Fundamental Theorem of Calculus: The Integral
Antiderivative and Differentiation
Antiderivative: A function $F(x)$ is an antiderivative of a function
$f(x)$ if $F’(x) = f(x)$.
The process of finding an antiderivative is called anti-differentiation
or integration.
Constant Function and its Role in Integration
Any two antiderivatives of a function differ by a constant.
This constant is called the constant of integration.
Notation: $\int f(x) dx = F(x) + C$, where $F’(x) = f(x)$ and $C$ is
the constant of integration.
Signed Area and its Relation to Integration
The integral of a non-negative function gives the area between the
graph of the function and the x-axis.
If the function takes on both positive and negative values, then the
integral gives the signed area, which is the area above the x-axis
minus the area below the x-axis.
The Fundamental Theorem of Calculus provides a way to compute
definite integrals (i.e., integrals over a specific interval) using
antiderivatives.
2. Antiderivative and Differentiation
Y = f(x) and the x-axis over an interval [a, b] is given by the definite
integral ∫[a, b] f(x) dx. The definite integral gives us the net signed
area between the curve and the x-axis over the interval [a, b]. This
is because the definite integral is defined as the difference between
the antiderivative evaluated at the upper limit and the
antiderivative evaluated at the lower limit: ∫[a, b] f(x) dx = F(b) –
F(a).
The signed area is called “signed” because it can be positive or
negative, depending on the orientation of the curve with respect to
the x-axis. If the curve is above the x-axis, the signed area is
positive, and if the curve is below the x-axis, the signed area is
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, creditcard of Stuvia-tegoed voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper shakanaa. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €10,39. Je zit daarna nergens aan vast.
