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Mathématiques - Dérivabilités

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Course
Mathématiques

Institution
Montpellier I (UMI)

Le document est un cours sur les fonctions et la dérivation en mathématiques. Il est organisé en deux grandes parties, chacune subdivisée en unités et sous-unités. La première partie, intitulée "Approche graphique et nombre dérivé", comprend trois sections. La première section est une...

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Uploaded on March 1, 2023
Number of pages 17
Written in 2020/2021
Type Other
Person Unknown

rappel bac
mathématiques
licence
gestion
licence gestion
licence eco gestion
statistiques
dérivé
fonction
fonction composée
variation
extrema
propriétés
théorèmes
exemple
graphique
nombre dérivé
fonct

Institution
Montpellier I (UMI)
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Licence Gestion
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1. Other - Mathématiques - généralités sur les fonctions
2. Other - Mathématiques - dérivabilités
3. Other - Mathématiques - plan d’étude d’une fonction
4. Other - Mathématiques - logarithme népérien
5. Other - Mathématiques - les fonctions exponentielle et puissance
6. Other - Mathématiques - primitives et intégrales
7. Other - Mathématiques - compléments sur les fonctions
8. Other - Mathématiques - les suites numériques
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L1-SDG-Mathématiques 1 P. Loup - L. Bonifas

Module 2:
Dérivabilité

Table des matières

Unité 1 - Approche graphique et nombre dérivé ...................................................................... 2
I - Introduction ................................................................................................................................. 2
II - Approche graphique................................................................................................................... 3
III - Nombre dérivé ........................................................................................................................... 4
1 ) Définition............................................................................................................................................... 4
2 ) Interprétation graphique : équation d’une tangente ................................................................................. 5
3 ) Nombre dérivé à gauche, nombre dérivé à droite .................................................................................... 6
Unité 2 - Fonction dérivée......................................................................................................... 7
I - Dérivation sur un intervalle ........................................................................................................ 7
II - Dérivées des fonctions usuelles .................................................................................................. 7
III - Règles de dérivation .................................................................................................................. 8
1 ) Forme f+g .............................................................................................................................................. 8
2 ) Forme kf (k réel) .................................................................................................................................... 8
3 ) Forme f x g ............................................................................................................................................ 9
4 ) Forme f x f ............................................................................................................................................. 9
5 ) Forme 1/f ............................................................................................................................................. 10
6 ) Forme f/g ............................................................................................................................................. 10
7 ) Tableau récapitulatif des opérations sur les fonctions dérivables :......................................................... 11
8 ) Exemples de dérivation nécessitant l’utilisation de différentes opérations ............................................. 12
IV - Dérivée d’une fonction composée ........................................................................................... 13
V - Dérivées et variations ............................................................................................................... 14
VI - Recherche des extrema d’une fonction .................................................................................. 14
1 ) Définitions et propriétés ....................................................................................................................... 14
2 ) Exemple d’application.......................................................................................................................... 16

Page

,L1-SDG-Mathématiques 1 P. Loup - L. Bonifas

Module 2:
Dérivabilité

Unité 1 - Approche graphique et nombre dérivé

I - Introduction

Le « taux de variation » mesure la variation relative entre deux grandeurs, il peut représenter
par exemple un taux d'évolution entre deux dates.

Mathématiquement, c'est l'écart entre deux valeurs prises par une fonction rapporté à l'écart
qui existe entre leurs deux antécédents.

f ( x) − f (a)
taux de variation =
x−a

Donc, ici, a et x correspondent à deux abscisses.

Il est équivalent de raisonner directement avec l'écart entre a et x, qu'on appelle généralement
h , soit : h = x − a ce qui permet d’écrire : x = a + h

f ( a + h) − f ( a )
taux de variation =
h

Pourquoi évoquer ces notions ici ?

Parce que la définition de la dérivée en un point a , f  ( a ) ,fait intervenir le taux de
variation.

C'est la limite de celui-ci lorsque h tend vers zéro.

f ( a + h) − f ( a )
f '(a) = lim
h →0 h

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II - Approche graphique

La dérivée est un outil mathématique qui permet de déterminer la pente d'une courbe.

Prenons une fonction f et un point a sur l'axe des abscisses et essayons de mesurer la pente de
la courbe au point M d'abscisse a.

Cette pente est égale à la pente de sa tangente au même point.

On sait calculer la pente c d'une droite qui passe par deux points A et B avec la formule :

yB − y A
c=
xB − xA

Mais ici nous n'avons qu'un point M.
Prenons donc un nombre h au hasard et plaçons sur la courbe le point N d'abscisse a+h.

Les points M et N ont pour coordonnées :

M (a, f (a))
N(a+ h, f (a+ h))

La droite (MN) a donc pour coefficient directeur :

f (a+ h) - f (a) f (a+ h) - f (a)
c= =
(a+ h) - a h

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