Eenweg ANOVA: Populatiegemiddeldes vergelijken Meervoudige ANOVA
Eenweg ANOVA model: 𝑦𝑖𝑗𝑘 = 𝜇𝑖𝑗 + 𝜖𝑖𝑗𝑘 = 𝜇 + 𝛼𝑖 + 𝛽𝑗 + 𝛼𝛽𝑖𝑗 + 𝜖𝑖𝑗𝑘
𝑦𝑖𝑗 = 𝜇𝑖 + 𝜖𝑖𝑗 = 𝜇 + 𝛼𝑖 + 𝜖𝑖𝑗 → i = conditie A, j = conditie B, k = participant
→ i = conditie, j = participant, αi = effectparameter (µi - µ) ↓
↓ 𝑦𝑖𝑗𝑘 = 𝑦̅𝑖𝑗 + 𝜖𝑖𝑗𝑘 = 𝑦̅ + 𝛼̂𝑖 + 𝛽̂𝑗 + 𝛼𝛽
̂ 𝑖𝑗 + 𝜖𝑖𝑗𝑘
Schatten met: • α̂i = y̅i − y̅
𝑦𝑖𝑗 = 𝑦̅𝑖 + 𝜖𝑖𝑗 = 𝑦̅ + 𝛼̂𝑖 + 𝜖𝑖𝑗 • β̂j = y̅j − y̅
• α̂i = y̅i − y̅ ̂ = y̅ij − (y̅ + α̂i + β̂j)
• 𝑎𝛽𝑖𝑗
• σ → sp (gepoolde st.dev.) • σ → sp
Aannames controleren
1. Homogeniteit varianties: ANOVA tabel
a. Vuistregel: (grootste sd / kleinste sd) < 2 , of H0: alle αβij = 0; Ha : niet alle αβij = 0
b. Levene’s test: niet significant
2. Normaliteit residuen: Histogram of P-P/Q-Q-plot residuen
3. Onafhankelijkheid: Geen check
Source SS df MS F (dfeffect,
dfe)
A ∑𝑛𝑖 𝑎̂𝑖2 I–1 SSA / dfA MSA / MSe
ANOVA-tabel B ∑𝑛𝑗 𝛽̂𝑗2 J–1 SSB / dfB MSB / MSe
Hypotheses: H0: µ1 = µ2 = … = µi Ha: NIET µ1 = µ2 = … = µi A*B ̂ 𝑖𝑗
2 (I – 1)*
∑𝑛𝑖𝑗 𝑎𝛽 SSAB / dfAB MSAB / MSe
(J – 1)
Source SS df MS F (dfG, dfe)
Error ∑(𝑛𝑖 − 1)𝑠𝑖2 N–I SSe / dfe -
Groups (G) ∑𝑛𝑖 𝑎̂𝑖2 I–1 SSG / dfG MSG / MSe (e) of ∑(𝑦𝑖𝑗𝑘 − 𝑦̅𝑖 )2
Error (e) ∑(𝑛𝑖 − 1)𝑠𝑖2 N–I SSe / dfe - Total ∑(𝑦𝑖𝑗𝑘 − 𝑦̅)2 N–1 SST / dfT -
of ∑(𝑦𝑖𝑗 − (T)
2
𝑦̅𝑖 )
2
Total (T) ∑(𝑦𝑖𝑗 − 𝑦̅) N–1 SST / dfT - Effectmaten
𝑆𝑆𝑒𝑓𝑓𝑒𝑐𝑡
VAF effect in steekproef: 𝜂2 = 𝑆𝑆𝑇
Effectmaten 2
𝜂𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑎𝑙 = 𝑆𝑆
𝑆𝑆𝑒𝑓𝑓𝑒𝑐𝑡
2 𝑆𝑆𝐺 𝑒𝑓𝑓𝑒𝑐𝑡 + 𝑆𝑆𝑒
VAF in steekproef: 𝜂 = 𝑆𝑆
𝑇
𝑆𝑆𝑒𝑓𝑓𝑒𝑐𝑡 −(ⅆ𝑓𝑒𝑓𝑓𝑒𝑐𝑡 ∗𝑀𝑆𝑒)
𝑆𝑆𝐺−(ⅆ𝑓𝐺∗𝑀𝑆𝑒) ̂2 =
VAF effect in populatie: 𝜔
̂2 =
VAF in populatie: 𝜔 𝑆𝑆𝑇 +𝑀𝑆𝑒
𝑆𝑆𝑇 +𝑀𝑆𝑒
Vuistregels: 0.01 klein, 0.06 medium, 0.14 groot
A priori contrasten Post-hoc toetsen Familiegewijze foutenkans
Hypotheses: H0: µ1 = (µ2 + µ3)/2 Ha: µ1 ≠ (µ2 + µ3)/2 Bonferroni correctie / Tukey 𝛼𝑓𝑎𝑚 = 1 − (1 − 𝛼)𝑐
H0: µ2 = µ3 Ha: µ2 ≠ µ3 𝛼′ = 𝛼 ∕ 𝑐
→ omschrijven naar lineair contrast → c = k(k -1)/2
Lineair contrast: gemiddeldes met elkaar vergelijken → met αfam controleren of α’
𝜓 = 𝑎1 𝜇1 + 𝑎2 𝜇2 + ⋯ + 𝑎𝑘 𝜇𝑘 idd ongeveer 0.05 is
→ ai = contrastcoëfficiënt
Hypotheses: H0: ψ = 0 Ha: ψ ≠ 0
T-toets voor contrasten
