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Chapitre 1 de physique quantique : formalisme de Dirac

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Course
Physique quantique

Institution
Aix-Marseille (AMU)

Ce document constitue le premier chapitre du cours de physique quantique consacré au formalisme de Dirac avec une application à l'oscillateur harmonique.

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Type Class notes
Professor(s) Profuni
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physique quantique
mécanique quantique
formalisme de dirac
braket
hamiltonien
equation de schrödinger
espace de hilbert
oscillateur harmonique
fonction donde

Institution
Aix-Marseille (AMU)
Education
Licence
Course
Physique quantique

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Cours de Physique Quantique
Chapitre 1 : Formalisme de Dirac

Chapitre 1 : Formalisme de Dirac Cours de Physique Quantique

PLAN DU CHAPITRE
1. Introduction

1.1 Historique

1.2 Rappels

2. Formalisme de Dirac

2.1 Notation de Dirac

2.2 Conjugaison hermitique

2.3 Choix d'une représentation

2.4 Opérateur projecteur

3. Postulats de la physique quantique

4. Les représentations les plus courantes

4.1 Représentation position

4.2 Représentation impulsion

4.3 Représentation énergie

5. Théorème d'Ehrenfest

6. Annexes

Chapitre 1 : Formalisme de Dirac Cours de Physique Quantique

, PARTIE SUIVANTE
1. Introduction

1.1 Historique

1.2 Rappels

2. Formalisme de Dirac

2.1 Notation de Dirac

2.2 Conjugaison hermitique

2.3 Choix d'une représentation

2.4 Opérateur projecteur

3. Postulats de la physique quantique

4. Les représentations les plus courantes

4.1 Représentation position

4.2 Représentation impulsion

4.3 Représentation énergie

5. Théorème d'Ehrenfest

6. Annexes

Chapitre 1 : Formalisme de Dirac Cours de Physique Quantique

1.1. HISTORIQUE
1900 : Paul Ehrenfest quali
e de catastrophe ultraviolette l'impossibilité pour la
physique classique d'expliquer le spectre de rayonnement du corps noir.
Max Planck (prix Nobel 1918) réconcilie théorie et observation en faisant
l'hypothèse que la lumière est constituée de petits paquets, les quanta.
1905 : Albert Einstein (prix Nobel 1921) utilise l'idée de quanta d'énergie pour
expliquer l'eet photoélectrique. L'idée de particule de lumière est née mais le terme
de photon ne sera adopté qu'en 1926.
1913 : Niels Bohr (prix Nobel 1922) explique la stabilité des atomes grâce à
l'hypothèse des quanta, stabilité ne pouvant être expliquée par la physique classique.
1922 : Réalisation de l'expérience de Stern et Gerlach dont l'interprétation conduit à
la découverte du spin par Samuel Goudsmit et George Uhlenbeck en 1925.
1924 : Louis de Broglie (prix Nobel 1929) propose une théorie d'ondes de matière
dans laquelle il postule que les particules ont des caractéristiques ondulatoires. C'est
la vision complémentaire aux ondes de lumière vues comme des particules (les
photons). Il s'agit de la dualité onde-particule.
1925 : Naissance de la mécanique quantique moderne avec le développement de la
mécanique quantique matricielle par Werner Heisenberg (prix Nobel 1932) et Max
Born (prix Nobel 1954) d'une part et de la mécanique quantique ondulatoire par
Erwin Schrödinger (prix Nobel 1933). Paul Dirac (prix Nobel 1933) montre que ces
deux approches sont équivalentes. Wolfgang Pauli (prix Nobel 1945) énonce son
principe d'exclusion, le principe d'exclusion de Pauli, qui stipule que deux
particules, si ce sont des fermions, ne peuvent pas être dans le même état.

Chapitre 1 : Formalisme de Dirac Cours de Physique Quantique

, 1.1. HISTORIQUE
1927 : Werner Heisenberg énonce le principe selon lequel on ne peut mesurer
simultanément la position et l'impulsion avec un précision in
nie, appelé principe
d'incertitude de Heisenberg.

