Mathe für Ingenieure ||
Leibniz Universität Hannover
SoSe 2023
Marlene J. V. Fait
, Basics
ABLEITUNGSREGELN :
Konstanten
f(x) =
5
f(x) =
0
f(x) =
n f(x) =
0
Potenzregel
:
3
f(x) =
x3 f((x) =
3
x2
.
(f(x) =
x f(x)
=
1xo =
1
1
. = 1
n -
1
f(x) =
xM f(x) = n
-
X
Faktorregel
2
f(x) x5 f'(x)
5
= 3
.
= 3
. x
1
f(x)
-
f(x) =
a
.y =
anx
3
5 + f(x) 3x2
f(x) =
-
=
=
Summenregel
f(x) x2 5x3 f(x) 2x 15x2 + 0
3 Jeder Teil wird für sich
abgeleitet
-
+
=
= -
7
f(x) =
x
-
ax b f'(x) =n am
Produktregel :
3x +5
f(x) = +3 -
f(x) =
? + +3 .
5x4
V
f(x) =
u(x). (x) + u(x .x)
Quotientenregel 2
5
-
(27 + 3) 5x4
.
+ 34
f(x) =
2x
u(x) =
2x +
3 ((x) = 2 f'(x) =
(7512
x 5
v(x) = +5 u(x) = 5x4
U(x) u(x). (x) -
u(x)ox)
f(x) =
v(x) f'(x) +
uz
Kettenregel
:
3
f(x) = ( x + 113((n) = 13(() = 382f(x) =
3
-(-x+ 112 -(2x) wird bei "ineinander verketteten" Funktionen
. (1 x42
angewandt
-
= 6x
u(x) =
- x2 + 1 v(x) = -
2x .
allgemeine Form : f'(x) =
4'(u(x)) -
(x) Generell gilt :
häufig bei
klammern;
·
e-Funktionen ·
Wurzeln; Trigeometrischen Funk
ZUM AUSWENDIOLERNEN :
y
=
In(x) y' = *
=
ax y'
a
In(a)
Y
=
ex ex
Y
=
y' =
Y
=
a log() y' = xYna
y
=
In(x) y' =
E
1
y sin(x) y' cos(x) xz
arcsin(x) y/
=
1
Y
=
= - -
1
y cos(x) x' -
sin(x) arccos(x y'
y
= =
=
=
1 -
xz
cos()
Sin,
=
y
-
tan(x)
= 1
y
=
y
=
arctan(x) y' =
1 + xz
1
y
=
Sinh(x) y' = cosh(x)
y
=
asinh(x) y1 =
1 + X2
1
y cash(x)
y1 sinh(x) =
acosh(x) y1
y
= = =
1 + X2
y tanh(x) 1 =
cna(x) =
atanh(x) y"
1
y +2
= =
1 -
MATRIXMULTIPLIKATION
N
m
n k a .
h i a + e
. + em
+ +
cij k
.
b . b
a b c m
-
i 2 d .
n d .k l
.
+ + f-m
N i
fy + e +
e
&
defjm
-
,ALLGEMEINE INTEGRATIONS-AUFLEITUNGSREGELN
Ja dx (Konstantel ->
ax + C
Su dx -> 1 x + C
Sax
3
N A n +1
dx -> 1X + C
n +
Allgemeine Regel
15x3 du -> 5
9 + 1
+ + c = xac =
Exc
Se
1
dx ->
e" + c
at
Sa
X
+ c
ex ->
In(a)
x
97x
7
Auswendig
+ C
di ->
in(7) + 46 zum lernen
SIn(x) dx ->
x - In(x) -
x + C
Scos(x) dx
->
Sin(x) +C
Ssir(x) dx -> -
cos(x) + c
Scos( dx
-> = (cos(x)sin(x) +x + C
QUADRATISCHE Ergänzung
An einem Beispiel :
x2 + 14x 38 I x2 14x "Ergänzung" + 38
.
= + - =
+
y
Schritt
n
:
durch z teilen = x2 +
2
.
7x
+38
-"
x 72 72
Schnitt Quotient
Ergänzen +
"Quotient", Quotient" + 7x + + 38
2
-
:
2
= .
rückwärts =(x 7)2 72
+38 7)2 n
Schritt (x
-
Binomische Formel
3 +
-
= +
:
ÜBERSICHT PARAMETERDARSTELLUNG Polarkoordinaten
drei
Allgemein gilt Kurve Parameter Fläche Zwei Parameter Körper Parameter
:
ein
;
;
:
:
:
R2
Spezielle Kurven im :
1 . Strecke P
.
P · K(t) =
Pr + t .(Pz-P) te[0 , 1)
2 . Funktion y
=
f(x) · K(t) =
(E(t) t , >(to t .