𝑐
𝑡=
𝑆𝐸𝑐
→ df = N – I
Eenweg ANOVA model: 𝑦𝑖𝑗𝑘 = 𝜇𝑖𝑗 + 𝜖𝑖𝑗𝑘 = 𝜇 + 𝛼𝑖 + 𝛽𝑗 + 𝛼𝛽𝑖𝑗 + 𝜖𝑖𝑗𝑘
𝑦𝑖𝑗 = 𝜇𝑖 + 𝜖𝑖𝑗 = 𝜇 + 𝛼𝑖 + 𝜖𝑖𝑗 → i = conditie A, j = conditie B, k = participant
→ i = conditie, j = participant, αi = effectparameter (µi - µ) ↓
↓ 𝑦𝑖𝑗𝑘 = 𝑦̅𝑖𝑗 + 𝜖𝑖𝑗𝑘 = 𝑦̅ + 𝛼̂𝑖 + 𝛽̂𝑗 + 𝛼𝛽
̂ 𝑖𝑗 + 𝜖𝑖𝑗𝑘
Schatten met: • α̂i = y̅i − y̅
𝑦𝑖𝑗 = 𝑦̅𝑖 + 𝜖𝑖𝑗 = 𝑦̅ + 𝛼̂𝑖 + 𝜖𝑖𝑗 • β̂j = y̅j − y̅
• α̂i = y̅i − y̅ ̂ = y̅ij − (y̅ + α̂i + β̂j)
• 𝑎𝛽𝑖𝑗
• σ → sp (gepoolde st.dev.) • σ → sp
Aannames controleren
1. Homogeniteit varianties: ANOVA tabel
a. Vuistregel: (grootste sd / kleinste sd) < 2 , of H0: alle αβij = 0; Ha : niet alle αβij = 0
b. Levene’s test: niet significant
2. Normaliteit residuen: Histogram of P-P/Q-Q-plot residuen
3. Onafhankelijkheid: Geen check
Source SS df MS F (dfeffect,
dfe)
A ∑𝑛𝑖 𝑎̂𝑖2 I–1 SSA / dfA MSA / MSe
ANOVA-tabel B ∑𝑛𝑗 𝛽̂𝑗2 J–1 SSB / dfB MSB / MSe
Hypotheses: H0: µ1 = µ2 = … = µi Ha: NIET µ1 = µ2 = … = µi A*B ̂ 𝑖𝑗
2 (I – 1)*
∑𝑛𝑖𝑗 𝑎𝛽 SSAB / dfAB MSAB / MSe
(J – 1)
Source SS df MS F (dfG, dfe)
Error ∑(𝑛𝑖 − 1)𝑠𝑖2 N–I SSe / dfe -
Groups (G) ∑𝑛𝑖 𝑎̂𝑖2 I–1 SSG / dfG MSG / MSe (e) of ∑(𝑦𝑖𝑗𝑘 − 𝑦̅𝑖 )2
Error (e) ∑(𝑛𝑖 − 1)𝑠𝑖2 N–I SSe / dfe - Total ∑(𝑦𝑖𝑗𝑘 − 𝑦̅)2 N–1 SST / dfT -
of ∑(𝑦𝑖𝑗 − (T)
2
𝑦̅𝑖 )
2
Total (T) ∑(𝑦𝑖𝑗 − 𝑦̅) N–1 SST / dfT - Effectmaten
𝑆𝑆𝑒𝑓𝑓𝑒𝑐𝑡
VAF effect in steekproef: 𝜂2 = 𝑆𝑆𝑇
Effectmaten 2
𝜂𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑎𝑙 = 𝑆𝑆
𝑆𝑆𝑒𝑓𝑓𝑒𝑐𝑡
2 𝑆𝑆𝐺 𝑒𝑓𝑓𝑒𝑐𝑡 + 𝑆𝑆𝑒
VAF in steekproef: 𝜂 = 𝑆𝑆
𝑇
𝑆𝑆𝑒𝑓𝑓𝑒𝑐𝑡 −(ⅆ𝑓𝑒𝑓𝑓𝑒𝑐𝑡 ∗𝑀𝑆𝑒)
𝑆𝑆𝐺−(ⅆ𝑓𝐺∗𝑀𝑆𝑒) ̂2 =
VAF effect in populatie: 𝜔
̂2 =
VAF in populatie: 𝜔 𝑆𝑆𝑇 +𝑀𝑆𝑒
𝑆𝑆𝑇 +𝑀𝑆𝑒
Vuistregels: 0.01 klein, 0.06 medium, 0.14 groot
A priori contrasten Post-hoc toetsen Familiegewijze foutenkans
Hypotheses: H0: µ1 = (µ2 + µ3)/2 Ha: µ1 ≠ (µ2 + µ3)/2 Bonferroni correctie / Tukey 𝛼𝑓𝑎𝑚 = 1 − (1 − 𝛼)𝑐
H0: µ2 = µ3 Ha: µ2 ≠ µ3 𝛼′ = 𝛼 ∕ 𝑐
→ omschrijven naar lineair contrast → c = k(k -1)/2
Lineair contrast: gemiddeldes met elkaar vergelijken → met αfam controleren of α’
𝜓 = 𝑎1 𝜇1 + 𝑎2 𝜇2 + ⋯ + 𝑎𝑘 𝜇𝑘 idd ongeveer 0.05 is
→ ai = contrastcoëfficiënt
Hypotheses: H0: ψ = 0 Ha: ψ ≠ 0
T-toets voor contrasten
𝑐
𝑡=
𝑆𝐸𝑐
→ df = N – I
