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Nombres complexesVidéo partie 1. Les nombres complexes, définitions et opérations
Vidéo partie 2. Racines carrées, équation du second degré
Vidéo partie 3. Argument et trigonométrie
Vidéo partie 4. Nombres complexes et géométrie
Fiche d'exercices Nombres complexes
Préambule
L’équation x + 5 = 2 a ses coefficients dans N mais pourtant sa solution x = −3 n’est pas un entier naturel. Il faut ici
considérer l’ensemble plus grand Z des entiers relatifs.
p
x+5=2 2x=−3 x 2 = 12 x 2 =− 2
N ,−−−−−→ Z ,−−−−−→ Q ,−−−−−→ R ,−−−−−→ C
De même l’équation 2x = −3 a ses coefficients dans Z mais sa solution x = − 32 est dans l’ensemble plus grand des
p p
rationnels Q. Continuons ainsi, l’équation x 2 = 12 à coefficients dans Q, a ses solutions x 1 = +1/ 2 et x 2 = −1/ 2
p p p
dans l’ensemble
pp des réels R. Ensuite l’équation x 2 = − 2 à ses coefficients dans R et ses solutions x 1 = + i 2 et
x2 = − i 2 dans l’ensemble des nombres complexes C. Ce processus est-il sans fin ? Non ! Les nombres complexes
sont en quelque sorte le bout de la chaîne car nous avons le théorème de d’Alembert-Gauss suivant : « Pour n’importe
quelle équation polynomiale an x n + an−1 x n−1 + · · · + a2 x 2 + a1 x + a0 = 0 où les coefficients ai sont des complexes (ou
bien des réels), alors les solutions x 1 , . . . , x n sont dans l’ensemble des nombres complexes ».
Outre la résolution d’équations, les nombres complexes s’appliquent à la trigonométrie, à la géométrie (comme nous
le verrons dans ce chapitre) mais aussi à l’électronique, à la mécanique quantique, etc.
1. Les nombres complexes
1.1. Définition
Définition 1.
Un nombre complexe est un couple (a, b) ∈ R2 que l’on notera a + i b
, NOMBRES COMPLEXES 1. LES NOMBRES COMPLEXES 2
iR
a+ib
b
i
0 1 a R
Cela revient à identifier 1 avec le vecteur (1, 0) de R2 , et i avec le vecteur (0, 1). On note C l’ensemble des nombres
complexes. Si b = 0, alors z = a est situé sur l’axe des abscisses, que l’on identifie à R. Dans ce cas on dira que z est
réel, et R apparaît comme un sous-ensemble de C, appelé axe réel. Si b = 6 0, z est dit imaginaire et si b 6= 0 et a = 0,
z est dit imaginaire pur.
1.2. Opérations
Si z = a + i b et z 0 = a0 + i b0 sont deux nombres complexes, alors on définit les opérations suivantes :
• addition : (a + i b) + (a0 + i b0 ) = (a + a0 ) + i(b + b0 )
iR
z + z0
z0
i z
0 1 R
• multiplication : (a + i b) × (a0 + i b0 ) = (aa0 − bb0 ) + i(ab0 + ba0 ). On développe en suivant les règles de la
multiplication usuelle avec la convention suivante :
i2 = −1
1.3. Partie réelle et imaginaire
Soit z = a + i b un nombre complexe, sa partie réelle est le réel a et on la note Re(z) ; sa partie imaginaire est le
réel b et on la note Im(z).
iR
i Im(z) z
Im(z) i
0 1 Re(z) R
Re(z)
Par identification de C à R2 , l’écriture z = Re(z) + i Im(z) est unique :
Re(z) = Re(z )
0
0
z=z ⇐⇒ et
Im(z) = Im(z 0 )
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