] ,
R :Cos4,
R
3 . Kreis im R x y = :K(1) =
+(0 ,24)
) = R
a . R
. cos(f)
R2 * (f) :K(1) =
E(0 ,24)
Ellipse
+
4 .
(
.
im b R
-sin(e),
Spezielle Flächen im R3
1 .
Ebene von Pr, Pz
,
P3
: t)
F(s , =
Prts .(Pz-Pr) +E .(P3-Pr) site R
,
2 .
Funktion zf(xy) :
F(k , u) = V,
U
, Ve Df
R cos (t)
<+ 2
R (zER) F( ,z)
3 .
Zylindermantel =
,
: =
P sin (l) ,
E(0 , 24] ,
zER
2 -
4 . Oberfläche einer Kugel :
+y2+zR :
F(C ,B) = PR: ( cos (B 2
E(0 ,21]
R .
Sin (B) BE(- , )
KOMPLEX KONJUGIERT
1(m z O
= axb (komplex)
B e
-
b
1 . "
(komplex Konjugiert)
, Kurzklausur 1 bis Folie 21 am 03 . 05 .
E-UMGEBUNGEN Mengen
-Umgebungen sind Intervalle (Mengen) ,
welche entweder offen oder geschlossen sein können .
Offen :
Zahlenstrahl (Beispiel in R
·E A
A
I
a + E
irgendeine
Zahl
-
Intervall
offizielle
Definition :
Un(a) =
(keR/-à(s) -> Intervallschreibweise :
(a-Ex , a+ a)
-
Abstandsfuktion
abgeschlossen
:
Zahlenstrahl (Beispiel in R
a a + E
0 a
-
E
irgendeine
Zahl
2) E)
,
offizielle · Ha(a) =
(xeRF - a =
Intervallschreibweise : (a -E a +
-
Definition
Intervall
M
genevell gilt sind
Umgebungen offene Intervalle Normalfall
:
im (im
e-
R2 das
im sind
E-Umgebungen innere von Kreisen
M3 das innere
im sind
E-Umgebungen von
Kugeln
Menge
E radius
=
von
des
a
Kreises
E E
&
E
A
DER
Topologische Eigenschaften von
Mengen
:
Ein Punkt ED heißt innerer Punkt D, Denthalten ist
-Umgebung
a wenn eine die
~ . von es von ä
gibt, ganz in .
heißt offen, jeder Punkt Punkt ist
Bedingung
2 .
D wenn von D ein innerer .
:
Teil des Randes gehört zul
~kein
3 .
Ein Vektor E .
R" .
heißt Randpunkt
.
von D, wenn die
E-Umgebung Pa(b) von 5 mindestens einen Punkt aus D und mindestens einen Punkt
nicht aus D enthällt Die .
Menge aller Randpunkte heißt Rand
enthält
heißtabgeschlossen wennsiealle Randpunkte
4 .
ihre
Bedingung eine
-> ,
heißtbeschränkt wenns stehen
5 .
es
, könnte , a l te
unendlich großen
Menge enthalten sind (bei Megen geht das nicht
D heißt kompakt, beschränkt und ist
6 .
wenn D
abgeschlossen .
Beispiele
{(x y)(x 03 {(x y)/x y , y303
+
my 221 Dz
=
Dn =
, +
y
,
yz ny
,
für offen
bedingung für abgeschlossen bedingung
-
& ·
~ abgeschlossen
Komp
-
und h
ach
- >
⑫ X
~ offen (keine Randpunktel
-
,NIVEAUMENGEN Und PARTIELLE FUNKTIONEN
"Parabel Becher"
Z
E
f(x y) ,
=
x + y2
liegende" Partielle Funktion "fixieren
Il
In der Ebene Parabel :
:
eines Punkten laufen lassen
von nur einer
2
Beispiel :
/(f(n y) ,
=
n + y2 Variablen
23
=
2) {(x y)(x + y
- der "fixirte" Punkt
(r ,
ein
=
Nz =
Nn 13
z
=
E(x y) x2 ,
+ y =
gelassen f(x)
hat die Funktion :
=x -1
3x Gerade
-Tz
13
2
N =
{(x y))
, +2 +
y =
- Einheitskreis
Die sind die auf die X-Y-Ebene projizierten "Kreise"
Y
Niveaumengen
Beispiel Nirlaumengen berechnen und Skizzieren :
-
f(x y) ,
= n -
x
42 ,
z
=
0
, z
=
1
x
, =
2
1
Y
~ Einheitskreis
1 mit r = 1
z = 0 No
=
E(x y)ER(o , = z
= f(x, y)
+x
42E) x
-
=> 0 1 -
x2 + 1
1
= - =
=>
No
=
{(x y)ER),
+2 +
y
=
13
REIHEN UND FOLGEN wiederholung
unedliche
Zahlenfolge
:
heißt
Eine
Zahlenfolge
·
Lunedlich vielen) unedliche
Anordnung von Zahlen .
