Samenvatting OOJK1 Rekenen
Tentamen OOJK1: Meten & Meetkunde, Hele getallen H2
Meten en meetkunde
Hoofdstuk 1: Samenhang meten en meetkunde
1.1 Raakvlakken en verschillen meten en meetkunde
Bij meten gaat het om het getalsmatig greep krijgen op ‘eigenschappen’ van de wereld. Voorbeelden
van deze ‘eigenschappen’ zijn: lengte, oppervlakte, gewicht, inhoud en tijdsduur. Deze
‘eigenschappen’ heten grootheden. De grootheid wordt afgepast met een maat, zoals de
maateenheid meter voor lengte. Een meting levert een meetgetal op, bijvoorbeeld twee liter. Voor
meten kunnen meetinstrumenten worden ingezet.
Bij meetkunde draait het om het verklaren en beschrijven van de ruimte om ons heen. Het gaat dan
bijvoorbeeld om:
- Plattegronden
- Routes
- Richtingen
- Eigenschappen van vormen en figuren
- Projecties
- Schaduwen
- Patronen
Bij meetkunde gaat het om het onderzoeken van ruimtelijke relaties en redeneren. Bij meetkunde
gaat het (meestal) niet om opmeten. Ruimtelijk redeneren hoort bij meetkunde.
1.1.1 Meten van inhoud
Het in gedachten in elkaar zetten van een bouwplaat valt binnen meetkunde. De inhoud bepalen van
een doos, valt onder meten: het gaat namelijk om het kwantificeren (= ergens getal aan verbinden)
van de eigenschap inhoud. De domeinen meten en meetkunde kunnen in situaties raakvlakken
hebben.
1.1.2 Lengte en oppervlakte
Ook bij grootheden lengte en oppervlakte komen meetkundige inzichten naar voren. Zo worden
kinderen zich bewust dat een oppervlakte van 1m 2 (meten) verschillende vormen in het platte vlak
kan hebben (meetkunde). Een meetkundige activiteit als het omvormen van figuren kan worden
toegepast bij het meten van oppervlaktes. Ook vlakvulling past zowel bij meten als bij meetkunde.
Bij vlakvulling wordt namelijk gewerkt met meetkundige vormen, waarmee een oppervlakte wordt
gevuld. Deze meetkundige vormen zijn achteraf uit te drukken in aantal (meten). Vlakvulling kan
zowel met vierkanten als met driehoeken.
1.1.3 Uit de geschiedenis van meten en meetkunde
Ook bij de stelling van Pythagoras komen meten en meetkunde samen. Deze stelling beschrijft de
vaste relatie tussen de lengte van de drie zijden van een rechthoekige driehoek: a2 + b2 = c2
De gulden snede is een verhouding. Volgens deze verhouding zijn in allerlei meetkundige figuren
afmetingen terug te vinden. De gulden snede vind je door een lijnstuk zo in tweeën te verdelen, dat
,het kleinste deel ten opzichte van het grootste deel dezelfde is als de verhouding van het grootste
deel ten opzichte van het hele lijnstuk.
1.2 Meten en meetkunde op de basisschool
1.2.1 Overeenkomsten tussen meten en meetkunde
Meten en meetkunde hebben verschillende overeenkomsten. Meten en meetkunde blijven dicht bij
de waarneembare werkelijkheid. Daardoor bieden ze aan kinderen de mogelijkheid zelf ervaringen
op te doen. Het onderwijs van meten en meetkunde geeft kinderen de kans om hun dagelijkse
leefwereld te kunnen begrijpen en beschrijven. De wiskundetaal van meten en meetkunde komt
voor in het dagelijks leven: smal, breed, groot, klein, noord en zuid. Meten en meetkunde wordt
beide gekenmerkt door het redeneren en ontwikkelen van een onderzoekende houding. Deze
houding wordt wiskundige attitude genoemd. Bezig zijn met meten en meetkunde levert een
belangrijke bijdrage aan de ontwikkeling van gecijferdheid.
