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Résumé Mathématique sur les probabilités

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Course
Mathématique

Institution
Lycée

Ceci un cours résumé de la leçon des probabilités. Il est assez court bref et va directement au vif du sujet donc vous retrouvez dessus toutes les notions fondamentales pour assimiler comme il se doit ce cours.

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Uploaded on November 25, 2022
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Written in 2022/2023
Type Summary

mathematiques
probabilités
lycée
cours résumé

Institution Secondary school
Education Lycée
Course
Mathématique
School year 1

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Probabilités Vocabulaires
 Expérience aléatoire : Toute expérience dont on ne connait pas ses résultats d’avance et
 Possibilité : tout résultat d’une expérience aléatoire définitions
 Univers des possibilités : l’ensemble de toutes les éventualités, noté 𝛀
 L’événement : toute partie de 𝛀
 L’événement contraire : est l’événement noté 𝑨 ̅ et qui vérifie : 𝑨 ∪ 𝐀
̅ = 𝑬 et 𝑨 ∩ 𝐀
̅=∅
 L’événement 𝐀 ∩ 𝐁 : se réalise lorsque 𝐀 et 𝐁 sont réalisés en même temps
 L’événement 𝐀 ∪ 𝐁 : se réalise lorsque l’un au moins des éventualités 𝐀 ou 𝐁 est réalisé.
 𝐀 et 𝐁 sont incompatibles (ou disjoints) : si 𝐀 ∩ 𝐁 = ∅

𝑷(𝛀) = 𝟏 et 𝑷(∅) = 𝟎 et 𝟎 ≤ 𝑷(𝐀) ≤ 𝟏 et 𝑷(𝑨 ∪ 𝑩) = 𝑷(𝑨) + 𝑷(𝑩) − 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩)
Propriétés ̅ ) = 𝟏 − 𝑷(𝑨)
𝑷(𝐀
La probabilité d’un 𝑪𝒂𝒓𝒅(𝑨)
 Equiprobabilité : 𝑷(𝑨) =
événement 𝑪𝒂𝒓𝒅(𝛀)

La probabilité  La probabilité de 𝑩 sachant que 𝑨 est réalisé
conditionnelle 𝑷(𝑨∩𝑩)
𝑷𝐀 (𝐁) = (𝑷(𝑨) ≠ 𝟎)
𝑷(𝑨)
L’indépendance  𝐀 et 𝐁 sont indépendants ssi: 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) = 𝑷(𝑨) × 𝑷(𝑩)
Répétition Soit A un événement de probabilité 𝑝 dans une expérience aléatoire
d’expériences on répète cette expérience 𝑛 fois.
identiques et La probabilité de réalisation de A , exactement k fois est :
indépendantes 𝑪𝒌𝒏 𝒑𝒌 (𝟏 − 𝒑)𝒏−𝒌

Variables aléatoires
une variable aléatoire est toute application 𝑋 de Ω vers 
 L’ensemble des valeurs prise par 𝑿 est noté :
loi de 𝑿(𝛀) = {𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 , 𝒙𝟑 , … , 𝒙𝒏 }
probabilité  La détermination de la loi de probabilité de 𝑿 :
d’une signifie le calcul des probabilités des événements (𝑋 = 𝑥𝑖 ) avec 𝑖 ∈ {1,2, … , 𝑛}
variable On résume la loi de probabilité de𝑋 dans le tableau :
aléatoire 𝒙𝒊 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 … 𝒙𝒏
𝒑(𝑿 = 𝒙𝒊 ) 𝒑𝟏 𝒑𝟐 𝒑𝟑 … 𝒑𝒏
 Remarque : 𝒑𝟏 + 𝒑𝟐 + 𝒑𝟑 + ⋯ . 𝒑𝒏 = 𝟏
L’éspérence mathématique : 𝑬(𝑿) = 𝒙𝟏 . 𝒑𝟏 + 𝒙𝟐 . 𝒑𝟐 + 𝒙𝟑 . 𝒑𝟑 + ⋯ + 𝒙𝒏 . 𝒑𝒏
𝟐 𝟐
 La variance : 𝑽(𝑿) = 𝑬(𝑿²) − (𝑬(𝑿)) = 𝒙𝟐𝟏 . 𝒑𝟏 + 𝒙𝟐𝟐 . 𝒑𝟐 + 𝒙𝟐𝟑 . 𝒑𝟑 + ⋯ + 𝒙𝟐𝒏 . 𝒑𝒏 − (𝑬(𝑿))
 L’écart-type : 𝝈(𝑿) = √𝑽(𝑿)
Soit 𝐀 un événement de probabilité 𝒑 dans une expérience aléatoire
La loi on répète cette expérience 𝒏 fois.
binomiale La variable aléatoire 𝑿 qui est égale au nombre de fois de réalisation de 𝐀
s’appelle variable aléatoire binomiale de paramètres 𝒏 et 𝒑
on a : X ()  0,1, 2,..., n
∀𝒌 ∈ {𝟏, 𝟐, … 𝒏} 𝒑(𝑿 = 𝒌) = 𝑪𝒌𝒏 𝒑𝒌 (𝟏 − 𝒑)𝒏−𝒌
𝑬(𝑿) = 𝒏𝒑 et 𝑽(𝑿) = 𝒏𝒑(𝟏 − 𝒑)

lagdem.smhd@gmail.com 40 +212676453608

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