->
an, 82, 03
Satz von Bolzano-Weierstraß :
&
ol
konvergent :
zahlenfolge nähert sich einem Bestimmten Wert (z . B
. 0,
+ an
Beispiel
:
an
= läuft
gegen
S
divergent :
Zahlenfolge wird immer größer oder kleiner
Beispiel an n
.
3
: =
Grenzwerte berechnen Beispiel :
B
~
2
2) binomische Formel b) .(a+b)
ar
himn
b2
=
-
(n + (a
-
-
I
: -
+
.
1 3.
&
=
n +
1
. (n+ 2
-
n)
. (4+2+n)
+
1a - b) la
n +
1
. (n+ 2
-
n- +
n)
=
(n + 2 +
n+n k+ 2 = neue darstellg
2
.
=
gefunden"
=
n + 2 + n
-
lim
-
2
n + 1 1 muss weiter gekürzt werden
n +
(n + 2 + n) ↓ &
2 . n
.(1 + )
=2 .
N ·
1 + = -
N ·
1 + .
2 n +
=> =
n -
(1 +
2
+ N
n .. +
+ n . (n + +1) 1 +
2
+ 1
z
Grenzwertbetrachtung :
geht 2
3
2 n
. +
->
gegen grenzwert =
lim
:
-
n
1 +
2
+ 1
·geht gegen
#li 5x -> O
5 5
5 => lim =
6 +
-
d
höchste
O
Merke :
wenn Potenz gleich ist, sind die Zahlen davor die Grenzwerte
, GRENZWERTE MIT MEHREREN VARIABLEN :
Falln : die Funktion ist stetig :
-> werte einsetzen
3,
+
2.
2x
Beispiel
3y
+
aus der Zentralübung on :
lim
-
=
(7 y(t(2,
,
-
1) 4x -
3 2
Fall :
2
gegen Ö gehen :
·
wie auch im Zweidimensionalen müssen wir die Grenzwerte aus verschiedenen Richtungen kommend testen
-> Grenzwert muss aus allen
Richtungen der gleiche sein .
-
lyz Sexy
-Richtung
, , 01
Beispiel aus der
Zentralübung On
( =
:
0
L
y 0
-Richtung
=
X- und
:
:
. y ausy-Richtung 0
Gyf(0 y)
2 0
. o :
+
T
,
=
=
=8
+ =
1 2
3 yz
↑
.
.
O
.y=
+
( f(x ,d) . 0
.
2
x
2
=
=
02
3xz -
z
Diagonale Richtungen :
2
2
2x2
fo((x x)
x
1
=
=
+2
=
1 ,
3x2 2x2
=
-
- o kein
=
0 +1 Grenzwert .
STELIGKEIT FUNKTIONEN MEHREREN VARIABLEN
-
VON MIT
Stetik :
Emaf(N) =
1(Xk) =>
f konnvertiert mit lim - Eine Funktion ist dann stetig, wenn der Graph a
Funktion im Definitionsbereich nahtlos gezeichnet werden kann .
Für Funktionen wird bestimmt
zwei gilt :
Stetigkeit am Punkt des
übergangs/Schnittpunktsl
->
"man kann die beiden Funktionen" durchzeichnen"
-> Grenzwert von links =
grenzwert von rechts
Beispiel im 12
S
x2 ein
f(x) 4
5
x2
-
35
1x23 4
-
=
+
x fz
=
+
16
= 5-
stetig
1
-
v xc3 ein
5
,
k
=
-
+
x+3
Klassen
stetiger Funktionen :
·
Summen, Produkte und Quotienten (wenn der Nenner + o istl stetiger Funktionen sind
stetig .
,
Polynomfunktionen Polynomfunktion f(x-xa) +Xzxz" 5x ,x
·
sind Beispiel x
stetig einer
:
=
: -
Hintereinanderausführung stetiger
·
Funktionen sind
stetig :
f(x y) ,
=
sinkxy
ER
Wurzeln
·
sind stetig
Stetigkeiten im
Mehrachsigen Vektorraum :
Beispiel aus
Zentratübung on :
E +yz
(x , y) # 0
f( y) , =
(x ,y) 0
=
was wissen wir ?
y2
·
2
+ =
0 nur wenn und =
y
↳
damit
Nullpunkt nicht wird, "2 Schritt" mit
der
ausgeschlossen wurde er im .
reingenommen
~
o(x y) ,
=
(0 , 0)
-
-> D(f) = R2
0)
=>
(0) +yz =
0
F 0
=
10 ,
->
Nicht
Stetig