1.2.2 Verschillen tussen meten en meetkunde
Er zijn ook verschillen tussen meten en meetkunde. Beide domeinen hebben namelijk andere
(mentale) handelingen. Activiteiten bij meten gaat het om het leren meten met een passende maat.
Kinderen zijn veel aan het doen, kennen en begrijpen. Bij meetkundige activiteiten gaat het vooral
om het onderzoeken van ruimtelijke relaties en het beredeneren, waarnemen, beschouwen, stellen,
verklaren en beantwoorden hiervan.
1.2.3 Samenhang in activiteiten
In het onderwijs heeft het meerwaarde om meten en meetkunde samen te voegen. Activiteiten
rondom construeren (bouwen) en representeren (afbeelden van de werkelijkheid) vallen binnen
meetkunde. Toch kan bij deze activiteiten ‘meten’ aan pas komen, door de inhoud van een
bouwwerk vast te stellen, of de oppervlakte van een plattegrond te berekenen.
Ook de activiteiten lokaliseren (plaatsbepaling op aarde) en het verloop van de schaduw vallen
onder meetkunde. Tijdsmeting hoort bij meten. Deze begrippen uit de verschillende domeinen
kunnen in 1 activiteit makkelijk gekoppeld worden. ‘
Hoofdstuk 2: Meten
2.1 Meten en meetgetallen zijn overal
In het dagelijks leven kom je voortdurend in aanraking met meten en meetgetallen. Meetgetallen
zeggen iets over grootheden zoals:
- Gewicht
- Inhoud
- Temperatuur
- Snelheid
- Tijdsduur
- Bedragen
Bij elke grootheid bestaan verschillende maten of maateenheden. Zo wordt de afstand tussen twee
steden uitgedrukt in kilometers en de inhoud van een glas water in milliliters.
In het dagelijks leven gebruik je veel meetreferenties. Meetreferenties zijn richtlijnen bij het meten.
Zo weet je dat een persoon die 2,40 meter lang is, dat deze persoon behoorlijk lang is. Ook maak je
gebruik van een referentiegetal. Bij het getal ‘365’ refereer je al snel naar het aantal dagen in het
,jaar. Bij bepaalde maten kun je je iets concreets voorstellen, zoals een pak suiker bij een kilogram,
een pak sap bij een liter en een grote stap voor een meter. Al deze voorbeelden zijn voorbeelden van
referentiematen.
2.1.1 Meetinstrumenten
Bij sommige meetinstrumenten is het afpassen van een maat goed zichtbaar. Je kunt namelijk bij
een maatbeker de hoeveelheid vloeistof afmeten. En bij een liniaal kun je het aantal centimeters van
een kubus opmeten. De maten zijn hierbij goed zichtbaar. Bij andere meetinstrumenten is het
afpassen van meetinstrumenten verder naar de achtergrond verdwenen. Zo kun je bij een digitale
weegschaal niet zien hoe er wordt gemeten, het gewicht in kilo’s wordt namelijk gegeven. Het meten
bij een digitale weegschaal is niet direct zichtbaar.
Niet rechtstreekse zichtbare grootheden als gewicht en temperatuur kunnen met meetinstrumenten
zichtbaar worden gemaakt. Met een weeghaak met trekveer wordt het gewicht van een voorwerp in
de uitrekking van de veer. Hierbij levert een groter gewicht een grotere uitrekking op. Dit wordt
indirect meten genoemd: omdat je de ene grootheid (lengte) meet om een andere grootheid
(gewicht) te bepalen.
Op meetinstrumenten is een schaalverdeling aanwezig. Zo zie je op een liniaal een schaal met het
aantal centimeters staan en op een maatbeker een schaal met het aantal grammen/milliliters etc.
2.1.2 Meetnauwkeurigheid
Veel meetgetallen zijn kommagetallen. Of een meetgetal een kommagetal is, hangt af van de
gehanteerde maat en de precisie. Je kunt namelijk zeggen dat iemand 1,78 meter is (kommagetal) of
178 centimeter. Meetgetallen kan een verschillende meetnauwkeurigheid hebben. Het
meetresultaat kan namelijk afgerond zijn, het kent niet altijd precisie. Een afstand tussen twee
getallen, waartussen het meetresultaat kan liggen noemen we het meetinterval.
