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Mathématiques - Plan d’étude d’une fonction

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Course
Mathématiques

Institution
Montpellier I (UMI)

Ce document est un cours de mathématiques qui couvre divers sujets liés au calcul et aux fonctions. Le cours est divisé en trois unités, chaque unité couvrant différents sous-thèmes. L'unité 1 s'intitule "Quelques compléments" et couvre des concepts supplémentaires liés au calcul diff...

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Uploaded on March 1, 2023
Number of pages 19
Written in 2020/2021
Type Other
Person Unknown

rappel bac
rappel mathématiques
licence
licence gestion
licence eco gestion
mathématiques
statistiques
fonction
plan
graphique
théorème
propriété
bijection
domaine de définition
parité
périodicité
bor

Institution
Montpellier I (UMI)
Education
Licence Gestion
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Mathématiques

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1. Other - Mathématiques - généralités sur les fonctions
2. Other - Mathématiques - dérivabilités
3. Other - Mathématiques - plan d’étude d’une fonction
4. Other - Mathématiques - logarithme népérien
5. Other - Mathématiques - les fonctions exponentielle et puissance
6. Other - Mathématiques - primitives et intégrales
7. Other - Mathématiques - compléments sur les fonctions
8. Other - Mathématiques - les suites numériques
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L1-SDG-Mathématiques 1 P. Loup - L. Bonifas

Module 3:
Plan d’étude d’une fonction

Table des matières

Unité 1 - Quelques compléments ........................................................................................................2
I - Théorème des valeurs intermédiaires ....................................................................................................2
1 ) Enoncé du théorème............................................................................................................................................... 2
2 ) Exemples ............................................................................................................................................................... 2
II - Théorème de la bijection........................................................................................................................4
III - Fonctions réciproques ..........................................................................................................................4
1 ) Définition et existence d’une fonction réciproque ................................................................................................. 4
2 ) Exemple de détermination de la fonction réciproque............................................................................................. 5
3 ) Autres propriétés .................................................................................................................................................... 6
IV - Quelques fonctions de référence ..........................................................................................................7
Unité 2 - Plan d’étude d’une fonction ................................................................................................8
I - Domaine de définition ..............................................................................................................................8
II - Parité, périodicité, conséquences graphiques ......................................................................................9
1 ) Parité ...................................................................................................................................................................... 9
2 ) Périodicité ............................................................................................................................................................ 10
III - Limites aux bornes : asymptotes parallèles aux axes ......................................................................10
IV - Variations de la fonction.....................................................................................................................10
V - Tableau de variations complet avec précision des extrema ..............................................................11
VI - Etude des branches infinies ................................................................................................................11
VII - Intersection avec les axes ..................................................................................................................12
VIII - Représentation graphique ...............................................................................................................12
1 ) Définir et tracer le repère ..................................................................................................................................... 12
2 ) Tracer les asymptotes éventuelles ........................................................................................................................ 12
3 ) Placer les extrema ................................................................................................................................................ 13
4 ) Placer les points particuliers ................................................................................................................................ 13
5 ) Tracer la courbe représentative ............................................................................................................................ 13
Unité 3 - Exemples : ..........................................................................................................................14

Page

,L1-SDG-Mathématiques 1 P. Loup - L. Bonifas

Module 3:
Plan d’étude d’une fonction

Unité 1 - Quelques compléments

I - Théorème des valeurs intermédiaires

1 ) Enoncé du théorème

Théorème :

▪ Soit f une application continue sur I
▪ Soient I un intervalle, a et b  I avec a  b
▪ Soit   R compris entre f ( a ) et f (b)

Alors, il existe au moins un réel c dans  a, b tel que : f (c) = 
(ie l’équation f ( x) =  admet au moins une solution dans  a, b  )

Le théorème des valeurs intermédiaires est d’une compréhension assez intuitive. Si une fonction est
continue entre deux abscisses a et b, elle prend toutes les valeurs comprises entre leurs images f(a) et
f(b) ; et réciproquement.

2 ) Exemples

1- Etape du tour de France : PAU - HAUTACAM
▪ Etape de 156 km.
▪ Ville de départ : PAU, altitude 200m
▪ Ville d’arrivée : HAUTACAM, altitude 1520m

Profil de l'étape Pau-Hautacam du Tour de France 2008

Page

, L1-SDG-Mathématiques 1 P. Loup - L. Bonifas

Le profil de l'étape est une fonction définie sur l'intervalle [0;156] et à valeurs réelles.

À tout nombre x de [0;156], elle associe l'altitude du point situé à x kilomètres du départ.

Puisque les altitudes s'échelonnent au moins de 200 à 1 520m (certaines peuvent être inférieures à
200m et d’autres supérieures à 1520m), il paraît évident que les coureurs ont dû passer au moins une
fois par toutes les altitudes intermédiaires.

Cependant, cette constatation s'appuie sur deux hypothèses :

• le parcours est un intervalle, ce qui suppose que l'espace est un continuum, c'est-à-dire qu'il n'y
a pas de « trou » entre 0 et 156.
• la fonction altitude est continue, ce qui signifie qu'une variation infinitésimale du kilométrage
entraîne une variation infinitésimale de l'altitude : en d'autres termes, un coureur ne peut pas
se téléporter instantanément d'une altitude à une autre.

Illustration : cas où  = 1000 m

Le coureur passera ainsi au moins une fois par l'altitude 1 000 m.

Le théorème des valeurs intermédiaires formalise ce raisonnement empirique :

Il existe au moins un réel c   0;156 tel que : f (c) = 1000

2- Polynôme de degré impair :

Toute fonction polynôme P ( x) , à coefficients réels de degré impair admet au moins une racine réelle
(ie telle que P ( x ) = 0 ).

En effet, le degré de P ( x) étant impair, on a :

lim P( x) = − et lim P( x) = +
x →− x →+

Donc :
▪ a  R / x  a, on ait P( x)  0

▪ b  R / x  b, on ait P( x)  0

Comme P ( x) est une fonction continue, le théorème des valeurs intermédiaires permet d’affirmer
l’existence d’un réel c tel que : P(c) = 0 .

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