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OUTIL MATHEMATIQUES : CALCUL VICTORIEL
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Programme Pédagogique Français (Génie Mécanique TSI 1)
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TAHAMCH
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edCPGE : M V Beni-Mellal
*pQLH0pFDQLTXH
0DWK6XS76, Doc : 1/10
287,/60$7+K0$7,48(6
&$/&8/9(&725,(/ Prof : M.ELBEKRI
1. BASE- REPERE D’UN ESPACE-REFERENTIEL.
1.1. Base:
Une base est constituée par trois vecteurs matérialisant trois directions.
Une base peut prendre n’importe quelle position dans l’espace tout en restant toujours la même, à condition
que l’orientation (rotation) de chacun de ses trois vecteurs ne change pas.
Base orthonormée et directe :
On dit que la base ( x , y, z ) constituée des trois vecteurs x , y et z est :
- Normée : si x y z 1.
- Orthogonale : si x ! y et x ! z et y ! z .
- Directe : si x " y z ou y " z x ou z " x y .(voir produit vectoriel)
On remarque que si la base ( x , y, z ) est directe, alors la base ( x , z , y ) n’est pas directe.
L’ordre d’écriture des vecteurs de la base est important, et la base ne change pas en gardant cet ordre,
ainsi on a ( x , y, z ) ( y , z , x ) ( z , x , y ) .
Dans le cours de mécanique on utilisera des bases orthonormées et directes.
Ces deux bases sont égales, même si leurs positions dans l’espace sont différentes
z car les vecteurs de la première base sont parallèles à ceux de la deuxième.
y
x z
y
z1
Cette base est x
Différente des y1
deux autres
x1
1.2. Repère:
Un repère est constitué d’une base et d’un point. Ce point est appelé l’origine du repère.
Contrairement à une base, un repère n’a qu’une seule position dans l’espace à cause de son point (origine)
qui ne peut avoir qu’une seule position dans un espace.
Avec une seule base on peut former une infinité de repères, en changeant à chaque fois son origine.
Avec un seul point on peut former une infinité de repères en lui associant des bases à orientations
différentes.
Deux repères différents même s’ils ont la
z même base, car leurs origines sont différentes.
y
A z
x Repère
# A, x , y, z $
B y
x Repère
z
z1 #B, x , y , z $
Deux repères différents qui y1
ont la même origine.
#C , x , y, z $ et #C , x1 , y1 , z1 $ C y
x
x1
, ed
CPGE : M V Beni-Mellal
*pQLH0pFDQLTXH
0DWK6XS76, Doc : 2/10
287,/60$7+K0$7,48(6
&$/&8/9(&725,(/ Prof : M.ELBEKRI
1.3.Référentiel :
C’est un repère spatial lié à une origine des temps (ou des dates).
On appelle la date « t » ou l’instant « t » le temps écoulé depuis l’origine des temps ( t=0). Le déplacement
dans ce référentiel est en fonction du temps c'est-à-dire ; quand on se déplace, le temps s'écoule.
En mécanique classique le repère temporel est fixe (on commence à t=0).
2. PRODUIT SCALAIRE DE DEUX VECTEURS.
Soient deux vecteurs A et B formant un angle entre eux.
Le produit scalaire des deux vecteurs A et B est un scalaire (ou un réel) noté A . B tel que :
A.B # A . B . cos # A . B . cos( 2! " ) A
A : Norme du vecteur A
B
Si les deux vecteurs A et B sont définis par leurs coordonnées dans un repère
+XA( +XB (
) & ) &
orthonormé directe R$O, x , y, z % comme A) Y A & et B) YB & alors
)Z & )Z &
* A 'R * B 'R
+XA ( +XB (
) & ) &
On a A.B # ) YA & .) YB & # X A . X B , YA .YB , Z A .Z B
)Z & )Z &
* A 'R * B 'R
Si les deux vecteurs A et B sont perpendiculaires alors A.B # 0 .
le produit scalaire est commutatif : A.B # B. A
2
A. A # A 2 # A = le carré de la norme de A .
Le produit scalaire d’un vecteur A et d’un vecteur unitaire x (par exemple) : A.x
représente la projection de ce vecteur A sur la direction de x .
A
x A.x # h
h
3. PRODUIT VECTORIEL DE DEUX VECTEURS :
3.1.Definition :
Soient deux vecteurs A et B formant un angle entre eux.
Le produit vectoriel des deux vecteurs A et B est un vecteur noté A - B tel que :
. sa norme A - B # A . B . sin
. Sa direction est perpendiculaire à A et perpendiculaire B (ou perpendiculaire au plan ( A.B ) ).
B
Direction de A - B
A
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