Class notes

Mathématiques - Chapitre 2 "Fonctions De Plusieurs Variables" - S1L1

9 views 0 purchase

Course
Mathématiques

Institution
Aix-Marseille (AMU)

Dans ce fichier vous y trouverez tout le contenu du cours de Mathématiques sur le Chapitre 2. Avec toutes les notions, calculs, théorèmes ainsi que de nombreux exemples pour approfondir les notions.

[Show more]

Preview 2 out of 10 pages

View example

Uploaded on August 3, 2022
Number of pages 10
Written in 2021/2022
Type Class notes
Professor(s) Gilly maxime
Contains All classes

mathématiques
fonction
variable
sens de variations
extremums
licence 1
condition
optimisation
maximisation
minimisation
dérivée
fraction
croissance
économie

Institution
Aix-Marseille (AMU)
Education
Economie & Gestion
Course
Mathématiques

CA$9.22

Added

Add to cart

Add to wishlist

100% satisfaction guarantee
Immediately available after payment
Both online and in PDF
No strings attached

CHAPITRE 2 :
FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES

INTRODUCTION :
Dans ce chapitre nous allons étudier des fonctions qui dépendent non plus d’une variable x mais de 2
variables x et y ou 3 variables (x, y, z ou x, y, ƛ).
x
EXEMPLES :
• Aire d’un rectangle y
A (x, y) = x y à 2 variables
• Pour un concert, si on considère x places à 50€, y places à 20€ et z places à 10€.
La recette est alors R (x, y, z) = 50x+20y+10z à 3 variables.

I. "DÉRIVÉE" D’UNE FONCTION DE PLUSIEURS VARIABLES

La notion de dérivée à une fonction de plusieurs variable n’existe pas !
Il existe : • Des dérivées partielle ;
• Le gradient ;
• Un différentiel.

DÉFINITIONS : (dérivée partielle)
• En 2 variables, une fonction f (x, y) possède 2 dérivées partielles.
𝓞𝐟
(x, y) est la dérivée partielle de f en x, c’est-à-dire la dérivée de la fonction Xàf (x, y).
𝓞𝐱
𝓞𝐟
(x, y) est la dérivée partielle de f en y, c’est-à-dire la dérivée de la fonction yà f (x, y).
𝓞𝐲

𝒪f
EXEMPLE : f (x, y) = 𝑥 + 𝑦 ! 𝒪x (𝑥, 𝑦) = 1
𝒪(
(𝑥, 𝑦) = 2𝑦
𝒪)

En pratique pour calculer une dérivée partielle par rapport à une variable, on considère que les autres
variables sont fixes puis on dérive comme une fonction de variable.

• En 3 variables c’est le même principe, une fonction f (x, y, z) possède 3 dérivées partielles
𝓞𝐟 𝓞𝐟 𝓞𝐟
(x, y, z) (x, y, z) (x, y, z)
𝓞𝐱 𝓞𝐲 𝓞𝐳

EXEMPLES :
• 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 " + 3𝑥𝑦 + 4𝑦 "
𝒪f
(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 + 3𝑦
𝒪x
𝒪f
(𝑥, 𝑦) = 3𝑥 + 8𝑦
𝒪y
• 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 " 𝑦 " + 𝑥𝑦𝑧 + 𝑦
𝒪f
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑥𝑦 " + 𝑦𝑧
𝒪x
𝒪f
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑥 " 𝑦 + 𝑥𝑧 + 1
𝒪y
𝒪f
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦
𝒪z

, DÉFINITION : On appelle gradient le vecteur colonne forme de toutes les dérivées partielles de f. On le
note 99999999999⃗
grad f(x, y) ou ∇𝑓 (∇ est une lettre groupe "noble")

En 2 variables :
𝒪f
999999999999999⃗
𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓 (𝑥, 𝑦) =
𝒪x
𝒪f
𝒪y
En 3 variables :
𝒪f
999999999999999⃗
𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧) =
𝒪x
𝒪f
𝒪y
𝒪f
𝒪z

EXEMPLE : 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 2𝑥𝑦 " + 3𝑦 #
999999999999999⃗
𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓 (𝑥, 𝑧) = 1 + 2𝑦 "
4𝑥𝑦 + 12𝑦 $

II. DÉRIVÉES PARTIELLE SECONDES ET MATRICE HESSIENNE

DÉFINITION : (Dérivée partielles secondes ou dérivées partielles d’ordre 2)
• En 2 variables, f (x, z) possède dérivée partielle seconde.
𝒪!& 𝒪&
(𝑥, 𝑦) est la dérivée de x ↦ (𝑥, 𝑦)
𝒪'𝒪' 𝒪'
𝒪!& 𝒪&
(𝑥, 𝑦) est la dérivée de y ↦ (𝑥, 𝑦)
𝒪(𝒪' 𝒪'
𝒪!& 𝒪&
(𝑥, 𝑦) est la dérivée de x ↦ (𝑥, 𝑦)
𝒪'𝒪( 𝒪(
𝒪!& 𝒪&
(𝑥, 𝑦) est la dérivée de y ↦ (𝑥, 𝑦)
𝒪(𝒪( 𝒪(

Notation :
𝒪!& 𝒪!&
𝒪'𝒪'
peut se notée 𝒪) !
𝒪!& 𝒪!&
𝒪(𝒪(
peut se notée 𝒪* !

EXEMPLE : 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 $ + 𝑥𝑦 " + 𝑦 #
𝒪&
• Dérivées partielles : (𝑥, 𝑦) = 3𝑥 " + 3𝑦 "
𝒪'
𝒪&
(𝑥, 𝑦) = 6𝑥𝑦 + 4𝑦 "
𝒪'
𝒪!&
• Dérivée partielles secondes : 𝒪) ! = 6𝑥
𝒪" f
= 6𝑦
𝒪y𝒪x
Elles sont égales
𝒪" f
= 6𝑦
𝒪x𝒪y
𝒪" f
= 6𝑥 + 12𝑦 "
𝒪𝑦 "

The benefits of buying summaries with Stuvia:

Guaranteed quality through customer reviews

Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.

Quick and easy check-out

You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.

Focus on what matters

Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!

Frequently asked questions

What do I get when I buy this document?

You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.

Satisfaction guarantee: how does it work?

Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.

Who am I buying these notes from?

Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller DamienGth. Stuvia facilitates payment to the seller.

Will I be stuck with a subscription?

No, you only buy these notes for CA$9.22. You're not tied to anything after your purchase.

Can Stuvia be trusted?

4.6 stars on Google & Trustpilot (+1000 reviews)

80461 documents were sold in the last 30 days

Founded in 2010, the go-to place to buy study notes for 14 years now

Start selling