alle vezels ondergaan dezelfde rek 𝜀 → = , in limietgeval waarbij ∆𝑥 → 0 wordt dit de
𝑙 ∆𝑥
afgeleide van 𝑢 naar 𝑥.
, ∆𝑢 𝑑𝑢
lim =
∆𝑥 →0 ∆𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑢
en voor de REK VAN DE VEZELS geldt dus 𝜀 = kinematische betrekking voor extensie
𝑑𝑥
→ verband vervorming 𝜀 en verplaatsing 𝑢
lengteverandering ′∆𝑙′ van een staafelementje is gelijk aan het verplaatsingsverschil van twee
doorsneden: ′∆𝑙 ′ = ∆𝑢 = 𝜀∆𝑥 → alle afzonderlijke bijdragen 𝜀∆𝑥 optellen
∆𝑙 = ∫𝑙 𝜀 𝑑𝑥
1. CONSTITUTIEVE BETREKKING: verband vervorming en snedekracht. Volgen uit (lineair-elastische)
materiaalgedrag
Stel een normaalkrachtje ∆𝑁 in een enkele vezel met doorsnede ∆𝐴 en normaalspanning 𝜎
∆𝑁 = 𝜎∆𝐴
In een lineair-elastisch materiaal volgen de vezels de wet van Hooke → 𝜎 = 𝐸𝜀 zodat
∆𝑁 = 𝜎∆𝐴 = 𝐸𝜀∆𝐴
De TOTALE NORMAALKRACHT N → bijdragen van alle vezels bij elkaar op te tellen of dus alle krachtjes
∆𝑁 over de doorsnede integreren
(wegens homogene doorsnede, en alle vezels ondergaan zelfde rek indien op extensie belast)
→ verband tussen NORMAALKRACHT N (snedekracht) en de REK 𝜀 (vervormingsgrootheid) en is
afhankelijk van materiaalgedrag aangezien 𝐸 er in voorkomt.
REKSTIJFHEID 𝐸𝐴: maat voor de weerstand van staaf tegen vervorming door lengteverandering.
2. STATISCHE BETREKKING: verband belasting en snedekrachten. Volgen uit evenwicht van een
klein staafelementje waarbij geval van extensie en buiging apart kunnen worden
bekeken.
Stel klein elementje ∆𝑥 van de staaf op extensie belast door gelijkmatig verdeelde
belastingen qx en qz. Snedekrachten volgens positieve zin getekend als functie van x.
➢ Stel de krachten op linkersnedevlak zijn N,V en M en nemen over een afstand 𝑥∆ toe
met een grootte ∆𝑁, ∆𝑉, ∆𝑀
➢ De krachten op rechtersnedevlak zijn dan (𝑁 + ∆𝑁), (𝑉 + ∆𝑉), (𝑀 + ∆𝑀)
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
√ Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, Bancontact of creditcard voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper FienSmssrt. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €3,99. Je zit daarna nergens aan vast.
