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Résumé Ce cours est destin´e aus ´etudiants de premi`ere ann´ee LMD Math´ematiques et Informatique.

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Course
Mathématique

Institution

Ce polycopi´e d’Analyse 1 est destin´e aux ´etudiants de la premi`ere ann´ee Math´ematiques Informatique (MI), et aussi `a tous les ´etudiants de la premi`ere ann´ee LMD des fili`eres technologiques et scientifiques. Il permettra aux ´etudiants d’apprendre `a raisoner, en outre il pr...

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Uploaded on June 18, 2022
Number of pages 87
Written in 2019/2020
Type Summary

polycopié de cours
analyse 1
premiere anneé lmd
valeur absolue
axiomatique
suites numerique
suites monotones
mathematiques et infortmatique

Institution Secondary school
Education Unknown
Mathématique
School year 3

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République Algérienne Démocratique et Populaire
Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique
Université Mustapha Stambouli-Mascara-
Faculté des Sciences Exactes
Département de Mathématiques

Polycopié de Cours

Analyse 1

Préparé par: BOUTEFFAL Zohra

Ce cours est destiné aus étudiants de première année LMD
Mathématiques et Informatique.

Année universitaire 2019-2020

,Table des matières

Avant-Propos 5

1 Le Corps des Nombres Réels 8
1.1 Sous-ensemble remarquables de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 L’ensemble des réels, axiomatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Valeur Absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 La fonction partie entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5 Les intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6 Les types d’intervalles de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.7 Borne supérieure et inférieure d’un sous ensemble de R . . . . . . . . . 15
1.7.1 Majorants, minorants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.7.2 Maximum, minimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.7.3 Borne supérieure, borme inférieure . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.8 R est un coprs archimèdien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.9 Droite numérique achevée de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Suites de Nombres Réels 19
2.1 Généralités sur les suites numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Suites convergentes-Suites divergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3 Convergence des suites monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2

, 3

2.4 Suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.5 Limite inférieure et limite supérieure d’une suite . . . . . . . . . . . . . 25
2.6 Théorème de Bolzano-Weierstass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.7 Suites de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3 Limites et continuité des fonctions 29
3.1 Définition d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 Fonctions paires-impaires et périodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3 Limite d’une fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.4 Continuité d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.5 Suites récurrentes et fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.6 Opérations sur les fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.7 Prolongement par continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.8 Continuité uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.9 Théorèmes Fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.10 Inverse des fonctions monotones et continues . . . . . . . . . . . . . . . 45

4 Fonctions dérivables 47
4.1 Dérivée en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2 Dérivée à gauche , dérivée à droite- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.3 Opérations sur les fonctions dérivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.4 Dérivées successives et formule de Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.5 Théorème de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.6 Théorème des Accroissements Finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.7 Règle de l’Hopital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5 Fonctions Élémentaires 64
5.1 Logarithme népérien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

, 4

5.2 Exponentielle népérienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.3 Fonction puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.4 Fonctions exponentielle de base a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.5 Croissances comparées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.6 Fonctions trigonométriques et leurs inverses . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.6.1 La fonction Arc sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.6.2 La fonction Arc cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.6.3 La fonction Arc tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.7 Fonctions hyperboliques et leurs iverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.7.1 Fonctions sinus et cosinus hyperboliques . . . . . . . . . . . . . 80
5.7.2 Fonction tangente hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Références 87

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