1920-1930 : Au sein de l'institut de physique dirigé par Niels Bohr à Copenhague
ont été élaborés en collaboration avec Werner Heisenberg, Wolfgang Pauli et Paul
Dirac les grands principes de la mécanique quantique : le principe de
correspondance (associant un opérateur mathématique à toute grandeur physique),
le principe de réduction du paquet d'onde, le principe de complémentarité
(dualité onde-particule). Le fruit de ces échanges est l'interprétation de Copenhague
(ou école de Copenhague) qui considère que le caractère probabiliste de la
mécanique quantique et le principe d'incertitude de Heisenberg résultent de
l'interaction entre l'appareil de mesure et le système quantique.
Cette interprétation sert toujours de référence aujourd'hui.
1930 : Avec l'équation de Klein-Gordon, puis l'équation de Dirac pour l'électron,
commença le processus d'uni
cation de la mécanique quantique et de la relativité
restreinte. L'équation de Dirac permit la description relativiste de la fonction d'onde
électronique qu'Erwin Schrödinger avait échoué à obtenir. Elle prédit l'existence du
spin de l'électron et conduisit Paul Dirac à postuler l'existence du positron
(anti-particule de l'électron). Introduction de la notation bra-ket.
1932 : John von Neumann formule les bases mathématiques rigoureuses de la
mécanique quantique à l'aide de la théorie des opérateurs linéaires sur les espaces de
Hilbert.

Chapitre 1 : Formalisme de Dirac Cours de Physique Quantique

1.1. HISTORIQUE
Années 30 : Les bases de l'électrodynamique quantique permettant de décrire
l'interaction entre les particules quantiques chargées et les champs
électromagnétiques sont établies par Hans Bethe (prix Nobel 1967) et Enrico Fermi
(prix Nobel 1938). Ils décrivent les interactions entre les particules chargées en
fonction des photons qu'elles échangent entre elles. Sin-Itiro Tomonaga (prix Nobel
1965), Julian Schwinger (prix Nobel 1965) et Richard Feynman (prix Nobel 1965)
développent complètement cette théorie.
1935 : Albert Einstein, Boris Podolsky et Nathan Rosen publient un article dans
lequel ils présentent une expérience de pensée basée sur l'existence de variables
cachées avec pour objectif de réfuter l'interprétation de l'école de Copenhague.
Cette expérience de pensée est appelée Paradoxe EPR (Einstein-Podolsky-Rosen).
1964 : John Bell établit un théorème permettant de quanti
er les implications du
Paradoxe EPR. Il s'agit des inégalités de Bell. Ces relations doivent être véri
ées par
les mesures d'états intriqués pour valider la théorie déterministe locale à variables
cachées.
1982 : Alain Aspect montre que les inégalités de Bell ne sont jamais véri
ées, ce
qui permet d'invalider l'hypothèse des variables cachées, et prouve la non-localité
quantique (intrication quantique, qui est très fragile !).
2009, 2017 : Téléportation quantique de l'état d'un atome d'Ytterbium à un mètre
de distance. Téléportation quantique d'états entre des photons distants de 1400 km.
2012 : Serge Haroche et David Wineland obtiennent le prix Nobel pour leurs
travaux sur les qubits, briques élémentaires des ordinateurs quantiques.

Chapitre 1 : Formalisme de Dirac Cours de Physique Quantique

, 1.2. RAPPELS
Constante de Planck Cube des théories physiques
h = 6.6260693 × 10−34 J.s
Introduite via la relation de
Planck-Einstein, E = hν , qui
relie l'énergie E , concept lié à
la nature corpusculaire, et la
fréquence ν , concept lié à sa
nature ondulatoire
Unité naturelle du moment
cinétique, du spin et de l'action
Constante fondamentale au
même titre que la vitesse de la
lumière dans le vide c et que la
constante de Newton G
Depuis 2018, h est utilisé pour Lorsque certaines quantités (action,

dé
nir le kilogramme masse, vitesse, etc...) sont de l'ordre

de grandeur de ces constantes, de
Constante de Planck réduite ~ = h
2π nouveaux phénomènes apparaissent

Chapitre 1 : Formalisme de Dirac Cours de Physique Quantique

1.2. RAPPELS
Équation de Schrödinger dépendante du temps
∂
i~ b r , t)
ψ(~r , t) = Hψ(~ (1)
∂t
où ψ(~r , t) est la fonction d'onde et Hb l'Hamiltonien donné par
~2
b
H=− ∂x2 + ∂y2 + ∂z2 + V (~r , t) (2)
2m
Principe de correspondance : à toute grandeur physique est associé un opérateur
Commutateur entre deux opérateurs
b B]
[A, b = AbB b−BbAb (3)
Théorème d'Ehrenfest
d Ab ∂ Ab 1 b b
= + [A, H] (4)
dt ∂t i~
Valeur moyenne et écart type
Z q
bψ=
hAi ∗ b r )ψ(~r ) et ∆Abψ =
d~r ψ (~r )A(~ b2
hAb2 iψ − hAi (5)
ψ
R
Inégalités de Heisenberg
~ ~
∆b p≥
x ∆b et ∆E ∆t ≥ (6)
2 2

Chapitre 1 : Formalisme de Dirac Cours de Physique Quantique

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