19 graden Celsius koorts, is op de graad nauwkeurig gemeten. Toch kan de daadwerkelijk
temperatuur tussen de 18,5 en 19,5 graden Celsius liggen, omdat het aantal graden koorts
niet in decimalen is gegeven. Er ontstaat dus een meetinterval.
Er bestaat ook een meetonnauwkeurigheid. Hierbij treden er meetfouten op. Een meetfout kan
vallen binnen het meetinterval, wat in verband kan worden gebracht met het foutenmarge. Dit kan
bijvoorbeeld ontstaan wanneer een boek in centimeters wordt opgemeten, maar niet tot op de
millimeter. Er ontstaat meetonnauwkeurigheid en meetfouten.
Meetfouten kunnen ook ontstaan bij de meethandling zelf. Hierbij wordt bijvoorbeeld het
meetinstrument op een verkeerde of onhandige manier gebruikt, waardoor het meetresultaat niet
meer nauwkeurig is. Om het effect van zo’n meetfout op het meetresultaat te verkleinen, kun je een
meting herhaald uitvoeren en vervolgens het gemiddelde van de meetresultaten nemen.
2.1.3 Uit de geschiedenis van meten
Vroeger werden als elementaire vorm van meten vormen rechtstreeks met elkaar vergeleken. Zo
werd er gevoeld door voorwerpen in de hand te neme of iets zwaarder/lichter was.
Een natuurlijke maat is bijvoorbeeld een hand of een voet, waarmee de grootheid lengte kan
worden gemeten. Het meten met een natuurlijke maat kan worden gebruikt wanneer de meting niet
heel nauwkeurig hoeft te worden uitgevoerd. Zo kun je met een paar flinke stappen nagaan hoelang
een bepaalde afstand “ongeveer” is. Vroeger werden grootheden zoals tijdsduur gebruikt als
oppervlaktemaat. Ook dit is een voorbeeld van indirect meten.
, Het gebruik van natuurlijke maten heeft meetonnauwkeurigheid tot gevolg. Niet alle voeten zijn
namelijk even lang en niet alle handen even groot. Daarom werd er vroeger per regio een standaard
nagestreefd: een vaste afgesproken maat. Maar doordat iedere regio een eigen maat hanteerde,
werd de handel bemoeilijkt. Hierdoor ontstond er behoefte aan
internationale standaardisering.
In de 18e eeuw werd een stelsel van maten en gewichten
vastgesteld in het metriek stelsel. De meter is daarin als
standaardmaat gekozen. Aan de basiseenheid meter werden
andere maten gekoppeld. Ook werd een tientallige
maatverfijning afgesproken, waarmee lengtematen zoals
kilometer en centimeter om e rekenen zijn naar de meter.
De huidige internationale afspraken voor grootheden en
eenheden liggen vast in het SI-stelsel (Internationaal Stelsel van
Eenheden).
In een aantal landen (VK en VS) wordt een ander systeem van maten gehanteerd: het imperiale
systeem. Hierbij worden maten gebruikt, zoals de mijl, inch en foot. Omrekenen van het imperiale
systeem naar het metriek stelsel is ingewikkeld, aangezien in het imperiale systeem geen sprake is
van een tientallige structuur.
2.1.4 Wiskundetaal bij meten
In het metriek stelsel staan de maten en de onderlinge relaties beschreven voor de grootheden. Elke
grootheid kent een andere centrale standaardmaat:
Grootheid Centrale standaardmaat Symbool
Lengte meter m
Oppervlakte vierkante meter m2
are a
Inhoud kubieke meter m3
liter l
Gewicht kilogram kg
Temperatuur Celsius ⁰C
Fahrenheit ⁰F
kelvin K
Tijd seconde s
minuut min
uur u
Snelheid meter per seconde m/s
kilometer per uur km/u
Geld euro €
Hoek graad ⁰
Digitale data bit b
byte B
Maten die zijn afgeleid van de centrale standaardmaten worden aangegeven met voorvoegsels, zoals
centi (centimeter) en deci (decimeter).
