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Mathématiques - Compléments sur les fonctions

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Course
Mathématiques

Institution
Montpellier I (UMI)

Ce document est un manuel de mathématiques portant sur le thème du calcul intégral. Il est organisé en trois unités. La première unité est consacrée aux primitives d'une fonction. Elle commence par une définition et des exemples, suivis de propriétés. Elle aborde également les primitive...

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Uploaded on March 1, 2023
Number of pages 23
Written in 2020/2021
Type Other
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mathématiques
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statistiques
fonction
plan graphique
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propriété
bijection
domaine de définition
parité
périodicité
bornes
limites
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Institution
Montpellier I (UMI)
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Licence Gestion
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Mathématiques

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1. Other - Mathématiques - généralités sur les fonctions
2. Other - Mathématiques - dérivabilités
3. Other - Mathématiques - plan d’étude d’une fonction
4. Other - Mathématiques - logarithme népérien
5. Other - Mathématiques - les fonctions exponentielle et puissance
6. Other - Mathématiques - primitives et intégrales
7. Other - Mathématiques - compléments sur les fonctions
8. Other - Mathématiques - les suites numériques
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L1-SDG-Mathématiques 1 P. Loup - L. Bonifas

Module 7:
Compléments sur les fonctions
Table des matières

Unité 1 - Eléments de symétrie d’une fonction ..................................................................................2
I - Détermination d’un centre de symétrie ................................................................................................ 2
1 ) Définition.......................................................................................................................................................... 2
2 ) Exemples .......................................................................................................................................................... 3
II - Détermination d’un axe de symétrie ................................................................................................... 5
1 ) Définition.......................................................................................................................................................... 5
2 ) Exemples .......................................................................................................................................................... 5
Unité 2 - Point d’inflexion, concavité et convexité ............................................................................8
I - Point d’inflexion ..................................................................................................................................... 8
1 ) Introduction et rappels....................................................................................................................................... 8
2 ) Définition d’un point d’inflexion ....................................................................................................................... 8
3 ) Exemples .......................................................................................................................................................... 9
II - Concavité et convexité ........................................................................................................................ 11
1 ) Fonction convexe ............................................................................................................................................ 11
2 ) Fonction concave ............................................................................................................................................ 12
3 ) Exemples ........................................................................................................................................................ 13
Unité 3 - Etude des branches infinies ...............................................................................................16
I - Asymptote parallèle à l’axe des ordonnées ........................................................................................ 16
1 ) Définition........................................................................................................................................................ 16
2 ) Exemple .......................................................................................................................................................... 16
II - Asymptote parallèle à l’axe des abscisses ......................................................................................... 17
1 ) Définition........................................................................................................................................................ 17
2 ) Exemple .......................................................................................................................................................... 18

III - Cas où lim f ( x) =  ............................................................................................................... 19
x →
1 ) Asymptote oblique .......................................................................................................................................... 19
a ) Définition .................................................................................................................................................... 19
b ) Exemple ...................................................................................................................................................... 19
2 ) Les autres cas .................................................................................................................................................. 21
3 ) Tableau récapitulatif........................................................................................................................................ 22
4 ) Exemples ........................................................................................................................................................ 23

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,L1-SDG-Mathématiques 1 P. Loup - L. Bonifas

Module 7:
Compléments sur les fonctions

Unité 1 - Eléments de symétrie d’une fonction

Rappels :

Nous avons vu au cours du Module 3 les définitions suivantes ayant trait à la notion de parité :

 Une fonction est paire si et seulement si pour tout x de Df : f ( − x) = f ( x) .
La courbe représentative de la fonction f (notée Cf ) est alors symétrique par rapport à l’axe
des ordonnées.

 Une fonction est impaire si et seulement si pour tout x de Df : f ( − x) = − f ( x) .
La courbe représentative de la fonction f (notée Cf ) est alors symétrique par rapport à
l’origine.

Important :

Si le domaine de définition de la fonction n’est pas symétrique par rapport à 0, il est inutile
d’étudier la parité de la fonction, car l’existence de f ( x ) et de f ( − x ) n’est pas assurée
simultanément pour x de Df .

I - Détermination d’un centre de symétrie

1 ) Définition

Soit f ( x ) une fonction définie sur son domaine de définition D f et ayant pour courbe représentative
C f dans un repère orthogonal (O ; i , j ) .

C f admet le point A ( a ; b ) comme centre de symétrie si les deux conditions suivantes sont
vérifiées :
1- Le domaine de définition D f est centré en a (donc ( a − h)  D f et ( a + h)  D f )
2- f (a + h) + f (a − h) = 2 b

Page

, L1-SDG-Mathématiques 1 P. Loup - L. Bonifas

2 ) Exemples

Dans chacun des cas démontrer que la représentation graphique de la fonction f admet le
point I ( a ; b ) comme centre de symétrie.

2x +1
Exemple 1 : Soit : f ( x ) = et I (1; 2 )
x −1

Dans ce cas précis, on a : a = 1 et b = 2 .

➢ Le domaine de définition de la fonction f est : D f = R \ 1
Donc pour tout h non nul, (1 − h)  Df et (1 + h)  Df .

Donc D f est centré en 1.

2(1 + h) + 1 2(1 − h) + 1
➢ Pour tout h non nul : f (1 + h) + f (1 − h) = +
(1 + h) − 1 (1 − h) − 1
3+ 2 h 3− 2 h 4 h
f (1 + h) + f (1 − h) = + = =4
h −h h

De plus, b = 2 on a donc bien f (a + h) + f (a − h) = 2 b

Donc C f admet bien le point I (1; 2 ) comme centre de symétrie.

Exemple 2 : Soit : f ( x) = 2 x − 6 x + 7 x − 5 et I (1; − 2 )
3 2

Dans ce cas précis, on a : a = 1 et b = − 2 .
➢ Le domaine de définition de la fonction f est : D f = R

Donc pour tout h non nul, (1 − h)  Df et (1 + h)  Df .

➢ Pour tout h :

f (1 + h) = 2 (1 + h)3 − 6 (1 + h) 2 + 7 (1 + h) − 5

f (1 + h) = 2 (1 + 2h + h2 ) (1 + h) − 6 − 12h − 6h 2 + 7 + 7h − 5

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